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19.2 二次根式的乘法与除法（第 2 课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习了二次根式的概念和性质的基础上，结合算术平方根的概念，通过观察，归纳出二次
根式的除法法则，并应用这个法则进行二次根式的计算和化简。
2. 内容分析
本节课承接二次根式的概念、性质以及乘法法则，同时依托算术平方根的定义展开，是后续学习二次
根式混合运算、分母有理化的重要基础。从知识逻辑来看，教材遵循“具体实例观察→共性归纳→法则抽
象→应用拓展”的路径，符合学生从特殊到一般、从具象到抽象的认知规律。从教学价值来看，本节课不
仅能夯实学生的根式运算技能，更能通过法则的探索过程渗透归纳、类比的数学思想，同时为解决实际问
题提供运算工具。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：二次根式除法法则的探究和应用。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索二次根式的除法法则，体会归纳、类比的数学思想，发展推理能力。
（2）能根据二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算，发展运算能力。
2. 目标解析
（1）“探索”要求学生不是被动接受法则，而是主动参与法则的生成过程。学生需要经历观察特例、
猜想规律、归纳法则等关键步骤。“发展推理能力”侧重培养学生的合情推理和初步的演绎推理能力，帮
助学生养成严谨的推理习惯。
（2）学生不仅能直接应用法则计算，还能逆用法则化简二次根式。“发展运算能力”不仅要求运算
结果正确，更强调运算方法的合理性和简洁性。学生需要掌握“先判断被开方数是否为非负数→应用法则
计算→化简结果”的运算步骤，同时能根据题目特点灵活选择运算顺序，提升运算的效率和准确性。
三、教学问题诊断分析
1.概念理解类问题
忽略二次根式除法法则的适用条件，混淆二次根式除法与乘法的逆用逻辑。对根式的运算本质认识不
清。应对策略：强化“先判断条件，再进行运算”的思维顺序；设计对比计算活动，通过结果对比纠正逆
用法则的问题。
2.运算类问题
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学科网（北京）股份有限公司化简二次根式时不彻底，学生缺乏主动化简的意识。应对策略：通过针对性练习强化化简步骤。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：利用二次根式的除法法则进行运算。
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.二次根式的乘法法则：√a×√b=√ab(a≥0,b≥0).
2.反过来，就得到√ab=√a×√b(a≥0,b≥0).利用它可以进行二次根式的化简.
类比分式的研究路径（概念-性质-运算-应用），在学习了二次根式的乘法的基础上，学习二次根式的
除法.
设计意图：衔接旧知，铺垫新知：回顾二次根式的乘法法则，唤醒学生已学的运算知识，为学习二次
根式的除法搭建认知衔接点。渗透研究方法，搭建认知框架：通过“类比分式的研究路径”，让学生明确
“概念 - 性质 - 运算 - 应用” 是代数模块的通用学习逻辑，帮学生建立系统化的知识学习思路。
（二）合作探究
探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律?
√4 2 √4 2
（ ） = ； = ；
√9 3 9 3
1
√16 4 √16 4
（ ） = ； = ；
√25 5 25 5
2
√36 6 √36 6
（ ） = ； = ；
√49 7 49 7
3
追问 你能用字母表示你所发现的规律吗？
二次根式的除法法则：√a √a .
= (a≥0,b>0)
√b b
反过来，就得到√a √a .利用它可以进行二次根式的化简.
= (a≥0,b>0)
b √b
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学科网（北京）股份有限公司设计意图：从具体到抽象，自主构建法则：通过 3 组具体数字的运算对比，让学生直观感知“两个
二次根式相除的结果，与被开方数相除后开方的结果相等”，自主归纳出除法法则，避免被动记忆。延续
探究逻辑，培养数学思维：延续乘法法则的“计算 - 观察 - 归纳”探究流程，让学生熟练掌握“从具体
实例到符号化表达”的数学探究方法，提升归纳推理能力。
（三）典例分析
例4 计算：
（1）
√24
；
（2）√3
÷
√1
.
