文档内容
《课题学习 选择方案》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）能够正确列出方案问题中相关的一次函数的表达式，写出自变量的取值范围.
（2）理解方案 选择问题的 一般解题方法和步骤
2.过程与方法
使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。
3.情感态度和价值观
将所学的知识应用到解决实际问题中去选择合适的方案，体会数学的实用价值，帮助学生获得
生活经验，并树立正确的人生观和价值观。
【来源：21·世纪·教育·网】
【教学重点】
建立数学模型，利用代数法和图像法解决选择方案的实际问题。
【教学难点】
从实际问题中抽象出分段函数模型，并用方程、不等式知识或借助函数图像的性质进行综合分
析问题，从而解决实际生活中方案选择问题。
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【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情景导入
【过渡】在日常生活中，我们通常会遇到这样的问题，该选择哪个旅行团更划算，该选择哪个
银行收益更好，等等。之前的学习中，我们学习过用数学知识去解决实际问题，那么我们能否用我
们这章中学习的函数知识去解决上述提出的问题呢？我们先来看几个问题，看大家对之前的知识熟
悉不熟悉，看谁回答的快。
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如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．
判断下列说法正误：
2-1-c-n-j-y①售2件时甲、乙两家售价一样；
②买1件时买甲家的合算；
③买3件时买乙家的合算；
【过渡】这个问题是简单的函数问题，反映了我们可以借助函数解决实际问题，如果问题稍微
复杂一点，又该如何解决呢？今天我们就来学习一下，如何正确的选择方案。
二、新课教学
1．怎样选取上网收费方式
【过渡】我们一起来思考一下课本的问题1。在这几种选择方案中，我们该如何选择呢？
【过渡】结合实际，我们知道，选择的依据一般都是划算，也就是说便宜的更应该选择，这就
把问题转化为求三种方案下，哪一个更便宜。
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【过渡】我们先对问题进行分析，这三种方案中哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？
（学生回答）
【过渡】从表中，我们知道，A、B方案会变化，C不变。而在这其中，影响超时费的变量是什
么？
（学生回答）
【过渡】变量是上网时间，如果上网时间不定，哪种方案更优惠能确定吗？
（学生回答）
【过渡】这时候我们就需要从三个方面考虑问题，当上网时间变化时，何时能够满足A方案等
于、大于、小于B方案，关于这个问题，结合一次函数，我们就能够写出两种方案的解析式，利用
方程、不等式或函数图象进行比较。
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【过渡】通过对题意的分析，对于这个问题的等量关系，大家应该比较清楚。
费用=月使用费+超时费
超时费=超时使用的价格×超时时间。
【过渡】根据这个等量关系，大家能写出这几个方案的解析式吗？
分别写出A方案与B方案的解析式。
（学生回答）
【过渡】对于方案A来说，这个解析式的含义：当上网时间不超过25h时，上网费=30元；当
上网时间超过25h时，上网费=30+超时费，即上网费=30+0.05×60×（上网时间-25）。
【过渡】对于方案B来说，大家能说出它的意义吗？（学生回答）
【过渡】当上网时间不超过50h时，上网费=50元；当上网时间超过50h时，上网费=50+超时
费，即上网费=50+0.05×60×（上网时间-50）。
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【过渡】对于方案C来说，无论上网时间为多少h，上网费都为120元，与上网时间无关。
【过渡】我们知道，函数的图象能够直观的表示出函数的关系，因此，我们将三个函数解析式
的图象画出，如图所示，大家能够将课本P103的问题写上答案吗？
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课件展示问题及答案。
2、怎样租车
【过渡】从刚刚的问题中，我们了解了函数解决实际问题的优势，现在，我们来看另外一种情
况。
问题2.
【过渡】根据问题，我们来填一下空吧。
【过渡】题意中要求每辆车都至少要有一名教师，结合表格中的内容，我们分析最少需要多少
辆车。
如果租5辆车，那么平均下来每辆车需坐48个人，而两种车均不能满足这个要求，因此，汽车
综述不能小于6，但同时，每辆车上都至少有1名老师，这样的话，又不能大于6辆车，因此综合起
来，汽车总数为定值6。
【出处：21教育名师】
【过渡】从表中，我们可以看出，租车的费用与种类有关，两辆车总共有6辆，我们设租x辆
甲车，那么乙车的辆数则为（6-x）辆。
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列出解析式。
同时我们还要考虑最红的费用在2300以内，由此，我们可以解得x的值。
【过渡】通过对限定条件的分析，我们最终得到了x的取值范围，并得出了两种方案，结合一
次函数的性质，我们能够确定最终的方案选择。
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【归纳】解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影
响其他变量的值的变量作为自变量。然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为
解决问题的数学模型。
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【知识巩固】1、某汽车经销商根据市场需求，计划购进某品牌A、B两种型号的汽车，如果分
别购进A、B两种型号的汽车3辆、5辆，那么共需要111万元；如果分别购进A、B两种型号的汽
车6辆、8辆，那么共需要192万元．
（1）A、B两种型号的汽车每辆多少万元？
（2）如果该经销商计划购进A、B两种型号的汽车共50辆，所用资金不超过650万元，且A
种型号的汽车不多于36辆，那么有几种购买方案？
