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2024-2025 学年八年级数学下学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：二次根式~一次函数（人教版）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．（3分）若二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】考查了二次根式有意义的条件，形如 的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非
负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
∴ ．
故选A．
2．（3分）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】设斜边长为x，则一直角边长为x-2，再根据勾股定理求出x的值即可．
【详解】设斜边长为x，则一直角边长为x-2，
根据勾股定理得，62+（x-2）2=x2，
解得x=10，
故选C．
【点睛】考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是
解题的关键．
3．（3分）下列说法正确的有（ ）个．
①菱形的对角线相等；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③有两个角是直角的四边形是矩形；④正方形既是菱形又是矩形；
⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据菱形的判定与性质、矩形的判定与性质进行解答．
【详解】解：①菱形的对角线不一定相等，故错误；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；
③有三个角是直角的四边形是矩形，故错误；
④正方形既是菱形又是矩形，故正确；
⑤矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误；
∴正确的有1个，
故选：A．
【点睛】考查了菱形和矩形的判定与性质．注意：正方形是一特殊的矩形，也是一特殊的菱形．
4．（3分）下列图象中，不表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】考查函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值
与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
【详解】解： ．根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，则y是x的函数，故该选项不
符合题意；
．根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，则y是x的函数，故该选项不符合题意；
．根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，则y是x的函数，故该选项不符合题意；
．根据图象知给自变量一个值，有2个函数值与其对应，则y不是x的函数，故该选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图， 是矩形 的对角线 的中点， 是 边的中点，若 ， ，则线段
的长为（ ）A．7 B．5 C．2 D．
【答案】B
【分析】先由三角形中位线定理得到 的长，再利用勾股定理求出 的长，则由直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半可得答案．
【详解】解：∵ 是矩形 的对角线 的中点， 是 边的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上
知识点．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将一次函数 （ 为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经
过原点，若点 在一次函数 的图象上，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．根
据一次函数的平移规律，得到平移后的解析式为 ，再根据平移后的图象过原点，求出 ，再
把点 代入一次函数 求解即可．
【详解】解： 将一次函数 为常数 的图象向上平移2个单位长度后得到 ，且经过原
点，
，
，
，
点 在一次函数 的图象上，，
故选：C．
7．（3分）如图，在菱形 中， ，点M和N分别是 和 上一点，沿 将 折
叠，点A恰好落在边 的中点E上．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、 角的直角三角形的性质、折叠性质等知识．过点M作
于点F．求出 ．则 ， ．设 ，则 ，
， ， ．根据勾股定理，得 ，
即 ，解得 ，即可求出 的长．
【详解】如图，过点M作 于点F．
∵四边形 是菱形，
∴
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ， ．
设 ，则 ， ， ， ．
根据勾股定理，得 ，即 ，解得 ，∴ ．
故选：B．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为 ．若直线l经过
点 ，且将 分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了一次函数和平行四边形，熟练掌握平行四边形的中心对称性，待定系数法求一次函数
解析式，是解题的关键．
