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第二十章 数据的分析
第2课时 20.2数据的波动程度
一、温故知新（导）
1、方差的定义及其计算公式是什么？
设 有 n 个 数 据 x ， x ， … ， x ， 各 数 据 与 它 们 的 平 均 数 的 差 的 平 方 分 别 是
1 2 n
我们用这些值的平均数，即用
来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2.
2、方差的作用是什么？
方差是用来衡量一组数据波动的大小的，即这组数据偏离平均数的大小.
方差越大，数据的波动越大;方差越小，数据的波动越小.
今天我们将进一步学习方差，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.进一步了解方差的求法，用方差对实际问题做出判断.
2.理解样本与总体关系，会通过样本方差估计总体方差.
3.经历探索应用方差解决实际问题的过程，培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态
度，认识数据处理的实际意义.
4.通过解决实际情境中的问题，提高学生的数学统计的素养，用数学的眼光看世界.
学习重难点
重点：会计算数据方差,决策生活实际问题.
难点：理解样本与总体关系,会通过样本方差估计总体方差.
二、自我挑战（思）
1、某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎，现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，
两家的价格相同，品质相近.你能帮这个公司提出一些建议吗？
可以检测每个鸡腿的质量，看哪家的鸡腿质量比较均匀（质量的上下波动小）
2、那么多鸡腿，一个一个称太难了！怎么办呢？
可以随机选一些称（抽样调查）
三、互动质疑（议、展）
1、探究：某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎，现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销
鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近.快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿.
问题1：通过哪些统计量判断呢？
平均数，可以得到每家加工厂平均每个鸡腿的质量；
方差，可以对比比较两家的鸡腿质量差异大小；
问题2：如何获取这些数据呢？由于数量比较多，也可能具有破坏性，所以采取抽样调查，在相同的条件下选取相同数量的鸡
腿进行测试，也就是用样本估计总体的思想；然后再根据抽取的样本整理、计算平均数和方差；最
后根据计算的平均数和方差进行评估即可.
2、实例：
例2 某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎，现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推
销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近.快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿.
检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量(单位：g)如表20-10所示.根据表中数据，
你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
表20-10
甲 74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73
乙 75 73 79 72 76 71 73 72 78 74 77 78 80 71 75
解：检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的15个鸡腿分别组成一个样本，样本数据的
平均数分别是：
74+74+⋯+72+73
x = ≈75，
甲 15
75+73+⋯+71+75
x = ≈75.
乙 15
样本数据的方差分别是：
由 可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；
由 可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀.
因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿.
注意：在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数时，不能直接用方差来比较
它们的离散程度.
例3、为了比较甲、乙两个新品种水稻产品质量，收割时抽取了五块具有相同条件的试验田地，分
别称得它们的质量，得其每公顷产量如下表(单位：t)：
(1)哪个品种平均每公顷的产量较高？
(2) 哪个品种的产量较稳定？
分析：现在要通过比较甲、乙两个新品种在试验田中的产量和产量的稳定性，来估计甲、乙两个新
品种在这一地区的产量和产量的稳定性，这实际上就是用样本的平均数和方差来估计总体的平均数
和方差.解：甲、乙两个新品种在试验田中的产量各组成一个样本，其平均数分别为：
说明甲、乙两个新品种水稻的平均每公顷的产量一样高.