（3）在（2）的情况下，如果A型号的汽车加价15%，B型号的汽车加价16%出售，且所购汽车均全部售出，那么该经销商使用哪种方案可获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）设A种型号的汽车每辆x万元，B种型号的汽车每辆y万元
3x+5y＝111
6x+8y＝192，解得x=12，y=15。
即A种型号的汽车每辆12万元，B种型号的汽车每辆15万元；
（2）设该经销商购进A种型号的汽车x辆，B种型号的汽车（50-x）辆
12x+15(50−x)≤650
0＜x≤3，
解得 ≤x≤36，
因此，有三种购买方案：
第一种方案：购买A型号的汽车34辆，B型号的汽车16辆；
第二种方案：购买A型号的汽车35辆，B型号的汽车15辆；
第三种方案：购买A型号的汽车36辆，B型号的汽车14辆；
（3）当选择方案一时，获得的利润是：34×12×15%+16×15×16%=99.6万元；
当选择方案二时，获得的利润是：35×12×15%+15×15×16%=99万元；
当选择方案一时，获得的利润是：36×12×15%+14×15×16%=98.4万元；
故经销商使用方案一可获得最大利润，最大利润是99.6万元．
2、某校准备在甲、乙两家公司中选择一家为毕业班学生制作一批纪念册，甲公司提出：每册收
材料费5元，另收设计费1500元，乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费．
（1）若制作纪念册的册数为x，请分别写出甲公司的收费y、乙公司的收费y 与x之间的函数
1 2
关系式；
（2）如果说学校派你去甲、乙两家公司订做纪念册，你会选择哪家公司？
解：（1）甲公司的收费：y=5x+1500
1
乙公司的收费：y=8x
2
（2）当y=y，即5x+1500=8x时，x=500
1 2
当y＞y，即5x+1500＞8x时，x＜500
1 2
当y＜y，即5x+1500＜8x时，x＞500
1 2
所以当制作纪念册的册数为500册时，两家公司任选一家即可
当制作纪念册的册数少于500册时，应选择乙公司。
当制作纪念册的册数多于500册时，应选择甲公司。
【达标检测】1小林购买一部手机想入网，中国联通130网收费标准是月租费30元，每月来电
显示6元，本地电话费每分钟0.4元；中国电信“神州行”储值卡收费标准是本地电话费每分钟0.6元，月租费、来电显示费全免，小林的亲戚朋友都在本地，他想拥有来电显示服务，且估计他每月
通话时间都在3h以上，则小林应选择（ A ）更省钱．
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A. 中国联通 B. “神州行”储值卡
C. 一样 D. 无法确定
2、某矿泉水厂生产一种矿泉水，经侧算，用一吨水生产的矿泉水所获利润 y（元）与1吨水的
价格x（元）的关系如图所示．
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（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）为节约用水，特规定：该厂日用水量不超过20吨时，水价为每吨4元；日用水量超过20
吨时，超过部分按每吨40元收费，已知该厂日用水量不少于20吨，设该厂日用水量为t吨，当日所
获利润为w元，求w与r的函数关系式；若该厂加强管理，积极节水，使日用水量不超过25吨，但
仍不少于20吨，求该厂的日利润的取值范围。
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解：（1）设y与x的函数关系式是：y=kx+b，
∵点（0，180），（180，0）在此函数的图象上，
∴ b＝180
180k+b＝0
解得，k=-1，b=180
即y与x的函数关系式是：y=-x+180（0≤x≤180）；
（2）由题意可得，
w=20×4+（t-20）×40=40t-720（t≥20）
即w与t的函数关系式为：w=40t-720（t≥20）；
将t=20代入w=40t-720得，w=80（元），
将t=25代入w=40t-720得，w=280（元），
即该厂的日利润的取值范围是80≤w≤280。
3、某市出租车起步价是8元（起步价是指不超过3km行程的出租车价格）．超过3km行程后，
其中除3千米的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足一千米按一千米计算），
如果仅去程乘出租车而回程时不坐此车，那么顾客还要付回程的空驶费，按每千米0.8元计算（即
实际按每千米2.4元计算），如果往返都乘同一辆出租车并且中间等候时间不超过3分钟，则不收取
空驶费而加收1.6元的等候费．现设小文等4人从市中心A处到相距x（km）（x＜12）的B处办事，
在B处停留的时间在3分钟以内，然后返回A处，现在有两种往返方案：
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方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回乘公交车（公交每人2元）；
方案二：4人乘同一辆出租车往返；
请解决下列问题：在这两种方案中，哪种更经济？请问选择哪种计费方式更省钱？
解：方案一的费用：8+（x-3）×1.6+0.8x+4×2
=8+1.6x-4.8+8
=11.2+1.6x
方案二的费用：
8+（x-3）×1.6+1.6x+1.6
=8+1.6x-4.8+1.6x+1.6
=4.8+3.2x
①费用相同时x的值
11.2+1.6x=4.8+3.2x，解得x=4
所以当x=4km时费用相同；
②方案一费用高时x的值
11.2+1.6x＞4.8+3.2x，且x-3＞0，解得3＜x＜4
所以当3km＜x＜4km方案一费用高；
③方案二费用高时x的值
11.2+1.6x＜4.8+3.2x，解得x＞4
所以当x＞4km方案二费用高。
【板书设计】
1、分析变量之间的关系
选择合适的自变量
写出函数解析式
解决问题。
【教学反思】
“选择最佳方案”是现实中经常面临的问题，学生对于这样的内容会比较感兴趣。但是因为内
容用到的知识较多，例如要利用实际问题中所包含的变量关系建立一次函数模型，并要应用到解方
程和不等式，对学生的综合运用能力是一个考验。在教学过程中，要特别关注引导学生独立思考与
分析，小组讨论与交流，调动学生学习的积极性和自主性。能给学生充分的思考讨论的时间，使每
一个知识应用与方法的生成都自然的水到渠成。使学生通过研究问题由具体到抽象地认识函数，逐
步感受如何建立数学模型，如何利用合适的数学思想方法研究解决问题，切实提高了综合应用数学
知识的能力。
