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2017 年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题.（每小题5分）
1．（5 分）若集合 A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1 或 x＞3}，则 A∩B=
（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3}
C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a
的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（5分）若x，y满足 ，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（ ）x，则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
6．（5分）设 ， 为非零向量，则“存在负数 λ，使得 =λ ”是“ • ＜0”的（
）
第1页 | 共6页A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测
宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080，则下列各数中与 最接近的是（
）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
二、填空题（每小题5分）
9．（5分）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m= ．
10．（5分）若等差数列{a }和等比数列{b }满足a =b =﹣1，a =b =8，则 =
n n 1 1 4 4
．
11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标
为（1，0），则|AP|的最小值为 ．
第2页 | 共6页12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终
边关于y轴对称，若sinα= ，则cos（α﹣β）= ．
13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命
题的一组整数a，b，c的值依次为 ．
14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，
其中A 的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点
i
B的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，
i
3．
（1）记Q为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q ，Q ，Q 中最大的是
i 1 2 3
．
（2）记p 为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p ，p ，p 中
i 1 2 3
最大的是 ．
三、解答题
15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c= a．
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求△ABC的面积．
第3页 | 共6页16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥
平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各
50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标
x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记 ξ为选出的两人中指标 x的
值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的
方差的大小．（只需写出结论）
第4页 | 共6页18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与
抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线 OP、ON
交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
19．（13分）已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．
第5页 | 共6页20．（13 分）设{a }和{b }是两个等差数列，记 c =max{b ﹣a n，b ﹣
n n n 1 1 2
a n，…，b ﹣a n}（n=1，2，3，…），其中 max{x ，x ，…，x}表示x ，
2 n n 1 2 s 1
x ，…，x 这s个数中最大的数．
2 s
（1）若a =n，b =2n﹣1，求c ，c ，c 的值，并证明{c }是等差数列；
n n 1 2 3 n
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时， ＞M；或者存
在正整数m，使得c ，c ，c ，…是等差数列．
m m+1 m+2
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