首先根据直线l经过点 ，且将 分割成面积相等的两部分，求出E点坐标，然后设出函数关系
式，再利用待定系数法把D，E两点坐标代入函数解析式，可得到答案．
【详解】∵线l经过点将 分割成面积相等的两部分，
∴设直线l经过点 和边 上点E，
∵ ，
∴ ，
∵B的坐标为 ．
∴ ，
设直线l的函数解析式是 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线l的函数解析式是 ．
故选：D．9．（3分）甲、乙两人从公园门口骑自行车沿同一路线匀速行驶，乙先出发，一段时间后甲再出发．甲、乙
两人之间的路程差 与乙行驶的时间 的关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．乙的行驶速度为
B．甲的行驶速度为
C．
D．乙出发 或 时，甲、乙两人之间的路程差为
【答案】D
【分析】考查函数的图象，解答的关键是数形结合；根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度；根据
题意和图象中的数据，可以得到 的值，由图象可知甲乙相距 有两种情况，然后分别计算两种情况下乙
出发的时间即可解答．
【详解】解：由图可得，乙先出发，一段时间后甲再出发
乙的速度为： ，A正确；
由图可得，乙出发 小时后，到达目的地，
总路程为： ，C正确；
当 时，甲到达目的地，即甲走了 小时，
则甲的速度为： B正确；
前 ，乙行驶的路程为： ，
则甲、乙两人路程差为 是在甲乙相遇之后，
设乙出发 时，甲、乙两人路程差为 ，，
解得， ，
，得 ；
即乙出发 或 时，甲、乙两人路程差为 ．故D选项错误，符合题意，
故选：D．
10．（3分）已知正方形 中，O为 的中点，点P在线段 上，E为直线 上一点，且 ．
下列结论：① ，② ，③ ，④ ．其中正确结论的个数是
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】过P作 于F，交 于G，连接 ；证明 ，则可判定①正确；证明
，得 ，从而 ；设 ，则 ， ，从而可判定②
正确；设 ，则 ， ，由勾股定理 ，
，由此可判定③正确；由 ，则易判断④正确．
【详解】解：如图，过P作 于F，交 于G，连接 ；
四边形 是正方形，
， ，
，
四边形 是矩形，
；
；
，
；
， ，，
，
，
；
故①正确；
，
，
；
，
；
设 ，则 ，
， ， ，
， ，
，
由勾股定理得： ，
；
故②正确；
设 ，则 ， ，
由勾股定理 ， ，
；
故③正确；
，
，
即 ；
故④正确．
综上，四个结论全正确，故选：A．
【点睛】考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质
等知识，有一定的综合性，构造适当的辅助线是关键．
二、填空题（共18分）
11．（3分）化简二次根式： ．
【答案】
【分析】考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，由二次根式有意义的条件可得 ，进而利用二
次根式的性质和运算法则化简即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
故答案为： ．
12．（3分）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出 ， 的值，即可解决问题，掌握勾股定理的应
用是解题的关键．
【详解】解：如图，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．故答案为： ．
13．（3分）如图，在矩形 中， 相交于点O， 平分 交 于点E，若 ，则
的度数为 ．
【答案】 /75度
【分析】考查了矩形的综合题，根据矩形的性质和角平分线得 是等腰三角形，根据角之间的关系得
是等边三角形，根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，经过点 的直线 与直线 相交于点
，则不等式 的解集为 ．【答案】
【分析】考查了一次函数的图象与一元一次不等式．不等式 的解集就是图象上两个一次函数
的图象都在 轴的下方，且 的图象在 的图象的下边的部分对应的自变量的取值范围．
【详解】解： 经过点 的直线 与直线 相交于点 ，
不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
15．（3分）关于函数 ，给出下列说法正确的是 ．
①当 时，该函数是一次函数；
②若点 ， 在该函数图象上，且 ，则 ；
③若该函数不经过第四象限，则 ；
④该函数恒过定点 ．
【答案】①②④
【分析】考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质、根据一次函数的相关性质逐项分析求解即可．
【详解】解：当 时，该函数是一次函数，正确，故①符合题意；
若点 在该函数图象上，且 ，
，
y随x的增大而增大，则 正确，故②符合题意；
若该函数不经过第四象限，则 ，
原说法错误，故③不符合题意；
令 ，则 该函数恒过定点 ，正确，故④符合题意；
故符合题意的有①②④，
故答案为：①②④．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的对角线 上有P，Q两个动点，且 ，已知点
，当 周长最小时，点P的坐标为 ．【答案】
【分析】连接AP、AC交BD于点E，过A点作AD∥PQ，且AD=PQ，连接DQ、CD，则当点Q在线段CD上
时CQ+CP最短，从而 周长最小，则易得PA⊥OA，从而可求得点P的坐标．
【详解】解：连接AP、AC交BD于点E，过A点作AD∥PQ，且AD=PQ，连接DQ、CD，如图
∴四边形ADQP是平行四边形
∴DQ=AP，AD=PQ=2
由菱形的对称性知：AP=CP
∴DQ=CP
当点Q在线段CD上时，CQ+DQ= CQ+CP最短，从而 周长=CQ+CP+2最小
∵四边形OABC是菱形
