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第 4 讲 函数及其性质
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
基本概念
1.函数的概念
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于
概念 集合A中的 每一个实数 x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x
对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素对
y＝f(x)，x∈A
应关系
定义域 自变量取值的范围
值域 所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种
函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
单调性与最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I D
如果对任意 x ，x ∈I，当x f ( x )，则称y＝
1 2 1 2
f(x)在I上是增函数 f(x)在I上是减函数
图像
描述
自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I具有单调性，区间I称为函数y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x ∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x )，则称f(x)的
0 0
最大值为f(x )，而x 称为f(x)的最大值点；如果对任意 x∈D，都有f(x)≥f(x )，则称f(x)的最
0 0 0
小值为f(x )，而x 称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统
0 0
称为最值点.
奇偶性、周期性
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图像特点
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内
偶函数 的任意一个x，都有－x∈D，且 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，则称 关于 y 轴 对称
y＝f(x)为偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内
奇函数 的任意一个x，都有－x∈D，且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，则 关于原点对称
称y＝f(x)为奇函数
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的任何值时，
都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期.
二、考点和典型例题
1、函数的概念
【典例1-1】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（理））已知 是定义在R上的奇函数，且
时， ，则 （ ）
A．27 B．－27 C．54 D．－54
【答案】A
【详解】
由已知可得 ， ，因此， ．
故选:A．【典例1-2】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））若函数 则
（ ）
A．10 B．9 C．12 D．11．
【答案】A
【详解】
当 时， ，
所以 ．
故选：A.
【典例1-3】（2022·北京·模拟预测）函数 的定义域是_______．
【答案】
【详解】
由题意可得， ，解之得
则函数 的定义域是
故答案为：
【典例1-4】（2022·浙江·模拟预测）已知 ，则 ___________.
【答案】11
【详解】
由于 ，
从而 .
故答案为：11.【典例1-5】（2022·浙江温州·三模）已知函数 若 ，则实数a的值等于
___________.
【答案】
【详解】
①当 即 时， ，则 （舍）
②当 即 时，
Ⅰ：当 ,即 时,有
Ⅱ:当 时，即 时，有 无解
综上， .
故答案为：
2、单调性及其应用
【典例2-1】（2022·北京·二模）下列函数中，与函数 的奇偶性相同，且在 上有相同单调性的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由 为奇函数且在 上递增，
A、B： 、 非奇非偶函数，排除；C： 为奇函数，但在 上不单调，排除；
D： ，显然 且定义域关于原点对称，在 上递增，满足.
故选：D
【典例2-2】（2022·贵州遵义·三模（文））若奇函数 在 单调递增，且 ，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由 是奇函数在 单调递增，且 可知：当 时， ，当
时， ，
又 或 ，解得： 或
满足 的x的取值范围是 或
故选：D
【典例2-3】（2022·河北唐山·二模）已知函数 ，若 ，则x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： 定义域为R，
又 ，
所以 是奇函数，
当 时， ，
当 时， ，易知 在 上递增，
所以 在定义域R上递增，
又 ，
所以 ，
解得 ，
故选：C
【典例2-4】（2022·山西太原·二模（文））已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减
C． 的图象关于直线x=1对称 D． 的图象关于点 对称
【答案】C
【详解】
因为 ， ，
所以 ，所以A不正确；
因为 ， ，
所以 ，故B不正确；
因为 ，所以 的图象关于直线x=1对称，故C正确；
在 的图象上取一点 ，则其关于点 的点为 ，
因为 ，所以点 不在函数 的图象上，故 的图象不关于点 对称，故D
不正确.
故选：C
【典例2-5】（2022·贵州遵义·三模（文））已知函数 满足：① ；② ；③在
上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数 _________．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】
由题意可知， 的图象关于直线 对称，且在 上单调递减，且 ，
可取 满足条件.
故答案为： （答案不唯一）.
【典例2-6】（2022·全国·三模（文））函数 的单调递减区间为__________．
【答案】
【详解】
当 时， ，则其在 上递减，
当 时， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上递减，
综上， 的单调递减区间为 ，
故答案为：
3、奇偶性及其应用【典例3-1】（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））函数 满足 ， ，函数
的图象关于点 对称，则 （ ）
A．-8 B．0 C．-4 D．-2
【答案】B
【详解】
∵ 关于 对称，
∴ 关于 对称，即 是奇函数，
令 得， ，即 ，解得 ．
∴ ，即 ，
∴ ，即函数的周期是4．
∴ ．
故选：B.
【典例3-2】（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））已知函数 ，则图象为下图的函
数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由题意，函数 ，根据函数图象可得函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，对于A中，函数 不是奇函数，所以A不符合题意；
对于B中，函数 不是奇函数，所以B不符合题意；
对于C中，函数 此时函数为奇函数，
又由 ，当 时， ，此时函数在区间 单调递增，而图象中
先增后减，所以C不符合题意.