得到平均数相同，继续计算其方差分别为：
得到 ，即甲品种每公顷的产量波动比乙品种的小，所以甲品种的产量较稳定.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．方差是4 C．平均数是5 D．中位数是4.5
1、解：A、这组数据中3都出现了2次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为 3，此选
项正确，不符合题意；
1
B、这组数据的平均数是：（2+3+6+9+3+7）÷6=5，则方差是： ×[（2-5）2+2×（3-5）
6
19
2+（6-5）2+（9-5）2+（7-5）2]= ，故此选项错误，符合题意；
3
C、这组数据的平均数是：（2+3+6+9+3+7）÷6=5，此选项正确，不符合题意；
3+6
D、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，6，7，9，则中位数是 =4.5，，此选项正确，
2
不符合题意；
故选：B．
2、甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人 10次射击成绩的平均数x（单位：
环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
x 9 8 9 9
S2 1.2 0.4 1.8 0.4
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2、解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
∵甲、丙、丁三人中，丁的方差较小，
∴丁发挥最稳定，∴选择丁参加比赛．
故选：D．
3、为庆况神舟十五号发射成功，学校开展航大知识克赛活动，经过几轮筛选，本班决定从甲、
乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数
（单位：分）及方差（单位：分 2）如表所示：若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那
么应该选样（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数 98 96 98 95
方差 0.4 2 1.6 0.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3、解：∵甲、丙同学的平均数比乙、丁同学的平均数大，
∴应从甲和丙同学中选，
∵甲同学的方差比丙同学的小，
∴甲同学的成绩较好且状态稳定，应选的是甲同学．
故选：A．
4、在甲、乙两位同学的10次数学模拟竞赛成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分
别为 ＝1.82， ＝0.56，则应选拔 同学参加数学竞赛．（填“甲”、“乙”中的一个）
s2 s2
甲 乙
4、解：两组数据，平均数相同的情况下，方差小的稳定性强，应选乙；
故答案为：乙．
5、为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选 7株，
测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计
如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 第六株 第七株 平均数
甲 79 81 80 80 78 82 80 80
乙 79 77 80 82 81 82 79 80
则每百克草莓中维生素含量更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
(79−80) 2+(81−80) 2+3×(80−80) 2+(78−80) 2+(82−80) 2 7
5、解：由题意得，S 2＝ ＝
甲 7 10
(79−80) 2+(77−80) 2+(80−80) 2+2×(82−80) 2+(81−80) 2 20
，S 2＝ ＝ ，
乙 7 7
7 20
∵ ＜ ，∴甲更稳定，故答案为：甲．
10 7
6、某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了 10名学生的竞赛成绩（百分制）
进行整理、描述和分析如下：成绩得分用 x表示（x为整数），共分成四组：
A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x≤100．
七年级10名学生的成绩是：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94．
抽取的七，八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 a b 34.6
八年级 92 93 100 41.4根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 年级成绩更平衡，更稳定；
（2）直接写出图表中a,b的值：a= ，b= ；
（3）该校八年级共50人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀（x≥90）的学生人数？
6、解：（1）因为两个年级的平均数相同，而七年级的方差比八年级小，
所以七年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：七；
（2）把七年级10名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是 90，96，故中位数
90+96
a= =93；
2
在七年级10名学生的成绩中，96出现的次数最多，故众数b=96．
故答案为：93；96；
（3）因为八年级的中位数是93，八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94，
所以有5个学生的成绩比93大，所以被抽取的10名学生的成绩有7人成绩优秀，
7
50× =35（人）．
10
答：估计八年级参加竞赛成绩优秀（x≥90）的学生人数大约有35人．
六、用
（一）必做题
1、射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击 20次，平均环数均为8.6环，方差分别为
＝0.21， ＝0.41， ＝0.62， ＝0.05，则四人中成绩最稳定的是（ ）
s2 s2 s2 s2
甲 乙 丙 丁
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
1、解：∵ ＝0.21， ＝0.41， ＝0.62， ＝0.05，
s2 s2 s2 s2
甲 乙 丙 丁
∴ ，
s2 >s2 >s2 >s2
丙 乙 甲 丁
∴四人中丁的成绩最稳定．
故选：D．
