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2017 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题.（每小题5分）
1．（5 分）若集合 A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1 或 x＞3}，则 A∩B=
（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1}
D．{x|1＜x＜3}
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合．
【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，
∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}
故选：A．
【点评】本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a
的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【考点】A1：虚数单位i、复数．
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【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；5N：数系的扩充和复数．
【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，
可得 ，解得a范围．
【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二
第1页 | 共22页象限，
∴ ，解得a＜﹣1．
则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理
能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】EF：程序框图．
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【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出
变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得
答案．
【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S= ，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S= ，
第2页 | 共22页当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为： ，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常
采用模拟循环的方法解答．
4．（5分）若x，y满足 ，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值
即可．
【解答】解：x，y满足 的可行域如图：
由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由 ，可得
A（3，3），
目标函数的最大值为：3+2×3=9．
故选：D．
第3页 | 共22页【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是
解题的关键．
5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（ ）x，则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
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【专题】2A：探究型；4O：定义法；51：函数的性质及应用．
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为
增函数，y=（ ）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．
【解答】解：f（x）=3x﹣（ ）x=3x﹣3﹣x，
∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3x为增函数，y=（ ）x为减函数，
故函数f（x）=3x﹣（ ）x为增函数，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性
质的综合应用，难度不大，属于基础题．
6．（5分）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是“ • ＜0”的（
）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
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【专题】35：转化思想；5A：平面向量及应用；5L：简易逻辑．
第4页 | 共22页【分析】 ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相
反，可得 • ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 • ＜
0，而 =λ 不成立．即可判断出结论．
【解答】解： ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方
向相反，可得 • ＜0．
反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 • ＜0，而 =λ 不成立．
∴ ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考
查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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第5页 | 共22页【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．
【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为 PA，根据勾
股定理求出即可．
【解答】解：由三视图可得直观图，
再四棱锥P﹣ABCD中，
最长的棱为PA，
即PA= =
=2 ，
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．
8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测
宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080，则下列各数中与 最接近的是（
）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【考点】4G：指数式与对数式的互化．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据对数的性质：T= ，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化
为10为底的指数形式，进而可得结果．
第6页 | 共22页【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
∴ ≈ =1093，
故选：D．
【点评】本题解题关键是将一个给定正数 T写成指数形式：T= ，考查指
数形式与对数形式的互化，属于简单题．
二、填空题（每小题5分）
9．（5分）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m= 2 ．
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．
【解答】解：双曲线x2﹣ =1（m＞0）的离心率为 ，
可得： ，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．
10．（5分）若等差数列{a }和等比数列{b }满足a =b =﹣1，a =b =8，则 =
n n 1 1 4 4
1 ．
第7页 | 共22页【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可
得到结果．
【解答】解：等差数列{a }和等比数列{b }满足a =b =﹣1，a =b =8，
n n 1 1 4 4
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
可得：8=﹣1+3d，d=3，a =2；
2
8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b =2．
2
可得 =1．
故答案为：1．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．
11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标
为（1，0），则|AP|的最小值为 1 ．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
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【专题】31：数形结合；44：数形结合法．
【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上
的点到点P的距离的最小值．
【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：
x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，
再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；
第8页 | 共22页如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：
|AP| =|CP|﹣r =2﹣1=1，
min C
故答案为：1．
【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，
难度不大．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终
边关于y轴对称，若sinα= ，则cos（α﹣β）= ﹣ ．
【考点】GP：两角和与差的三角函数．
