文档内容
专题 11.2 三角形的内角和外角、多边形及其内角和
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 三角形内角和定理的证明】....................................................................................................................1
【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】....................................................................................................4
【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】................................................................................................6
【考点四 三角形折叠中的角度问题】....................................................................................................................8
【考点五 直角三角形的两个锐角互余】..............................................................................................................10
【考点六 三角形的外角的定义及性质】..............................................................................................................11
【考点七 求多边形内角和问题】..........................................................................................................................14
【考点八 正多边形的内角问题】..........................................................................................................................15
【考点九 多边形截角后的内角和问题】..............................................................................................................16
【考点十 正多边形的外角问题】..........................................................................................................................18
【考点十一 多边形外角和的实际应用】..............................................................................................................19
【过关检测】............................................................................................................................................................21
【典型例题】
【考点一 三角形内角和定理的证明】
例题：（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为 展开证明讨论，以下四个学生的作
法中，不能证明 的内角和为 的是（ ）
A． 过点A作 B． 延长BC到点D，过点C作
C． 过点A作 于点D D． 过BC上一点D作 ，【答案】C
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：A、由 ，则 ， ．由 ，得
，故符合题意．
B、由 ，则 ， ．由 ，得 ，
故符合题意．
C、由 于 ，则 ，无法证得三角形内角和是 ，故不符合题意．
D、由 ，得 ， ，则 ．由 ，得 ，
，由 ，得 ，故符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的
关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于 ”时，飞翔班的同学作了如下
四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于 ”的是（ ）
A． 延长 至D过C作 B． 过A作
C． 过D作 D． 过P作 ， ，
【答案】C
【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】A、 ， ， ，由 ，得
，故A不符合题意；
B、 ， ， ，由 ，得，故B不符合题意；
C、 ， ， ，无法证得三角形的内角和等于 ，故C符合题意；
D、如图， ， ， ， ，
， ， ，故D不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．
2．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回
答不正确的是（ ）
定理：三角形的内角和为 ．
已知： ．
求证： ．
证明：延长 到点 ，过点 作 ，
◎（两直线平行，内错角相等），
___▲______（_____※______）．
（平角定
义），
（等量代换）．
A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表两直线平行，同位角相等
【答案】B
【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可．
【详解】证明：延长 到点 ，过点 作 ，
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等）．（平角定义），
（等量代换）．
∴四个选项中只有B选项结论错误，符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键．
【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】
例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在 中， ，过点 作 ．若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质可求得出 的度数，然后在 中利用三角形内角和定理即可求出 的
度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点．牢记三角形内角和是 是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知 ， ， ，则
为（ ）A．45° B．60° C．90° D．105°
【答案】D
【分析】由直角三角形的性质得出 ， ，由平行线的性质得出 ，再由
三角形内角和定理即可求出∠CGD的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解
决问题的关键．
2．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图， 的顶点D，E在 的边BC