2、如表记录了4名队员几次射击选拔赛成绩，教练员需要选择一名队员参加比赛，应该选择
的是（ ）
队员1 队员2 队员3 队员4
平均数x（环） 10 9 10 9
方差s2 3.5 3.5 14.5 15.5
A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4
2、解：∵队员1和队员3的平均成绩比队员2和队员4好，
∴从队员1和队员3中选择一人参加比赛，
又∵队员1的方差比队员3的方差小，
∴选择队员1参赛，
故选：A．
3、某农场决定从甲、乙、丙三种型号的小麦中选择一种进行种植，已知甲、乙、丙三种型号
的亩产量相同，甲的方差为 0.52，乙的方差为0.47，丙的方差为0.51，请问种植哪种型号的
小麦最合适（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定3、解：∵方差越小，数据越稳定，甲的方差为 0.52，乙的方差为0.47，丙的方差为0.51，
且0.47＜0.51＜0.52，
∴选择乙最合适，产量更稳定．
故选：B．
4、去年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了 25棵，每棵产量的平均数x及方
差s2如表所示：
甲 乙 丙
x 42 45 45
s2 1.8 23 1.8
今年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是
．（填“甲”、“乙”或“丙”）
4、解：因为丙、乙的平均数比甲大，所以丙、乙的产量较高，
又丙的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，
即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是丙；
故答案为：丙．
5、今年某果园实验基地随机从种植的甲、乙、丙三个品种的葡萄树中各采摘了4棵，每棵产
量的平均数x（单位：千克）和方差s2（单位：千克2）如表所示：明年准备从这三个品种中
选出一种产量既高产又稳定的葡萄树进行大面积种植，则应选的品种是 ．
甲 乙 丙
x 20 20 17
s2 9.5 6 6
5、解：∵甲、乙的平均数比丙的高，而乙品种的方差比甲品种的小，
∴乙品种的产量既高产又稳定，
∴应选的品种是乙．
故答案为：乙．
6、为了进一步丰富社区文化体育活动，强健民众体质，某社区组织篮球爱好者分甲、乙两组
各推选10名队员进行投篮比赛．按照比赛规则，每人各投10个球，将两组队员的进球数绘
制成如下统计图、表：
甲、乙两组投篮进球情况分析表
进球数
10 9 8 7 4 3
（个）
人数（人） 1 1 2 4 1 1
甲、乙组投篮进球个数统计表
平均数 中位数 方差
甲组 7 7 1.2
乙组 a b 4
（1）分别求出表格中a和b的值；
（2）从平均数、方差的角度看， 组发挥得更稳定；
（3）如果从这两组中选出一组代表社区参加市级的投
篮比赛，要争取个人进球数进入市级前列，你认为应该
选择哪一组，请说明理由．1
6、解：（1）a＝ (10×1+9×1+8×2+7×4+4×1+3×1)＝7，
10
乙组中进球数从小到大排列后处在第5，6位的数都是7，
∴中位数是7，
∴b=7；
（2）由表知，甲组与乙组的平均数相等，而甲组的方差小于乙组，
所以甲、乙组的平均成绩相等，而甲组发挥的更稳定，
故答案为：甲；
（3）应该选择乙组．
理由：∵乙组个人成绩在8分以上的人数较多，出现高分的可能性较大，
∴应该选择乙组．
（二）选做题
7、为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有A、B两
家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检
查质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽
取10个，记录它们的质量（单位：克）如表：
A：74，75，75，75，73，77，78，72，76，75；
B：78，74，78，73，74，75，74，74，75，75．
（1）整理数据，得到如下表：
平均数 中位数 众数 方差
A 75 75 75 2.8
B 75 a b ⋆
其中：a= ，b= ；
（2）估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？
（3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？
7、解：（1）把这些数从小到大排列，最中间的数是第 5和第6个数的平均数，
74+75
则中位数a= =74.5（克）；
2
因为74出现了4次，出现的次数最多，
所以众数b是74克；
故答案为：74.5，74；
（2）根据题意得：
3
100× =30（个），
10
答：质量为75克的鸡腿有30个；
（3）选B加工厂的鸡腿．
1
A的方差是： [（74-75）2+4×（75-75）2+（76-75）2+（73-75）2+（72-75）2+（77-75）
10
2+（78-75）2]=2.8；
1
B的平均数是： （78+74+78+73+74+75+74+74+75+75）=75，
10
1
B的方差是： [2×（78-75）2+4×（74-75）2+（73-75）2+3×（75-75）2]=2.6；
10∵A、B平均值一样，B的方差比A的方差小，B更稳定，
∴选B加工厂的鸡腿．
8、每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级学生中开展“国家
安全法”知识竞赛，并从七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满
分10分，6分及以上为合格）进行统计．相关统计数据整理如下：
抽取的八年级学生的竞赛成绩（单位：分）：
4，5，5，6，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，10．
抽取的七、八年级学生的竞赛成绩统计表
平均数 中位数 众数 方差
七年级 7 a 7 s2
八年级 7 7 b 2.25
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= ；
（2）求出七年级成绩的方差s2；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的成绩谁更优异．
7+7
8、解：（1）由图表可得：a= =7；八年级学生的竞赛成绩8分的最多，所以b=8．
2
故答案为：7，8；
（2）七年级成绩的方差
1
s2= [（4-7）2+3×（5-7）2+4×（6-7）2+5×（7-7）2+3×（8-7）2+2×（9-7）2+2×（10-7）2]=
20
1
20
×54=2.7．
（3）因为七年级和八年级的平均数和中位数都相等，从方差看，八年级成绩的方差小于七年
级成绩的方差，八年级的成绩更稳定，所以八年级的成绩更优秀．
