文档内容
专题 11.2 三角形的内角和外角、多边形及其内角和
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 三角形内角和定理的证明】....................................................................................................................1
【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】....................................................................................................4
【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】................................................................................................6
【考点四 三角形折叠中的角度问题】....................................................................................................................8
【考点五 直角三角形的两个锐角互余】..............................................................................................................10
【考点六 三角形的外角的定义及性质】..............................................................................................................11
【考点七 求多边形内角和问题】..........................................................................................................................14
【考点八 正多边形的内角问题】..........................................................................................................................15
【考点九 多边形截角后的内角和问题】..............................................................................................................16
【考点十 正多边形的外角问题】..........................................................................................................................18
【考点十一 多边形外角和的实际应用】..............................................................................................................19
【过关检测】............................................................................................................................................................21
【典型例题】
【考点一 三角形内角和定理的证明】
例题：（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为 展开证明讨论，以下四个学生的作
法中，不能证明 的内角和为 的是（ ）
A． 过点A作 B． 延长BC到点D，过点C作
C． 过点A作 于点D D． 过BC上一点D作 ，【变式训练】
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于 ”时，飞翔班的同学作了如下
四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于 ”的是（ ）
A． 延长 至D过C作 B． 过A作
C． 过D作 D． 过P作 ， ，
2．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回
答不正确的是（ ）
定理：三角形的内角和为 ．
已知： ．
求证： ．
证明：延长 到点 ，过点 作 ，
◎（两直线平行，内错角相等），
___▲______（_____※______）．
（平角定
义），
（等量代换）．
A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表两直线平行，同位角相等
【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在 中， ，过点 作 ．若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知 ， ， ，则
为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．105°
2．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图， 的顶点D，E在 的边BC
上， ， ，若 ，则 的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】
例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在 中， 和 分别平分 和 ，
若 ，则 的大小为______ ．【变式训练】
1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在 中， 是 的平分线， ，
．求 的度数．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在 中， 是 的角平分线，作 交
于点E， ， ，求 的度数．
【考点四 三角形折叠中的角度问题】
例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）如图，已知 中， ，现将 进行
折叠，使顶点 、 均与顶点A重合，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，将 沿着平行于 的直线折叠，使得点 落到点 处，若 ， ，则 的度数为______ ．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图甲所示三角形纸片 中， ，将纸片沿过点B的直线折
叠，使点C落到 边上的E点处，折痕为 (如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D
重合，折痕为 (如图丙)，则 的大小为______°．
【考点五 直角三角形的两个锐角互余】
例题：（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知 ，点 在直线 上，点 在直线 上，
于点 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，直线 ， 于点A，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图， ， ， ，则
_________．
【考点六 三角形的外角的定义及性质】
例题：（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知直线 ， 被直线 ， 所截，且 ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）如图，若 ， ， ，
则 ___________．2．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，已知 ，点A在 上，点B和D在 上，点C在
的延长线上， ， ，则 的度数是_____．
【考点七 求多边形内角和问题】
例题：（2024上·湖北咸宁·八年级统考期末）已知一个多边形的内角和为 ，则它的边数为 .