上， ， ，若 ，则 的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得 ， ，再根据三角形内角和定理得
，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】
例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在 中， 和 分别平分 和 ，
若 ，则 的大小为______ ．
【答案】 /110度
【分析】由三角形的内角和定理可求得 ，再由角平分线的定义可求得
，从而可求 ．
【详解】 ，
，
和 分别平分 和 ，
， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，解答的关键是明确三角形的内角和
为 ．
【变式训练】
1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在 中， 是 的平分线， ，
．求 的度数．【答案】
【分析】根据三角形内角和为 ，分别列出 和 的内角和等式，再根据已知条件，即可求解．
【详解】 ， ， ．
，
是 角平分线，
，
在 中， ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义，掌握三角形内角和为 是解题的关键．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在 中， 是 的角平分线，作 交
于点E， ， ，求 的度数．
【答案】
【分析】利用三角形内角和求出 ，根据角平分线的定义得到 ，根据平行线的性质求出
，再利用三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：∵ ， ，
，
平分 ，
，
又 ，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【考点四 三角形折叠中的角度问题】
例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）如图，已知 中， ，现将 进行
折叠，使顶点 、 均与顶点A重合，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠得到 ，结合三角形内角和求出 的度数．
【详解】解：在 中， ，
∵折叠，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到角相等．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，将 沿着平行于 的
直线折叠，使得点 落到点 处，若 ， ，则 的度数为______ ．
【答案】100
【分析】根据三角形的内角和定理，即可求出 ，然后根据平行线的性质，即可求出 ，再根据折
叠的性质可得 ，从而求出 ．【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
根据折叠的性质： ，
∴ ．
故答案为：100．
【点睛】此题考查的是三角形的内角和应用、平行线的性质和折叠的性质，掌握三角形的内角和定理、平
行线的性质和折叠的性质是解决此题的关键．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图甲所示三角形纸片 中， ，将纸片沿过点B的直线折
叠，使点C落到 边上的E点处，折痕为 (如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D
重合，折痕为 (如图丙)，则 的大小为______°．
【答案】72
【分析】设 ，根据翻折不变性可知 ， ，利用三角
形内角和定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：设 ，根据翻折不变性可知 ， ，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查翻折变换、三角形的内角和定理，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
【考点五 直角三角形的两个锐角互余】
例题：（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知 ，点 在直线 上，点 在直线 上，
于点 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形
两锐角互余是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，直线 ， 于点A，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形两个锐角互余及平行线的性质可进行求解．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查直角三角形的两个锐角互余及平行线的性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余
及平行线的性质是解题的关键．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图， ， ， ，则
_________．
【答案】 /30度
【分析】利用同角的余角相等进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂直的定义，互余关系．熟练掌握同角的余角相等，是解题的关键．
【考点六 三角形的外角的定义及性质】
例题：（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知直线 ， 被直线 ， 所截，且 ， ，
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形外角的性质求出 ，再根据平行线的性质即可得到 的度数
【详解】解：如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握平行线和三角形外角的
性质．
【变式训练】
1．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）如图，若 ， ， ，
则 ___________．
【答案】 /149度【分析】延长 交 于点 ，由三角形的外角性质可求得 的度数，再次利用三角形的外角性质
即可求 的度数．
【详解】解：延长 交 于点 ，如图，
∵ ， ， 是 的外角，
，
∵ ， 是 的外角，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解题的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之
和．
2．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，已知 ，点A在 上，点B和D在 上，点C在
的延长线上， ， ，则 的度数是_____．
【答案】 /40度
【分析】利用平行线的性质求出 ，再利用三角形外角的性质计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质是解决本题的关键．
【考点七 求多边形内角和问题】
例题：（2024上·湖北咸宁·八年级统考期末）已知一个多边形的内角和为 ，则它的边数为 .
【答案】8
【分析】本题考查多边形内角和公式，若多边形边数为 ，其内角和为 ，利用公式即可解题．
【详解】解：设多边形边数为 ，
有 ，解得 ，
所以多边形边数为8．
故答案为：8．
【变式训练】
1．（2023上·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期中）十一边形的内角和为 ．
【答案】 /1620度
【分析】本题主要考查多边形内角公式，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式： ．