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【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】方法一：根据教的对称得到 sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，以及两角差
的余弦公式即可求出
方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角
差的余弦公式即可求出
【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1= ﹣1=﹣
方法二：∵sinα= ，
当α在第一象限时，cosα= ，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第二象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣ ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣
：∵sinα= ，
第9页 | 共22页当α在第二象限时，cosα=﹣ ，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣
综上所述cos（α﹣β）=﹣ ，
故答案为：﹣
【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分
类讨论，属于基础题
13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假
命题的一组整数a，b，c的值依次为 ﹣ 1 ，﹣ 2 ，﹣ 3 ．
【考点】FC：反证法．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b
＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一
【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，
则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，
可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），
故答案为：﹣1，﹣2，﹣3
【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．
14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，
其中A 的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点
i
B的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，
i
3．
（1）记Q为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q ，Q ，Q 中最大的是
i 1 2 3
第10页 | 共22页Q ．
1
（2）记p 为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p ，p ，p 中
i 1 2 3
最大的是 p ．
2
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】11：计算题；27：图表型；35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】（1）若Q为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q=A的综坐标
i i i
+B的纵坐标；进而得到答案．
i
（2）若p 为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p 为AB 中点
i i i i
与原点连线的斜率；进而得到答案．
【解答】解：（1）若Q为第i名工人在这一天中加工的零件总数，
i
Q =A 的纵坐标+B 的纵坐标；
1 1 1
Q =A 的纵坐标+B 的纵坐标，
2 2 2
Q =A 的纵坐标+B 的纵坐标，
3 3 3
由已知中图象可得：Q ，Q ，Q 中最大的是Q ，
1 2 3 1
（2）若p为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，
i
则p为AB中点与原点连线的斜率，
i i i
故p ，p ，p 中最大的是p
1 2 3 2
故答案为：Q ，p
1 2
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出 Q 和p 的几何意义，是解答
i i
的关键．
第11页 | 共22页三、解答题
15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c= a．
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求△ABC的面积．
【考点】HP：正弦定理．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形．
【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案，
（2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，
根据面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∠A=60°，c= a，
由正弦定理可得sinC= sinA= × = ，
（2）a=7，则c=3，
∴C＜A，
∵sin2C+cos2C=1，又由（1）可得cosC= ，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，
∴S = acsinB= ×7×3× =6 ．
△ABC
【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基
础题
16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥
平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
第12页 | 共22页【考点】MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性
质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；
（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得 PG⊥平面ABCD，
则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别
以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面 PBD
与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角 B﹣PD﹣A
的大小；
（3）求出 的坐标，由 与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得
直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，
∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，
∵PD∥平面MAC，PD 平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，
∴PD∥OM，则 ⊂，即M为PB的中点；
（2）解：取AD中点G，
∵PA=PD，∴PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．
以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐
标系，
由PA=PD= ，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0， ），C
第13页 | 共22页（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2， ），
， ．
设平面PBD的一个法向量为 ，
则由 ，得 ，取z= ，得 ．
取平面PAD的一个法向量为 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；
（3）解： ，平面BDP的一个法向量为 ．
∴直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为|cos＜ ＞|=| |=|
|= ．
【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属
中档题．
17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各
第14页 | 共22页50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标
x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记 ξ为选出的两人中指标x的
值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的
方差的大小．（只需写出结论）
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，
由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．
（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在
四人中随机选项出的 2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，
1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方
差大．
【解答】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于
60，
答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：
p= = ．
第15页 | 共22页（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，
可知在四人中随机选项出的 2人中指标 x的值大于 1.7的人数ξ的可能取值为
0，1，2，
P（ξ=0）= ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
∴ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P
答：E（ξ）= =1．
（3）答：由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据
