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21.2.1 平行四边形及其性质（第 1 课时）
知识点1：平行四边形及其相关概念
1．（2022年江苏淮安）如图，在▱ ABCD中，CA⊥AB，若∠B=50°，则∠CAD的度数是 ．
【答案】40°/40度
【分析】根据平行四边形对边平行可得AD∥BC，利用平行线的性质可得∠CAD=∠ACB，因此利用直角
三角形两个锐角互余求出∠ACB即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵CA⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=50°，
∴∠ACB=90°−∠ B=40°，
∴∠CAD=∠ACB=40°，
故答案为：40°．
2．（2023年四川甘孜藏族自治州）如图，在平行四边形ABCD(AB<AD)中，按如下步骤作图：①以点A
1
为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于 MN的长为半
2
径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B=120°，则∠EAD为 °．
【答案】30
1
【分析】先利用基本作图得∠EAB=∠EAD= ∠BAD，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到
2∠BAD=180°−∠ B=60°，从而得到∠EAD=30°．
【详解】解：由作法得AE平分∠BAD，
1
∴∠EAB=∠EAD= ∠BAD，
2
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD ∥ BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°−120°=60°，
1
∴∠EAD= ∠BAD=30°．
2
故答案为：30．
3．（2024年吉林）如图，在▱ ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：
AE=BC．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAE=∠OBC，∠OCB=∠E，
∵点O是AB的中点，
∴OA=OB，
∴△AOE≌△BOC(AAS)，
∴AE=BC．
知识点2：平行四边形的对边相等，对角相等
4．平行四边形ABCD中，∠A +∠C =200°，则∠B = .
【答案】80°/80度
【分析】根据平行四边形的性质（平行四边形的对角相等，对边平行）可得
∠A=∠C，∠A＋∠B=180°，又由∠A＋∠C=200° ，可得∠A．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
∵∠A+∠C=200∘，
∴∠A=100∘ ，∵AB∥CD，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°−100°=80°．
故答案为：80°．
5．（2024年广东广州）如图，▱ ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则
DE= ．
【答案】5
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．
由平行四边形的性质可知，AD=BC=2，BC∥AD，进而得出∠BAE=∠EBA，再由等角对等边的性质，得
到BE=AE=3，即可求出DE的长．
【详解】解：在 ABCD中，BC=2，
▱
∴AD=BC=2，BC∥AD，
∴∠CBA=∠BAE，
∵BA平分∠EBC，
∴∠CBA=∠EBA，
∴∠BAE=∠EBA，
∴BE=AE=3，
∴DE=AD+AE=2+3=5，
故答案为：5．
6．（2022年江苏南京）如图，
▱
ABCD的顶点A、C分别在直线l
1
，l
2
上，l
1
∥l
2
，若∠1=33°，
∠B=65°，则∠2= ．【答案】32°/32度
【分析】根据平行四边形的性质得到∠B=∠ＣDA=65°，再利用平行线的性质得到∠1+∠2=∠CDA即
可解答．
【详解】解：过点D作DE∥l ，
2
∴∠2=∠EDC
∵l ∥l ，
1 2
∴DE∥l ，
1
∴∠1=∠ADE，
∴∠CDA=∠1+∠2，
∵在 ABCD中，
▱
∴∠B=∠CDA，
∵∠B=65°，
∴∠B=∠CDA=65°，
∵∠1=33°，
∴∠2=∠CDA−∠1=32°，
故答案为：32°．
7．如图，平行四边形OABC的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(5,0)、(2,3)，则点B的坐标为
．【答案】(7,3)
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题
的关键．根据平行四边形的性质可得BC=OA=5，点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，从而即可得到点B的坐
标．
【详解】解：∵A(5,0)，O(0,0)，
∴OA=5，
∵ OABC为平行四边形，
∴BC=OA=5，OA∥BC，
∴点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，
∵C(2,3)
∴点B的坐标为(7,3)，
故答案为：(7,3)．
8．（2023年山东菏泽）如图，在▱ ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E；CF平分∠BCD，交AD于点
F．求证：AE=CF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，∠BAD=∠DCB，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE=∠DAE=∠BCF=∠DCF，
在△BAE和△DCF中，
∠B=∠D
{ )
AB=CD
∠BAE=∠DCF
∴△BAE≌△DCF(ASA)
∴AE=CF．
9．（2025年四川宜宾）如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点
F，AD=5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，BC∥AD，
∴∠EFC=∠EAD，∠ECF=∠EDA，
∵点E是平行四边形ABCD边CD的中点，
∴CE=DE，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴CF=AD=5，
∴BF=BC+CF=5+5=10．
