文档内容
19.3 二次根式的加法与减法（第 2 课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在上一节课的基础上，结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配
律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算。
2. 内容分析
本节课承接二次根式的化简、加减、乘除运算，核心是将实数运算律（交换律、结合律、分配律）和
多项式乘法公式迁移应用到二次根式的混合运算中。其本质是让学生体会“二次根式运算与整式运算的一
致性”——二次根式的混合运算顺序与整式混合运算完全相同，即先乘方、再乘除、最后加减，有括号先
算括号内的；多项式乘法公式（平方差公式、完全平方公式）也可直接用于含二次根式的代数式运算。这
一内容不仅是对前序知识的整合与巩固，更是培养学生代数运算素养的关键环节，为后续解决实际问题和
更复杂的代数运算奠定基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：综合运用运算法则和运算律进行二次根式的运算。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）能根据运算律和相关法则进行二次根式的四则运算，发展运算能力。
（2）会说出二次根式四则运算的依据并用这些依据评估运算的正确性。
2. 目标解析
（1）聚焦技能的综合运用，要求学生将二次根式的化简、加减、乘除运算融合，按照正确的运算顺
序，借助运算律简化计算过程。能熟练完成二次根式的化简，准确判断同类二次根式，在混合运算中避免
“漏乘”“符号错误”“化简不彻底”等问题；能合理运用交换律、结合律整合同类二次根式，利用分配
律简化展开运算，针对能用乘法公式的题型，选择简便方法计算；能处理含多层括号、多种运算的复杂题
型，实现二次根式与整式运算方法的互通，提升综合运算素养。
（2）聚焦算理的理解，强调学生不仅要“会算”，更要“知其所以然”，从“操作层面”上升到
“逻辑层面”，培养严谨的数学思维。能准确说出每一步运算的依据，进一步理解“实数运算律和公式对
二次根式同样适用”的核心思想，构建完整的代数运算知识体系。
三、教学问题诊断分析
1.运算顺序混乱
学生对二次根式混合运算顺序的认知模糊，未将整式混合运算顺序迁移过来，同时存在运算粗心、步
骤跳跃的问题，缺乏“分步运算”的习惯。应对策略：教学中强调“二次根式混合运算顺序与整式一致”，帮助学生建立知识关联；要求学生在
解题时标注运算顺序，如用箭头标出“先算乘除”的部分，养成分步书写的习惯；设计含易错运算顺序的
对比题，让学生辨析不同解法的正误，强化顺序意识。
2.乘法公式误用
学生对乘法公式的结构特征理解不透彻，仅机械记忆公式形式，未掌握“公式适用的前提是两项和与
两项差相乘、两项和或差的平方”，同时对二次根式参与公式运算的形式不熟悉。
应对策略：帮助学生理解公式结构，整理“公式结构对比表”，明确平方差公式和完全平方公式的特
征，标注公式中的“a”“b”可代表二次根式；设计“公式匹配题”，让学生判断哪些题型能使用乘法公
式，强化公式适用条件的认知。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：根据运算律和相关法则进行二次根式的四则运算。
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.同类二次根式：被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式.
2.二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同
的二次根式合并.
前面我们学习了二次根式的乘除与加减运算，接下来研究怎样进行二次根式的混合运算.
设计意图：直接梳理“同类二次根式”的概念和“二次根式加减”的步骤，快速唤醒学生的已有知识，
为新内容（混合运算）铺垫必要的基础技能。
（二）合作探究
例4 计算：
（1）(√8+√3)×√6； （2）(4√2−3√6)÷2√2.
思考 (1)中，先计算什么？后计算什么，最后的目标是什么？(2)呢？
与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；对于（1）：先算乘，再化简，若有相同
的二次根式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；对于（2）：先算除，再化简，若有相同
的二次根式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．
解：(1)(√8+√3)×√6
=√8×√6+√3×√6 乘法分配律或多项式乘单项式
=√48+√18 二次根式的乘法法则
=4√3+3√2. 二次根式的化简
解：(2)(4√2−3√6)÷2√2
=4√2÷2√2−3√6÷2√2 多项式除以单项式3 二次根式的除法法则
=2− √3.