【变式训练】
1．（2023上·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期中）十一边形的内角和为 ．
2．（2023上·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期中）如图， 分别是四边形 的内角
，外角 的平分线，若 ，则 °．
【考点八 正多边形的内角问题】
例题：（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）一个正多边形的内角和为 ，则这个正多边形
的每个内角为 度．
【变式训练】
1．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）若一个正多边形每一个内角都等于 ，则此正多边形的对角线
总条数为 ．2．（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）一个正多边形的每个外角为 ，那么这个正多边形的内角和是
．
【考点九 多边形截角后的内角和问题】
例题：（2024上·北京朝阳·八年级统考期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角
和为 的凸多边形纸片，则n的值为 ．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁营口·八年级校联考期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为 ，
那么原多边形有 条边．
2．（2023上·四川南充·八年级校联考阶段练习）从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为
．
【考点十 正多边形的外角问题】
例题：（2023上·广西南宁·八年级校考期中）如图，六角螺母的横截面是正六边形，则 的度数为
．
【变式训练】
1．（2023上·重庆·八年级校联考期中）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边
形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 ．
2．（2023上·浙江·九年级校联考期中）如果一个正多边形的一个外角是 ，那么这个正多边形的边数为
．【考点十一 多边形外角和的实际应用】
例题：（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期末）如图，正三角形 （图 和正五边形 （图2）的
边长相同．点 为 的中心，用5个相同的 拼入正五边形 中，得到图3，则图3中的五
角星的五个锐角均为 ．
【变式训练】
1．（2023上·吉林松原·八年级校联考期末）如图，A、B、C、D为一个外角为 的正多边形的顶点．若
O为正多边形的中心，则 ．
2．（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主
题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八
边形徽章一个内角的大小为 °．【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）六边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，直线 ，点A在直线m上，点B在直线n上，连接 ，
过点A作 ，交直线n于点C．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图，正五边形 ， 平分 ， 平行 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图1， 中，点E和点F分别为 上的点，把 纸片沿
折叠，使得点A落在 的外部 处， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
5．（2023·浙江·八年级假期作业）定理：三角形的内角和是180°．
已知： 、 、 是 的三个内角．
求证： ．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示 ；③上述证明得到的结论，只有在
锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
二、填空题
6．（浙江省杭州市萧山区高桥初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）若一个多边形的内角
和的 比一个五边形的内角和多 ，那么这个多边形的边数是 ．
7．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则
的度数为 ．
8．（23-24八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为 边 的延长线上一点，若 ，， 的角平分线与 的角平分线交于点M，则 度．
9．（22-23八年级上·山西太原·期中）如图，在 中， 是 上一点，
，垂足分别为D，F，若 ，则 ， ，
．
10．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）在 中， ， ，点 在 边上，连接 ，
若 为直角三角形，则 的度数为 度．
三、解答题
11．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图①，试比较 的大小；如图②，试比较 的大
小．
12．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）已知一个 边形的每一个内角都等于 ．
(1)求 ；
(2)求这个 边形的内角和；
(3)从这个 边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？13．（22-23七年级下·广西桂林·期中）如图，在 中， 平分 与 相交于点H，
．
(1)试说明 的理由；
(2)若 ，求 的度数．
14．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，小明从 点出发，前进10米到达点 ，向右转 再前进10
米到达点 ，又向右转 再前进10米到达 …小明这样一直右转 次刚好回到出发点 ．根据信息，解
答下列问题：
(1) 的值为______；
(2)小明走出的这个多边形周长为______；
(3)若一个正多边形的内角和比外角和多 ，求这个多边形的每个内角的度数．
15．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，在 中， 平分 ，P为线段 上的
一个动点， 交直线 于点E．(1)若 ， ，求 的度数；
(2)当P点在线段 上运动时，猜想 与 、 的数量关系．写出结论，无须证明．
16．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）在四边形 中， ．
(1)如图 ，若 ，求出 的度数；
(2)如图①，若 的角平分线交 于点E，且 ，求出 的度数；
(3)如图②，若 和 的角平分线交于点E，求出 的度数．
③
17．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图 ，已知线段 相交于点 ，连接 ，则我们把
形如这样的图形称为“ 字型”．(1)求证： ；
(2)如图 所示， ，则 的度数为______；
(3)如图 ，若 和 的平分线 和 相交于点 ，且与 ， 分别相交于点， ， ，若
， ，求 的度数．
18．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数
的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 的三角形是
“完美三角形”．
(1)如图1， ，在射线 上找一点A，过点A作 交 于点B．则 ______°，
______“完美三角形”（填“是”或“不是”）；
(2)如图2， 为钝角，点D在 的边 上，连接 ，作 的平分线交 于点E，在
上取一点F，使 ， ，请问 与 是否平行？并说明理由．
(3)若 是“完美三角形”，求 的度数．