【详解】解：十一边形的内角和等于： ．
故答案为： ．
2．（2023上·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期中）如图， 分别是四边形 的内角
，外角 的平分线，若 ，则 °．
【答案】25
【分析】本题考查了角平分线，三角形外角的性质，多边形内角和．明确角度之间的数量关系是解题的关
键．
由角平分线可得， ， ，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵ 分别是四边形 的内角 ，外角 的平分线，
∴ ， ，
∴
故答案为：25．
【考点八 正多边形的内角问题】
例题：（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）一个正多边形的内角和为 ，则这个正多边形
的每个内角为 度．
【答案】120
【分析】本题主要考查了多边形的内角和正多边形，首先设此多边形为n边形，根据题意得：
，即可求得 ，再由多边形的内角和除以9，即可求得答案．
【详解】解：设此多边形为n边形，
根据题意得： ， 解得： ，
∴这个正多边形的每一个内角等于： ．
故答案为：120．
【变式训练】
1．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）若一个正多边形每一个内角都等于 ，则此正多边形的对角线总条数为 ．
【答案】54
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，根据正n边形的内角和为
，结合每个内角度数为 求出边数n，再根据n边形一个顶点可以引 条对角线进行求
解即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得， ，
解得 ，
∴此正多边形的对角线总条数为 条，
故答案为：54．
2．（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）一个正多边形的每个外角为 ，那么这个正多边形的内角和是
．
【答案】 /540度
【分析】本题考查正多边形的内角和和外角和的综合，先利用正多边形的外角和为 求得边数，再根据
多边形的内角和公式求解即可．
【详解】解：∵正多边形的每个外角为 ，
∴这个正多边形的边数为 ，
∴这个正多边形的内角和为 ，
故答案为： ．
【考点九 多边形截角后的内角和问题】
例题：（2024上·北京朝阳·八年级统考期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角
和为 的凸多边形纸片，则n的值为 ．
【答案】5或6或7
【分析】本题考查多边形内角和定理、剪纸问题，掌握多边形的内角和定理及分类讨论问题是解题的关键．
设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有 ，解出方程就可以得到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多边
形的边数．
【详解】解：设内角和为 的多边形的边数为n，则 ，
解得 ，
即得到的多边形是6边形，
当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形，
当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：
①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形；
②不过多边形的顶点，则原来的是5边形，
综上所述，原多边形的边数为5或6或7，
故答案为：5或6或7．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁营口·八年级校联考期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为 ，
那么原多边形有 条边．
【答案】 或 或9
【分析】本题考查了多边形的内角和度数，熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：以五边形为例，如图所示：
剪去一个内角后，多边形的边数可能加 ，可能不变，也可能减
设新多边形的边数为 ，
则 ，
解得：
∴原多边形可能有 或 或9条边．
故答案为： 或 或9．
2．（2023上·四川南充·八年级校联考阶段练习）从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为．
【答案】 或 或
【分析】根据剪去一个角后的多边形的边数有：增加1、减少1、不变三种情况求出边数，再根据多边形的
内角和公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵六边形截去一个角后的边数有增加1、减少1、不变三种情况，
∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，
∴新多边形的内角和为 ，
，
，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，难点在于判断出剪去一个角后多边形的边数．
【考点十 正多边形的外角问题】
例题：（2023上·广西南宁·八年级校考期中）如图，六角螺母的横截面是正六边形，则 的度数为
．
【答案】 /60度
【分析】根据正多边形的外角相等，结合外角和为 ，求解即可．掌握正多边形的每个外角都相等，是
解题的关键．
【详解】解：∵正六边形的每个外角都相等，
∴ ；
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·重庆·八年级校联考期中）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边
形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 ．【答案】45
【分析】本题考查的是正多边形的外角问题，由正八边形的外角和为 ，结合正八边形的每一个外角都
相等，再列式计算即可．
【详解】解： 正八边形的外角和为 ，
，
故答案为：45．
2．（2023上·浙江·九年级校联考期中）如果一个正多边形的一个外角是 ，那么这个正多边形的边数为
．
【答案】12/十二
【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数
，计算即可求解．
【详解】解：这个正多边形的边数为： ，
故答案为：12．
【考点十一 多边形外角和的实际应用】
例题：（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期末）如图，正三角形 （图 和正五边形 （图2）的
边长相同．点 为 的中心，用5个相同的 拼入正五边形 中，得到图3，则图3中的五
角星的五个锐角均为 ．
【答案】 /48度
【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的性质．根据图1先求出正三角形 内大钝角的度数是，则两锐角的和等于 ，正五边形的内角和是 ，求出每一个内角的度数，然后解答即可．
【详解】解：如图，图1先求出正三角形 内大钝角的度数是 ，
，
，
正五边形的每一个内角 ，
图3中的五角星的五个锐角均为： ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·吉林松原·八年级校联考期末）如图，A、B、C、D为一个外角为 的正多边形的顶点．若
O为正多边形的中心，则 ．
【答案】 /30度
【分析】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键．
连接 ，利用任意凸多边形的外角和均为 ，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，
再根据多边形的内角和公式计算即可．
【详解】连接 ，