10．（2024年四川泸州）如图，在▱ ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE=BF．求证：∠1=∠2．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵DE=BF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴∠1=∠2．
知识点3：平行四边形的对角线互相平分
11．（2023年四川成都）如图，在▱ ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．AC=BD B．OA=OC C．AC⊥BD D．∠ADC=∠BCD
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，A. AC=BD，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. OA=OC，故该选项正确，符合题意；
C. AC⊥BD，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
D. ∠ADC=∠BCD，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
12．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】通过平行四边形ABCD性质，可计算得AO；再结合AB⊥AC推导得△ABO为直角三角形，通过勾股
定理计算得BO，再结合平行四边形性质，计算得到答案．
【详解】解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝▱CO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴∠BAO＝90°，OA＝3
∴BO=❑√AB2+AO2=❑√42+32=5，
∴BD＝2BO＝10，
故选：C．
13．（2023年海南）如图，在▱ ABCD中，AB=8，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，
若AE=2ED，则CE的长为（ ）
A．6 B．4 C．4❑√3 D．2❑√6
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得∠D=∠ABC=60°，CD=AB=8，AD∥BC，由平行线的性质可得∠AEB=∠CBE，由角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，从而得到∠ABE=∠AEB，推出AE=AB=8，
1
DE=4，过点E作EF⊥CD于点F，由直角三角形的性质和勾股定理可得DF= DE=2，EF=2❑√3，CF=6，
2
即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠ABC=60°，CD=AB=8，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵ BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=8，
∵AE=2ED，
∴DE=4，
如图，过点E作EF⊥CD于点F，
，
则∠EFC=∠EFD=90°，
∴∠DEF=90°−∠ D=90°−60°=30°，
1
∴DF= DE=2，
2
∴EF=❑√DE2 −DF2=❑√42 −22=2❑√3，CF=CD−DF=8−2=6，
，
∴CE=❑√CF2+EF2=❑√62+(2❑√3) 2=4❑√3
故选：C．
1
14．（2023年四川遂宁）如图， ABCD中，BD为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于 AB的长为半
▱
2
径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AD于点E，交AB于点F，若AD⊥BD，BD=4，BC=8，则AE的
长为 ．【答案】5
【分析】连接BE，根据基本作图，得到BE=AE=x，利用平行四边形的性质，得
ED=AD−AE=AD−BE=8− x，在Rt△BDE中，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示，连接BE，
根据基本作图，可设BE=AE=x，
∵ ABCD，AD⊥BD，BC=8，
▱
∴AD=BC=8，∠BDE=90°，ED=AD−AE=AD−BE=8− x，
在Rt△BDE中，BD=4，由勾股定理得BD2+DE2=BE2，
∴x2=(8− x) 2+42，
解得x=5，
即AE=5，
故答案为：5．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折
叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，EC= ，DE= ．
【答案】 8 ， ❑√37−3.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质，由平行
四边形的性质得∠AEB=∠CBE，由折叠得∠AEB=∠CEB，从而得∠CBE=∠CEB，所以EC=BC=8；由
平行四边形的性质得∠DEC=∠BCA′，∠A=60°，∠D=120°，AB=CD，由折叠得∠BA′E=∠A=60°，∠BA′C=∠D=120°，BA′=CE，可证明△BA′C≌△CDE(AAS)，得
A′C=DE；过点B作BH⊥EC于点H，分别求出A′H=3，CH=❑√37，从而可求出A′C即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,∠A+∠ABC=180°,∠D=∠ABC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCA′，
∵∠ABC=120°，
∴∠A=60°；
由折叠得∠AEB=∠CEB，∠BA′E=∠A=60°，
∴∠CBE=∠CEB，
∴EC=BC=8；
∵∠BA′E=60°，
∴∠BA′C=120°，
∵∠D=∠ABC=120°,
∴∠BA′C=∠D，
又BC=EC，∠DEC=∠BCA′
∴△BA′C≌△CDE(AAS)，
∴A′C=DE；
过点B作BH⊥EC于点H，如图，
∵∠BA′E=60°，
∴∠A′BH=30°，
1 1
∴A′H= A′B= ×6=3，
2 2
∴BH=❑√A′B2 −A′H2=❑√62 −32=3❑√3，
∴ ，
HC=❑√BC2 −BH2=❑√82 −(3❑√3) 2=❑√37
∴A′C=HC−HA′=❑√37−3，
∴DE=A′C=❑√37−3．
故答案为：8；❑√37−3．