√3 2 18
√24 √24
解： （1） = =√8=√4×2=2√2；
√3 3
（2）√3
÷
√1
=
√3
÷
1
=
√3
×18 =√3×9=3√3.
2 18 2 18 2
例5 化简：
（1） √3 ； （2）√y3
.
100 x2
√3 √3 √3
解： （1） = = ；
100 √100 10
（2） √y3 √y3 √y2 ∙√y y√y.
= = =
x2 √x2 x x
例6 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=√10，b=√3，求a.
S √10 √10 √10×3 √30 √30 √30
解： 因为S=ab，所以a= = = = = = = .
b √3 3 3×3 32 √32 3
注意 二次根式化简的结果中被开方数不含分母.
设计意图：分层落实除法法则，覆盖不同应用场景：例 4聚焦除法法则的正向运算，包含二次根式相
除、二次根式除法转化为乘法的情况，帮学生熟练掌握二次根式除法的运算逻辑。例5侧重法则的逆用
（化简），涵盖数字、含字母的被开方数化简，明确 “被开方数不含分母” 的化简要求，同时强化符号
运算的规范。例6结合实际应用场景，将法则与几何问题结合，体现数学的实用价值。
（四）巩固练习
1.计算：
√72 4√15 √b √b
（1）√18÷√2 ； （2） ； （3） ； （4） ÷ .
√6 √20 5 20a2
解： （1） √18÷√2=√18÷2=√9=3；
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学科网（北京）股份有限公司√72 √72
（2） = =√12=2√3.
√6 6
4√15 √15 √3 √3 4√3
（3） =4 =4 =4× = =2√3.
√20 20 4 √4 2
（4） √b
÷
√b
=
√b
∙
20a2
=√4a2=2a.
5 20a2 5 b
2.化简：
√7 √64 √16b
（1） ； （2） ； （3） .
36 9 25a2
√7 √7 √7
解： （1） = = .
36 √36 6
√64 √64 8
（2） = = .
9 √9 3
√16b √16b 4√b
（3） = = .
25a2 √25a2 5a
3.化简：
√5
（1） ； （2）√2a÷√6a .
√2
√5 √5∙√2 √10
解： （1） = = .
√2 √2∙√2 2
√1 √1 √1∙√3 √3
（2）√2a÷√6a=√2a÷6a= = = = .
3 √3 √3∙√3 3
√x−2 √x−2
4.等式 = 成立的条件是 x >3 ．
x−3 √x−3
解： 根据题意得：x−2≥0且x−3>0，
解得：x>3.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
（五）归纳总结
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学科网（北京）股份有限公司（六）感受中考
1．（2021年黑龙江）下列运算中，计算正确的是（ D ）
A． B． C． D．
m2+m3=2m5 (−2a2) 3 =−6a6 (a−b) 2=a2 −b2 √6÷√2=√3
2．（2023年河北）若 ，则√14a2 （ A ）
a=√2，b=√7 =
b2
A．2 B．4 C．√7 D．√2
√6×√8
3．（2025年湖南）计算 = 2√6 ．
√2
1
4．（2022年湖南益阳）计算：（﹣2022）0+6×（﹣ ）+√8÷√2．
2
1
解：（﹣2022）0+6×（﹣ ）+√8÷√2
2
＝1+（﹣3）+√8÷2
=1−3+ √4
=−2+2
＝0
5．（2022年贵州毕节）先化简，再求值：
a−2
÷(1−
4
)
，其中a=√2−2．
a2+4a+4 a+2
解：原式=
a−2
÷(
a+2
−
4
)
(a+2) 2 a+2 a+2
a−2 a−2
= ÷
(a+2) 2 a+2
a−2 a+2
= ⋅
(a+2) 2 a−2
1
= ，
a+2
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学科网（北京）股份有限公司1 √2
将a=√2−2代入得，原式= = ．
√2−2+2 2
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，
检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题19.2 第2，7(3)(4)题.
2.探究性作业：习题19.2 第9，10题.
五、教学反思
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