正多边形的每个外角相等，且其和为 ，
据此可得正多边形的边数为： ，
，
．∴
故答案为：
2．（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主
题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八
边形徽章一个内角的大小为 °．
【答案】
【分析】本题考查正多边形的外角和以及内角与外角之间的关系，利用多边形的外角和求出一个外角的大
小，然后再用 度减去外角度数即可．
【详解】解：∵正八边形的外角和为 ，
∴每个外角为 ，
∴每个内角为 ，
故答案为： ．
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）六边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，解题的关键是熟记公式．
根据多边形的内角和公式 ，据此求解即可．【详解】解：六边形的内角和为 ，
故选：C．
2．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，直线 ，点A在直线m上，点B在直线n上，连接 ，
过点A作 ，交直线n于点C．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据 得到 ，然后求出 ，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
3．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图，正五边形 ， 平分 ， 平行 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形．解决问题的关键是熟练掌握多边形内角和定理，外角和定理，正多边形性
质，角平分线定义．
根据正五边形内角和与角平分线定义，求出 的度数，根据正五边形外角和与角平分线定义，求出的度数,在四边形 中即可求出 的度数．
【详解】如图：
∵正五边形 中， ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， 平分正五边形的外角 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
4．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图1， 中，点E和点F分别为 上的点，把 纸片沿
折叠，使得点A落在 的外部 处， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查折叠，三角形的内角和定理，根据折叠的性质，结合角的和差关系求出 ，，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：由折叠得 ，
∵ ，且∠1=100°，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
5．（2023·浙江·八年级假期作业）定理：三角形的内角和是180°．
已知： 、 、 是 的三个内角．
求证： ．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示 ；③上述证明得到的结论，只有在
锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出 ， ，即可推出结论．
【详解】解：证明：如图，作点E作直线 ，使得 ，
∴ （两直线平行，内错角相等），
∴ ，
∴ ．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示 ，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④，
故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内
错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
二、填空题
6．（浙江省杭州市萧山区高桥初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）若一个多边形的内角
和的 比一个五边形的内角和多 ，那么这个多边形的边数是 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查多边形的内角和外角．设这个多边形的边数是 ，根据已知条件列出关于 的方程
式即可作答．
【详解】解：设这个多边形的边数是 ，
，
解得： ．
故答案为：16．
7．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则
的度数为 ．
【答案】 /120度
【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数，然后根据周角求出
答案．几何图形镶嵌成平面的关键：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
【详解】解：正六边形内角和 ，
所以每个内角度数 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．8．（23-24八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为 边 的延长线上一点，若 ，
， 的角平分线与 的角平分线交于点M，则 度．
【答案】30
【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义．
先根据 ， ，求出 ，进而得出
，最后根据三角形的外角定理即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：30．
9．（22-23八年级上·山西太原·期中）如图，在 中， 是 上一点，
，垂足分别为D，F，若 ，则 ， ，
．【答案】 / 度 / 度 / 度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，邻补角，余角的有关计算，先利用邻补角的定义求出
，由垂线的定义得出 ，则有余角的定义求出
，根据等边对等角求出 ，再利用三角形三角和定理求出 ，再利
用余角的定义求出 即可．
【详解】解：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ， ．
10．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）在 中， ， ，点 在 边上，连接 ，
若 为直角三角形，则 的度数为 度．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及分类讨论思想．当 为直角三角形时，有两种情况
或 ，依据三角形内角和定理，结合具体图形分类讨论求解即可．
【详解】解：分两种情况：
①如图1，当 时，∵ ，
∴ ；
②如图2，当 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
综上，则 的度数为 或 ；
故答案为： 或 ；
三、解答题
11．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图①，试比较 的大小；如图②，试比较 的大
小．
【答案】图① ，图②
【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，即可得出结果．
【详解】图①：解：∵ ，
∴ ．
图②：解：∵ ，
∴ ．
12．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）已知一个 边形的每一个内角都等于 ．(1)求 ；
(2)求这个 边形的内角和；
(3)从这个 边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？
