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21.2.2 平行四边形的判定（第 1 课时）
知识点1：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形
1．如图，已知AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，则图中的平行四边形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据平行条件逐一判定平行四边形的方法是解题的关键．
根据平行四边形的判定定理，结合已知的平行线关系来确定图中的平行四边形．
【详解】解：∵AB∥EG，EF∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
∵EF∥BC，AC∥FG，
∴四边形AFBC是平行四边形；
∵AB∥EG，AC∥FG，
∴四边形ABGC是平行四边形．
综上，图中共有3个平行四边形．
故选：B．
2．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么
四边形AFDE的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的和判定和性质．由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平
行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明 AFDE的周长等于AB+AC．
▱【详解】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
则四边形AFDE是平行四边形，
∠B=∠EDC，∠FDB=∠C
∵AB=AC=5，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠FDB，∠C=∠EDF
∴BF=FD，DE=EC，
所以： AFDE的周长等于AB+AC=10．
▱
故选：B．
3．（2023年青海）如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB=AC，CF∥BE.
(1)尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形.
【详解】（1）解：如图，AD为所作；
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AD平分∠CAE，
∴∠CAD=∠EAD，
∵∠CAE=∠B+∠ACB，
即∠CAD+∠EAD=∠B+∠ACB，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
4．（2023年宁夏）如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC=∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形．
【详解】证明：∵EF∥AC，
∴∠EDC+∠BCD=180°，
又∵ ∠EDC=∠CBE，
∴∠CBE+∠BCD=180°，
∴BE∥CD，
∵ED∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形．
知识点2：对边相等/对角相等/对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．（四川泸州）四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平
行四边形的是（ ）
A．AD//BC B．OA=OC，OB=OD C．AD//BC，AB=DC D．AC⊥BD
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行分析判断即可．
【详解】解：A、只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故错误；
B、 OA=OC，OB=OD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；
C、 AD//BC，AB=DC，一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故
错误；
D、对角线互相垂直不能判定四边形是平行四边形，故错误，
故选B．
6．（江苏泰州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥
BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平
行四边形的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可．
【详解】如图，（1）∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）∵在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（4）∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
综上所述，上述四组条件一定能判定四边形ABCD是平行四边形的有3组．
故选：C．
7．（2024年河北省中考数学试题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交
AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2 ，
∴①______．
又∵∠4=∠5，MA=MC，
∴△MAD≌△MCB（②______）．
∴MD=MB．∴四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．∠1=∠3，AAS B．∠1=∠3，ASA C．∠2=∠3，AAS D．∠2=∠3，ASA
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得∠ABC=∠3，根据
三角形外角的性质及角平分线的定义可得∠2=∠3，证明△MAD≌△MCB，得到MD=MB，再结合中点的
定义得出MA=MC，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，
∴①∠2=∠3．
又∵∠4=∠5，MA=MC，∴△MAD≌△MCB（②ASA）．
∴MD=MB．∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
8．（云南曲靖）如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】C
【详解】如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，可得OA=OE=AF=EF，所以四边形AOEF是
平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABOD都是平
行四边形，共6个，故答案选C.考点：正多边形和圆；平行四边形的判定．
9．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且OA=OC，BE=DF．要使四边
形AECF为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）．
【答案】OB=OD（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握
平行四边形的判定定理．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加OB=OD，可证明OE=OF，结合OA=OC即可证明四边形
AECF为平行四边形．
【详解】解：添加的条件是OB=OD（答案不唯一）．
理由如下：∵BE=DF，OB=OD，
∴ OB−BE=OD−DF，即OE=OF，又∵OA=OC，
∴四边形AECF为平行四边形，符合题意．
故答案为：OB=OD（答案不唯一）．
10．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，添一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形．（不需作
其它辅助线）
【答案】AD=BC.(答案不唯一)
【分析】本题考查了平行四边形的判定，是开放题，答案不唯一，利用平行四边形的判定方法来添加条件，
平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行，2、一组对边平行
且相等，3、两组对边分别相等，4、对角线互相平分，5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
根据平行四边形的判定方法，可以再加一个：AD=BC的条件，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边
形而得证．
【详解】解：根据平行四边形的判定，可添加：AD=BC(答案不唯一)．
故答案为：AD=BC（或∠BAC=∠ACD）．
11．（江西）在直角坐标系中，已知A(1,0)，B(− 1，,−C2()2,−2)三点坐标，若以A、B、C、D为顶
点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是 ．(填序号)
①(−2,0)②(0,−4)③(4,0) ④(1,−4)
【详解】解：如图所示：
若以AB为对角线，则D的坐标为(−2,0)；
若以AC为对角线，则D的坐标为(4,0)；若以BC为对角线，则D的坐标为(0,−4)；
综上可得①②③正确．
故答案为：①②③．
12．（2021年湖南岳阳）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是________；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
【详解】（1）显然，直接添加AF//CE，可根据定义得到结果，
故答案为：AF//CE（答案不唯一，符合题意即可）；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//CF，
∵AF//CE，
∴四边形AECF为平行四边形．
13．已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则此四边形是（
）
A．长方形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
根据题意，得到(a−c) 2+(b−d) 2=0，从而有a=c，b=d，结合两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
得到结果．
【详解】解：∵a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，
∴ a2 −2ac+c2+b2 −2bd+d2=0，
即 (a−c) 2+(b−d) 2=0，
∵ (a−c) 2≥0，(b−d) 2≥0，
∴a−c=0 且 b−d=0，即 a=c，b=d，
∴ 四边形两组对边分别相等，
∴ 此四边形为平行四边形.
故选：D．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且
AB=BE．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠E=60°，AB=8，求四边形ABCD的面积．
【详解】（1）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AB=BE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴∠DAE=∠AEB，
∴AD∥BE，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AB=BE，BF⊥AE，∠E=60°，AB=8，
1
∴△ABE是等边三角形，AF=EF= AE，
2
1
∴AB=BE=AE=8，AF=EF= AE=4，
2
∴BF=❑√AB2 −AF2=4❑√3，
∵AD∥BE，
∴∠D=∠ECF,∠DAF=∠E，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴S =S ，
△ADF △ECF
1
∴S =S = AE⋅BF=16❑√3．
四边形ABCD △ABE 215．四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，若AC=8，BD=6，则AD+BC的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】过点D作DO∥AC，过点C作CO∥AD，二线交于点O，则四边形ACOD是平行四边形，利用勾股
定理，三角形三边关系定理解答即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，熟练掌握判定和性质，勾股定
理是解题的关键．
【详解】解：过点D作DO∥AC，过点C作CO∥AD，二线交于点O，
则四边形ACOD是平行四边形，
∴AC=OD,AD=CO，
∵AC⊥BD,
∴DO⊥BD,
∵AC=8，BD=6,
∴AC=DO=8，BD=6,
∴BO=❑√DO2+BD2=10,
∵BC+CO≥BO，
∴BC+AD≥BO，
故当C，O，B三点共线时，AD+BC取得最小值，且最小值为BO=10，
故选：D．