∴OC=OA= ，CE=AE，AC⊥BD
∵∠AOC=60°
∴△OAC是等边三角形
∴
∵AD∥PQ
∴AC⊥AD
由勾股定理得
∴∠ACD=30°
∵AP∥CD
∴∠PAC=∠ACD=30°∴∠PAO=∠CAO+∠PAC=90°
即PA⊥OA
∵∠AOE=30°
∴OP=2AP
在Rt△PAO中，由勾股定理得：
解得：AP=2
则点P的坐标为
故答案为：
【点睛】考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最
短等知识，解题的关键是掌握过A点作AD∥PQ，且AD=PQ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】主要考查了二次根式的混合计算，分母有理化，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
（1）先利用完全平方公式去括号和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先计算二次根式除法和分母有理化，再去绝对值后计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
18．（8分）如图，四边形 中， ， ， ．
(1)直接写出 的度数为________， 的值为________．
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质以及三角形面积公式等知
识，熟练掌握勾股定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据四边形内角和即可得出答案，连接 ，证明是 等边三角形，得 ，
， ，然后由直角三角形的性质得 ，根据勾股定理求出即可 ，即
可得出结果；
（2）过点C作 ，交于点E，由勾股定理得 ，再由 列式计算即可．
【详解】（1） 在四边形四边形 中， ，
，
连接 ，
， ，
为等边三角形，
， ，，
，
，
，
在 中，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2）连接 ，过点C作 ，交于点E，
由（1）得 为直角三角形， 为等边三角形， ， ，
， ，
．
19．（8分）已知 与 成正比例，且 时，
(1)求y与x的函数表达式；
(2)点 在该函数图象上，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)点M的坐标为
【分析】（1）利用正比例函数的定义，设 ，然后把已知的对应值代入求出 即可；
（2）把 代入（1）中的解析式得到关于 的方程，然后解方程即可．
【详解】（1）设 与 的表达式为 ，把 时， 代入 得 ，
解得 ，
∴ 与 的关系式为 ，
即 ；
（2）∵点 在该函数图象上，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ．
【点睛】考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数 ，则需要两组 的值．也考查了一次函
数的性质．
20．（8分）如图，在平行四边形 中，M、N分别为 和 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)如果 ，那么四边形 是矩形吗？证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 是矩形，证明见解析
【分析】考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质结合线段中点的定义证明 即可；
（2）连接 ，证明四边形 是平行四边形，得到 ，由 得到 ，根据矩形的判
定即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵M，N分别为 和 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴四边形 是平行四边形；
（2）四边形 是矩形，
证明：连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵M，N分别为 和 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是矩形
21．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为6的平行四边形．
(2)在图2中以格点为顶点画一个面积为5的正方形．
(3)如图3，点 是小正方形的顶点，求 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)见详解(3)
【分析】考查作图-应用与设计，勾股定理以及逆定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）利用数形结合的思想画出边长为 的正方形即可；
（3）如图3中，连接 ，证明 是等腰直角三角形即可．
【详解】（1）解：如图1中，平行四边形 即为所求．
（2）如图2，满足条件的正方形 如图所示．
（3）解：连接 ，
∵正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，由勾股定理得，
，
为直角三角形， ，
又
为等腰直角三角形
．22．（10分）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验．对函数 的图象和性质进综合行了研
究．探究过程如下，请补充完整．
… 0 1 2 3 4 5 …
… 5 4 2 1 0 1 2 3 …
(1)自变量 的取值范围是全体实数．如表是 与 的几组对应值，其中， ______；
(2)如图，在平面直角坐标系 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请