【答案】(1)
(2)
(3)从这个 边形的一个顶点出发，可以画出 条对角线
【分析】此题主要考查了多边形内角和，外角和，对角线，关键是掌握各知识点的计算公式．
（1）首先求出外角度数，再用 除以外角度数可得答案．
（2）利用内角度数 乘以内角的个数即可．
（3）根据 边形从一个顶点出发可引出 条对角线，即可得答案．
【详解】（1）解：∵每一个内角都等于 ，
∴每一个外角都等于 ，
∴边数 ．
（2）解：∵ ，
∴这个 边形的内角和为 ．
（3）解：从一个顶点出发可画出对角线的条数： ，
∴从这个 边形的一个顶点出发，可以画出 条对角线．
13．（22-23七年级下·广西桂林·期中）如图，在 中， 平分 与 相交于点H，
．
(1)试说明 的理由；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质和判定和角平分线的定义，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
（1）求出 ，根据平行线的判定得出 ，根据平行线的性质得出 ，根
据角平分线的定义得出 即可．
（2）根据 ，求出 ，可得 ，从而得到 ，利用三角形内角和得到 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
．
14．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，小明从 点出发，前进10米到达点 ，向右转 再前进10
米到达点 ，又向右转 再前进10米到达 …小明这样一直右转 次刚好回到出发点 ．根据信息，解
答下列问题：
(1) 的值为______；
(2)小明走出的这个多边形周长为______；
(3)若一个正多边形的内角和比外角和多 ，求这个多边形的每个内角的度数．
【答案】(1)15
(2)(3)
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角
和定理是解题的关键．
（1）根据多边形的外角和等于 ，即可求解；
（2）用多边形的边数乘以 的长，即可求解；
（3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得： ．
故答案为：15
（2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形，
∴这n边形的周长为 （米）；
故答案为：150
（3）解：设这个多边形有 条边，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴这个正m边形的每一个内角的度数为 ．
15．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，在 中， 平分 ，P为线段 上的
一个动点， 交直线 于点E．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)当P点在线段 上运动时，猜想 与 、 的数量关系．写出结论，无须证明．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质等知识，涉及分类讨论思想，灵活运用这些知识是关键．
（1）由三角形内角和可求得 ，由角平分线定义、三角形外角性质及三角形内角和即可求得
的度数；
（2）分 及 两种情况考虑，利用三角形内角和定理、角平分线定义及三角形
外角的性质即可得到数量关系．
【详解】（1）解： ， ，
；
平分 ，
，
；
，
，
；
（2）解：猜想： 或
证明如下：
①当 时；
；
平分 ，
，
；
，
，
；
②当 时，如图；；
平分 ，
，
；
，
，
；
综上： 或
16．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）在四边形 中， ．
(1)如图 ，若 ，求出 的度数；
(2)如图①，若 的角平分线交 于点E，且 ，求出 的度数；
(3)如图②，若 和 的角平分线交于点E，求出 的度数．
【答案】③(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题主要考查了四边形的内角和、三角形的内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识
点，熟练运用平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．（1）根据四边形的内角和是 结合已知条件可得 ，然后结合 即可解答；
（2）根据平行线的性质得到 ，再根据角平分线的定义得到
，最后根据三角形外角的性质即可解答；
（3）根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求得 ，再进一步然后根据三角形
的内角和定理即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ 和 的角平分线交于点E，，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
17．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图 ，已知线段 相交于点 ，连接 ，则我们把
形如这样的图形称为“ 字型”．
(1)求证： ；(2)如图 所示， ，则 的度数为______；
(3)如图 ，若 和 的平分线 和 相交于点 ，且与 ， 分别相交于点， ， ，若
， ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) ．
【分析】（ ）根据三角形的内角和即可得到结论；
（ ）由三角形外角性质得 ， ，则 ，由三角形外角
性质得 ，则 ，所以 ，又由三角形外角性质
得 ，则 ，即可求解；
（ ）根据角平分线的定义得到 ， ，再根据三角形内角和定理得到
， ，两等式相加得到 ，即
，然后把 ， 代入计算即可；
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关
键．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）如图 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：以 为交点“ 字型”中，有 ，以 为交点“ 字型”中，有
，
∴ ，
∵ 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
18．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数
的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 的三角形是
“完美三角形”．
(1)如图1， ，在射线 上找一点A，过点A作 交 于点B．则 ______°，
______“完美三角形”（填“是”或“不是”）；
(2)如图2， 为钝角，点D在 的边 上，连接 ，作 的平分线交 于点E，在
上取一点F，使 ， ，请问 与 是否平行？并说明理由．
(3)若 是“完美三角形”，求 的度数．
【答案】(1) ；是
(2)平行，理由见解析
(3) 的度数是
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出 的度数，根据“完美三角形”的概念判断；
（2）根据同角的补角相等得到 ，根据平行线的性质得到 ，推出 ；
（3）根据 得到 ，根据角平分线的定义得到 ，求得 ，
根据“完美三角形”的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为“完美三角形”，
故答案为： ；是；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ 是“完美三角形”，且 为钝角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
因此 的度数是 ．