的方差大．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方
差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数
形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与
抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON
交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、
第16页 | 共22页性质与方程．
【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的
方程，焦点坐标和准线方程；
（2）设过点（0， ）的直线方程为y=kx+ ，M（x ，y ），N（x ，y ），根据
1 1 2 2
韦达定理得到x +x = ，x x = ，根据中点的定义即可证明．
1 2 1 2
【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），
∴1=2p，
解得p= ，
∴y2=x，
∴焦点坐标为（ ，0），准线为x=﹣ ，
（2）证明：设过点（0， ）的直线方程为
y=kx+ ，M（x ，y ），N（x ，y ），
1 1 2 2
∴直线OP为y=x，直线ON为：y= x，
由题意知A（x ，x ），B（x ， ），
1 1 1
由 ，可得k2x2+（k﹣1）x+ =0，
∴x +x = ，x x =
1 2 1 2
∴y + =kx + + =2kx + =2kx + =2kx +（1﹣k）
1 1 1 1 1
•2x =2x ，
1 1
第17页 | 共22页∴A为线段BM的中点．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用
韦达定理和中点的定义，属于中档题．
19．（13分）已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方
程．
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【专题】34：方程思想；48：分析法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可
得到所求方程；
（2）求出 f（x）的导数，再令 g（x）=f′（x），求出 g（x）的导数，可得 g
（x）在区间[0， ]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）
的最值．
【解答】解：（1）函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣
1，
可得曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为 k=e0（cos0﹣sin0）﹣
1=0，
切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
第18页 | 共22页令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex•sinx，
当x [0， ]，可得g′（x）=﹣2ex•sinx≤0，
∈
即有g（x）在[0， ]递减，可得g（x）≤g（0）=0，
则f（x）在[0， ]递减，
即有函数f（x）在区间[0， ]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；
最小值为f（ ）=e cos ﹣ =﹣ ．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整
理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．
20．（13 分）设{a }和{b }是两个等差数列，记 c =max{b ﹣a n，b ﹣
n n n 1 1 2
a n，…，b ﹣a n}（n=1，2，3，…），其中 max{x ，x ，…，x}表示x ，
2 n n 1 2 s 1
x ，…，x 这s个数中最大的数．
2 s
（1）若a =n，b =2n﹣1，求c ，c ，c 的值，并证明{c }是等差数列；
n n 1 2 3 n
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时， ＞M；或者存
在正整数m，使得c ，c ，c ，…是等差数列．
m m+1 m+2
【考点】83：等差数列的性质；8B：数列的应用．
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【专题】32：分类讨论；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）分别求得 a =1，a =2，a =3，b =1，b =3，b =5，代入即可求得
1 2 3 1 2 3
c ，c ，c ；由（b ﹣na ）﹣（b ﹣na ）≤0，则b ﹣na ≥b ﹣na ，则c =b ﹣
1 2 3 k k 1 1 1 1 k k n 1
na =1﹣n，c ﹣c =﹣1对 n N*均成立；
1 n+1 n
（2）由 b﹣an=[b +（i﹣1）d ]﹣[a +（i﹣1）d ]×n=（b ﹣a n）+（i﹣1）
i i 1 ∀ ∈1 1 2 1 1
（d ﹣d ×n），分类讨论d =0，d ＞0，d ＜0三种情况进行讨论根据等差数
2 1 1 1 1
列的性质，即可求得使得c ，c ，c ，…是等差数列；设 =An+B+ 对任
m m+1 m+2
第19页 | 共22页意正整数M，存在正整数m，使得n≥m， ＞M，分类讨论，采用放缩法
即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时， ＞M．
【解答】解：（1）a =1，a =2，a =3，b =1，b =3，b =5，
1 2 3 1 2 3
当n=1时，c =max{b ﹣a }=max{0}=0，
1 1 1
当n=2时，c =max{b ﹣2a ，b ﹣2a }=max{﹣1，﹣1}=﹣1，
2 1 1 2 2
当n=3时，c =max{b ﹣3a ，b ﹣3a ，b ﹣3a }=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，
3 1 1 2 2 3 3
下面证明：对 n N*，且n≥2，都有c =b ﹣na ，
n 1 1
当n N*，且2≤k≤n时，
∀ ∈
则（b ﹣na ）﹣（b ﹣na ），
∈k k 1 1
=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，
=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），
=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，
则（b ﹣na ）﹣（b ﹣na ）≤0，则b ﹣na ≥b ﹣na ，
k k 1 1 1 1 k k
因此，对 n N*，且n≥2，c =b ﹣na =1﹣n，
n 1 1
c ﹣c =﹣1，
n+1 n ∀ ∈
∴c ﹣c =﹣1，
2 1
∴c ﹣c =﹣1对 n N*均成立，
n+1 n
∴数列{c }是等差数列；
n ∀ ∈
（2）证明：设数列{a }和{b }的公差分别为d ，d ，下面考虑的c 取值，
n n 1 2 n
由b ﹣a n，b ﹣a n，…，b ﹣a n，
1 1 2 2 n n
考虑其中任意b﹣an，（i N*，且1≤i≤n），
i i
则b﹣an=[b +（i﹣1）d ]﹣[a +（i﹣1）d ]×n，
i i 1 1 ∈ 1 2
=（b ﹣a n）+（i﹣1）（d ﹣d ×n），
1 1 2 1
下面分d =0，d ＞0，d ＜0三种情况进行讨论，
1 1 1
①若d =0，则b﹣an═（b ﹣a n）+（i﹣1）d ，
1 i i 1 1 2
当若d ≤0，则（b﹣an）﹣（b ﹣a n）=（i﹣1）d ≤0，
2 i i 1 1 2
则对于给定的正整数n而言，c =b ﹣a n，此时c ﹣c =﹣a ，
n 1 1 n+1 n 1
∴数列{c }是等差数列；
n
第20页 | 共22页当d ＞0，（b﹣an）﹣（b ﹣a n）=（i﹣n）d ＞0，
2 i i n n 2
则对于给定的正整数n而言，c =b ﹣a n=b ﹣a n，
n n n n 1
此时c ﹣c =d ﹣a ，
n+1 n 2 1
∴数列{c }是等差数列；
n
此时取m=1，则c ，c ，…，是等差数列，命题成立；
1 2
②若d ＞0，则此时﹣d n+d 为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，
1 1 2
故必存在m N*，使得n≥m时，﹣d n+d ＜0，
1 2
则当n≥m时，（b﹣an）﹣（b ﹣a n）=（i﹣1）（﹣d n+d ）≤0，（i N*，
∈ i i 1 1 1 2
1≤i≤n），
∈
因此当n≥m时，c =b ﹣a n，
n 1 1
此时c ﹣c =﹣a ，故数列{c }从第m项开始为等差数列，命题成立；
n+1 n 1 n
③若d ＜0，此时﹣d n+d 为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，
1 1 2
故必存在s N*，使得n≥s时，﹣d n+d ＞0，
1 2
则当n≥s时，（b﹣an）﹣（b ﹣a n）=（i﹣1）（﹣d n+d ）≤0，（i N*，
∈ i i n n 1 2
1≤i≤n），
∈
因此，当n≥s时，c =b ﹣a n，
n n n
此时= =﹣a + ，
n
=﹣d n+（d ﹣a +d ）+ ，
2 1 1 2
令﹣d =A＞0，d ﹣a +d =B，b ﹣d =C，
1 1 1 2 1 2
下面证明： =An+B+ 对任意正整数 M，存在正整数 m，使得 n≥m， ＞
M，
若C≥0，取m=[ +1]，[x]表示不大于x的最大整数，
当n≥m时， ≥An+B≥Am+B=A[ +1]+B＞A• +B=M，
此时命题成立；
若C＜0，取m=[ ]+1，
第21页 | 共22页当n≥m时，
≥An+B+ ≥Am+B+C＞A• +B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，
此时命题成立，
因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时， ＞M；
综合以上三种情况，命题得证．
【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应
用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分
类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．
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