画出该函数图象的另一部分；
(3)观察函数图象发现：该函数图象的最低点坐标是______；当 时， 随 的增大而______；
(4)进一步探究：
①不等式 的解集是______；
②若关于 的方程 只有一个解，则 的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3) ，减小
(4)① 或 ；② 或
【分析】（1）根据函数 ，计算出当 对应的函数值，从而可以求得 的值；
（2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象即可求得最低点坐标和增减性；
（4）①观察函数图象，去绝对值即可解一元一次不等式；②观察图象，分成 ， 两种情况时，找到正
比例函数 与函数 的图象只有一个交点时 的取值范围即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，故答案为： ；
（2）解：画出该函数图象的另一部分，如图：
（3）解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 ；
当 时， 随 的增大而减小；
故答案为： ，减小；
（4）解：①∵
∴当 时， ，
即不等式为： ，
解得：
当 时， ，
即不等式为： ，
解得：
∴不等式 的解集是： 或 ；
②观察图象，若关于 的方程 只有一个解，
即正比例函数 与函数 的图象只有一个交点，
当 时，由图象可知 与 时的 的图象必然有一个交点，
∴ 与 时的 的图象不能有交点，
即 ；
当 时， 与 时的 的图象没有交点，
∴ 与 时的 的图象必然有一个交点，
即 ；
∴ 的取值范围是 或 ；
故答案为： 或 ； 或 ．【点睛】考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和性质，解决的关键是根据图象回答问题．
23．（10分）如图，在正方形 中，边长为3，点M，N是边 ， 上两点，且 ，连接
， ；
(1)则 与 的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)若点E，F分别是 与 的中点，计算 的长；
(3)延长 至P，连接 ，若 ，试求 的长．
【答案】(1) ， ．
(2)
(3)
【分析】考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是熟练运用相关
性质进行推理证明和准确计算．
（1）证 ，得出 ， ，再证 即可；
（2）连 并延长交 于G，求出 长，再根据中位线的性质求出 即可；
（3）过点B作 于点H，根据勾股定理求出 ， ， 即可．
【详解】（1）解：设 与 交于点Q，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
（2）连 并延长交 于G，连接
∵ ，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴
∵
∴
∴ ， ，
∵F为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵正方形的边长为3， ，
∴ ，
∴ ；
（3）过点B作 于点H，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
24．（12分）已知，平面直角坐标系中，直线 ： 与x轴交于点 ，直线 ： （ ， 为
常数，且 ）与 轴正半轴及直线 分别交于点 ， ．
(1)如图1，若点 在 轴上，且 ．
①填空：点 的坐标为________，点 的坐标为________，直线 的解析式为________；
② 为直线 上一点，且 ，求点 的坐标；
(2)如图2，若 ， ，求直线 的解析式．
【答案】(1)① ； ； ；② 点坐标为 或 ．(2) 或
【分析】（1）①根据题意点 、 分别为直线 和 轴和 轴的交点，分别将 和 代入解析式即可得
到 、 的坐标，从而由 得到点 坐标，将 、 坐标代入 解析式即可求得答案；②根据题意可知
有两个 点满足题意，根据 可证明 ，得到 点坐标，求出直线 的解析
式，最后根据 是直线 和直线 的交点，求出 的坐标即可，同理可得到 的坐标；
（2）过点 作 交 于点 ，在 取 ，设 与 轴交点为 ，不妨设点 坐标为 ，
点坐标为 ，通过 计算出 的长度，利用两点距离公式，计算出
点坐标，再次利用两点距离公式，计算出 点坐标，最后利用待定系数法求得直线 的表达式．
【详解】（1）①直线 ： 与x轴交于点 ，点 在 轴上
当 时， ，解得 ，当 ， ，
，
，且直线 ： （ ）与 轴正半轴点 ，
将 、 代入 （ ），得
解得： ，
故答案为： ； ；
② 为直线 上一点，且
符合题意的 点有两个，如图 、 ，连接 、 分别交 轴于 、
在 和 中设直线 的解析式为： ，将 ， 代入，得
，解得： ，
直线 的解析式为：
是直线 和直线 的交点
，解得： ，
同理可得，
直线 的解析式为：
是直线 和直线 的交点
，解得： ，
综上所述， 点坐标为 或 ．
（2）过点 作 交 于点 ，在 取 ，连接 ，设 与 轴交点为 ，如图所示：，
不妨设点 坐标为 ， 点坐标为
将 代入 ，得到 ，那么 点坐标为
将 代入 ，得到 ，那么 点坐标为
，
解得
那么
点坐标为
解得 ，
当 ， ，此时 点坐标为
设直线 的表达式为 ，代入 ，，解得
故直线 的表达式为
当 ， ，此时 点坐标为
设直线 的表达式为 ，代入 ，
，解得
故直线 的表达式为
综上所述，故直线 的表达式为 或 ．
【点睛】考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定与性质，
三角形的面积，两点距离公式，等腰直角形的性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅
助线是解题的关键．