故选：D.
【典例3-3】（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数 是定义在R上的单调增函数且为奇函
数，数列 是等差数列，若前2022项和小于零，则 的值( )
A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负
【答案】B
【详解】
函数 是R上的奇函数且是增函数，
，且当 ， ；当 ， ．
设等差数列前n项和为 ，由题可知 ，
则 ，即 ，则 (1≤n≤2011， )．
所以 ，
结合函数 在R上的单调增和奇函数性质，可得 ，
所以
∴ <0；
综上， 的值恒为负数．
故选：B．【典例3-4】（2022·河南开封·三模（理））函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，所以 为奇函数，图象关于原点对称，故CD不正确；
当 时， ，故B不正确.
故选：A
【典例3-5】（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对于A， ， ， ，故 为非奇非偶函数，
对于B， ，定义域为 ， ， 为偶函数，
对于C， ， 为偶函数，
对于D，易知定义域为R, ， ， 为奇函数．
故选：D4、函数性质的综合应用
【典例4-1】（2022·福建福州·三模）已知函数 ，以下结论中错误的是（ ）
A． 是偶函数 B． 有无数个零点
C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】C
【详解】
对于A， 定义域为 ， ，
为偶函数，A正确；
对于B，令 ，即 ， ，解得： ，
有无数个零点，B正确；
对于C， ， 若 的最小值为 ，则 是 的一个极小值点，则 ；
， ，
不是 的极小值点，C错误；
对于D， ， ；
则当 ， ，即 时， 取得最大值 ，D正确.
故选：C.
【典例4-2】（2022·吉林白山·三模（理））已知函数 ，若对任意 ， ，
恒成立，则m的最大值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．e
【答案】C
【详解】由题知 对任意 ， 恒成立，
等价于 ，即 ，即 对任意 ， 恒成立，
不妨设 ，令 ，则 ，
则原式等价于 ，即 在 恒成立，
设 ， ，则 ，
所以 在 上为增函数，所以 ，
所以 ，即m的最大值为 ，当且仅当 ，即 时取得最大值，
故选：C.
【典例4-3】（2022·江苏南京·三模）已知 ，若 x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数
∀
m的取值范围是（ ）
A．（－1，＋∞） B．
C．（0，＋∞） D．
【答案】B
【详解】
时， ，符合题意；
时， ，即
显然 在R上递增，则 对 恒成立
对 恒成立
则： ；综上， ，
故选：B．
【典例4-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知函数 ，下列说法正
确的是（ ）
A．若 是偶函数，则 B．若 ，则函数 是奇函数
C．若 ，则函数 存在最小值 D．若函数 存在极值，则实数a的取值范围是
【答案】ACD
【详解】
对于A，函数的定义域为 ，且 ，则 ，
则 ，则 ，故 恒成立，故 ，故A正确；
对于B，若 ，则 ， ， ，
不成立，故B不正确；
对于C，当 时， ，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，所以当 时， ， 单调递减，当
时， ， 单调递增，
所以 ，所以C正确；
对于D， ，因为 存在极值，则 有解，令 ，即
，
所以 ，则 ，即 ，解得 ，所以D正确.
故选：ACD.【典例4-5】（2022·河南·模拟预测（理））已知 的定义域为R，若函数满足 ，则称 为
的一个不动点，有下列结论：① 的不动点是3；② 存在不动点；③若函数
为奇函数，则其存在奇数个不动点；若 为偶函数，则其存在偶数个不动点；④若 为周期函数，则
其存在无数个不动点；⑤若 存在不动点，则 也存在不动点，以上结论正确的序号是
____________.
【答案】①⑤
【详解】
① 则 ，①正确；
②构建 则
令 则
∴ 在 上递减，在 上递增，则
∴ 即 不存在不动点，②不正确；
③ 为偶函数，显然 只有一个不动点；③不正确；( 为奇函数, 显然 有无数个不动
点)
④ 为周期函数，显然 只有一个不动点；④不正确；
⑤若 存在不动点，设为 ，即
∴ ，则 也存在不动点，⑤正确．
故答案为：①⑤．
【典例4-6】（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数 是偶函数，且
，当 时， ，则方程 在区间 上的解的个数是
________
【答案】10
【详解】
函数 是偶函数， ①，②， 的图象关于 对称，
由①②得， ，即 ，
∴函数f(x)的一个周期为4，
画出函数 和函数 在区间 ， 上的图象，
方程 在区间 ， 上的解的个数就是这两个图象的交点个数，
由图象可知方程解的个数为10，
故答案为：10．