2
例5 计算：
（1）(√2+3)×(√2−5)； （2）(√5+√3)(√5−√3).
解：(1)(√2+3)×(√2−5)
=(√2)2+3√2−5√2−15 多项式乘以多项式
=2−2 √2−15 二次根式的性质和运算
=− 13√−22. 合并同类项
(2)(√5+√3)(√5−√3)
=(√5)2 −(√3)2 平方差公式
=5−3 二次根式的性质
=2. 合并同类项
设计意图：迁移运算逻辑：通过类比实数的运算顺序（先乘除后加减），让学生快速掌握二次根式混
合运算的基本顺序，降低新知的陌生感。强化法则应用：每一步标注对应的法则（如乘法分配律、平方差
公式），帮学生建立“操作→依据”的关联，理解运算的合理性。
（三）典例分析
例1 计算：
（1）√2(√3+√5) ； （2）(√80+√40)÷√5 ；
（3）(√5+3)(√5+2) ； （4）(√6+√2)(√6−√2).
解：(1)√2(√3+√5)=√2×√3+√2×√5=√6+√10.
(2)(√80+√40)÷√5=√80÷√5+√40÷√5=√16+√8=4+2√2.
(3)(√5+3)(√5+2)=(√5)2+2√5+3√5+6=5+5√5+6=11+5√5.
(4)(√6+√2)(√6−√2)=(√6)2 −(√2)2=6−2=4.
例2 计算：
（1）(4+√7)(4− √7) ； （2）(√a+√b)(√a−√b) ；
（3）(√3+2)2 ； （4）(2√5−√2)2.
解：(1)(4+√7)(4− √7)=42 −(√7)2=16−7=9.
(2)(√a+√b)(√a−√b)=(√a)2 −(√b)2=a−b.
(3)(√3+2)2=(√3)2+2×√3×2+22=3+4√3+4=7+4√3.
(4)(2√5−√2)2=(2√5)2 −2×2 √5×√2+(√2)2=20−4 √10+2=22−4 √10.
设计意图：全面覆盖运算类型：通过例1、例2涵盖二次根式混合运算的核心形式，让学生系统练习
不同场景下的运算方法。强化公式迁移：重点突出平方差公式、完全平方公式在二次根式运算中的应用，让学生明确整式运算公式可直接迁移到二次根式中，降低复杂运算的难度。
（四）巩固练习
1．下列计算正确的是（ B ）
A．3+√3=3√3 B．√8÷√2=2
C．√3×√5=√8 D．3√5−√5=3
2．计算：(√2+1)(√2−1)=（ A ）
A．1 B．2 C．−1 D．3
3．计算(√5−1) 2的结果是 6−2√5 ．
4．计算：(√3+√2)(√3−√2) 2= √3−√2 ．
5．计算：√2(√2−√3)+√6= 2 ．
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2025年河北）计算：(√10+√6)(√10− √6)=（ B ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2023年辽宁大连）下列计算正确的是（ D ）
A．(√2) 0=√2 B．2√3+3√3=5√6
C．√8=4√2 D．√3(2√3−2)=6−2 √3
3．（2023年湖北荆州）已知k=√2(√5+√3)⋅(√5−√3)，则与k最接近的整数为（ B ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2025年江苏南京）计算(√3+√2)(√12−√8)的结果是 2 ．5．（2023年内蒙古）先化简，再求值：(2x+y)2+(x−y)(x+y)−5x(x−y)，其中x=√6−1，
y=√6+1．
解：原式=4x2+4xy+y2+x2 −y2 −5x2+5xy
=9xy．
当x=√6−1，y=√6+1时
原式=9(√6−1)(√6+1)=9×(6−1)=45．
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，
检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题19.3 第3，5题.
2.探究性作业：习题19.3 第6，8题.
五、教学反思
