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21.2.2 平行四边形的判定（第 2 课时）
知识点1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1．C
2．D
3．C
4．（1）如图，四边形ABCD为平行四边形；
（2）∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．
5．证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AF=CE,AE=AF−EF,CF=CE−EF,
∴AE=CF,
又∵∠BAC=∠DCA，
∴△AEB≌△CFD(ASA)，
∴AB=CD，
∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
四边形ABCD是平行四边形．
6．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，∠OAB=∠OCD，
又∵AB=CD，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴OA=OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEO=∠CFO=90°，
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
知识点2：平行四边形的性质和判定的综合运用
7．AF=CE（答案不唯一）．
8．解：添加②AE=CF为条件，则四边形BEDF是平行四边形．
理由如下，如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD，
∵AE=CF
∴OE=OF
∴四边形BEDF是平行四边形．
添加③BE∥DF为条件，则四边形BEDF是平行四边形．
理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEF=∠DFE，
∴∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
选择①无法得出四边形BEDF是平行四边形．
9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
AB=CD
{ )
∠BAE=∠DCF ，
AE=CF
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠BEF=∠DFE，
∴BE∥DF；
（2）解：由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DO=BO，
∵OM⊥BD，
∴DM=BM，
∵△BFM的周长为12，
∴BM+MF+BF=DM+MF+BF=DF+BF=12，
∴BF+DF+BE+DE=2(BF+DF)=2×12=24.
∴四边形BEDF的周长为24.
10．（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°（等边对等角）．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ACB=90°，∠AED=∠B=45°（两直线平行，同位角相等）．
∴∠A=∠AED，
∴AD=DE（等角对等边）．∵FC=AD，
∴DE=FC．
又∵DE∥FC，
∴四边形DFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
（2）解：设AD=DE=FC=x，
∴DC=AC−AD=2− x，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，
∴EC=2DE=2x（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
∵DE2+DC2=EC2（勾股定理），
∴x2+(2− x) 2=(2x) 2，解得x =❑√3−1，x =− ❑√3−1（舍去），
1 2
∴FC=❑√3−1．
11．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠PAO=∠QCO．
在△APO和△CQO中：
∠PAO=∠QCO
{ )
OA=OC
∠AOP=∠COQ
∴△APO≌△CQO(ASA)，
∴AP=CQ．
由题意得AP=t，
∴CQ=t．
∵BC=5，
∴BQ=5− t．
（2）解：∵AP∥BQ，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t=5− t，
5
解得t= ．
2
5
故当四边形ABQP是平行四边形时，t的值为 ．
212．5
