文档内容
2024-2025 学年八年级数学上学期第三次月考卷
基础知识达标测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：三角形~整式的乘法与因式分解（人教版）。
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的
图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称
图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形；
故选：D．
1
2．（3分）计算：(− a2b3 ) 3=（ ）
3
1 1
A．− a6b9 B．− a5b6
9 9
1 1
C．− a6b9 D．− a5b6
27 27【分析】利用积的乘方与幂的乘方的运算性质解答即可．
1
【解答】解：原式=(− ) 3 ⋅(a2 ) 3 ⋅(b3 ) 3
3
1
=− a6b9 ．
27
故选：C．
3．（3分）若点A（4，m+5）与点B（n﹣5，3）关于y轴对称，则（m+n）2024（ ）
A．1 B．﹣1 C．2024 D．﹣2024
【分析】两点关于y轴对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此得出m，n的值，代
入求值即可．
【解答】解：∵点A（4，m+5）与点B（n﹣5，3）关于y轴对称，
∴n﹣5＝﹣4，m+5＝3，
解得：n＝1，m＝﹣2，
∴（m+n）2024＝（﹣2+1）2024＝（﹣1）2024＝1；
故选：A．
4．（3分）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2
1 1
B．x2+x+ =(x+ ) 2
4 2
C．a2﹣2ax+x2＝a（a﹣2x）+x2
D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、该式子是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、该式子是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
C、该式子的右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、该式子是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点A、E、B、D在同一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，只
添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）A．AE＝DB B．∠C＝∠F C．BC＝EF D．∠ABC＝∠DEF
【分析】根据三角形全等的判定方法做出选择即可．
【解答】解：A、∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，
即AB＝DE，
又∠A＝∠D，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故不符合题意；
B、∠C＝∠F，AC＝DF，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故不符合题意；
C、BC＝EF，不能判断△ABC≌△DEF，
故符合题意；
D、∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故不符合题意，
故选：C．
6．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于点D，点E，若△ABC与
△BCE的周长分别是36cm和20cm，则AD的长是（ ）
A．7cm B．8cm C．14cm D．16cm
【分析】先根据线段垂直平分线的定义得AE＝BE，AD＝1/2AB，则AC＝BE+CE，再根据△BCE的
周长为20cm得AC+BC＝20cm，然后根据△ABC的周长为36cm得AB＝16cm，据此可得AD的长．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
1
∴AE＝BE，AD= AB，
2
∴AC＝AE+EC＝BE+CE，
∵△BCE的周长为20cm，
∴BE+CE+BC＝20cm，
∴AC+BC＝20cm，
∵△ABC的周长为36cm，
∴AB+AC+BC＝36cm，
∴AB＝16cm，
1
∴AD= AB＝8cm．
2
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA＝40°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高，与角平分线AE相
交于点O，则∠EOF的度数为（ ）
A．130° B．70° C．110 D．100°
【分析】先利用三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠EAC，再利用三角形的内角和定理求
出∠AOF，最后利用邻补角求出∠EOF．
【解答】解：∵∠BCA＝40°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BCA﹣∠ABC
＝180°﹣40°﹣60°
＝80°．
∵AE是∠BAC的平分线，
1
∴∠EAC= ∠BAC＝40°．
2
∵BF是△ABC的高，
∴∠BFA＝90°．
∴∠AOF＝90°﹣∠EAC
＝90°﹣40°
＝50°．∴∠EOF＝180°﹣∠AOF
＝180°﹣50°
＝130°．
故选：A．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接
BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CF＝6，则CE的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】连接AC，先证明△ABC≌△ADC（SSS），根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠CAD，
根据平行线的性质可得∠BAC＝∠ACE，进一步可得∠CAD＝∠ACE，可得EA＝EC，根据AB＝
AD，∠BAD＝60°，可知△ABD是等边三角形，从而可知△EFD是等边三角形，可知EF＝DE＝3，
根据CE＝CF+EF求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵AB＝AD＝12，BC＝DC，
在△ABC和△ADC中，
{AB=AD
)
BC=CD ，
AC=AC
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠CAD，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°，
∴△EFD是等边三角形，
∴EF＝ED,
∵CF＝6，
∴12-(6+EF)=ED，
∴ED＝EF＝3，
∴CE＝CF+EF＝6+3＝9，
故选：C．
9．（3分）如图，四边形ABCD和BFGE都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分
的面积是（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【分析】首先设正方形ABCD的边长为a，正方形BEGF的边长为b，根据已知条件可得出AE＝a
﹣b，a2﹣b2＝36，然后根据S阴影 ＝S△AE +S△AEFC 即可得出答案．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形BEGF的边长为b，
依题意得：AE＝a﹣b，a2﹣b2＝36，
1 1 1
∴S阴影 ＝S△AE +S△AEFC =
2
AE•BC +
2
AE•BF =
2
AE•（BC+BF），
1 1 1
即：S阴影 =
2
（a﹣b）（a+b）=
2
（a2﹣b2）=
2
×36＝18．
故选：A．10．（3分）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，E是线段AD上一点，F是边AB上一点，且满足
CE＝EF，G是BF的中点，连接EG，则下列四个结论：①BD＝DC；②∠CEF＝120°；③∠ACE
＝∠BFE；④AE＝2GE；⑤当∠AEF＝15°时，∠BEC＝150°．其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质判断①；连接BE，先证得∠CBE＝∠BCE，∠FBE＝
∠BFE，即可得出∠BEC+∠BEF＝180°﹣2∠CBE+180°﹣2∠FBE＝360°﹣2（∠CBE+∠FBE），再
根据周角的定义即可求出∠CEF的度数，从而判断②是否成立；先证∠FBE＝∠ACE，结合∠FBE
＝∠BFE，即可得出∠ACE＝∠BFE，从而对③作出判断；先证EG⊥BF，∠BAD＝30°，即可证得
AE＝2GE，从而对④作出判断；先求出∠GFE∠FBE＝∠AEF+∠BAD＝15°+30°＝45°，结合∠ABC
＝60°可求出∠CBE＝60°﹣45°＝15°，于是得出∠BCE＝15°，从而求出∠BEC的度数，从而对⑤作
出判断．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
故①正确；
如图，连接BE，
∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠CBE＝∠BCE，∵CE＝EF，
∴BE＝EF，
∴∠FBE＝∠BFE，
在△BCE中，∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣2∠CBE，
在△BFE中，∠BEF＝180°﹣∠FBE﹣∠BFE＝180°﹣2∠FBE，
∴∠BEC+∠BEF＝180°﹣2∠CBE+180°﹣2∠FBE＝360°﹣2（∠CBE+∠FBE），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠CBE+∠FBE＝60°，
∴∠BEC+∠BEF＝360°﹣2×60°＝240°，
∵∠CEF＝360°﹣∠BEC﹣∠BEF，
∴∠CEF＝360°﹣（∠BEC+∠BEF）＝360°﹣240°＝120°，
故②正确；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠CBE＝∠BCE，
∴∠ABC﹣∠CBE＝∠ACB﹣∠BCE，
即∠FBE＝∠ACE，
∵∠FBE＝∠BFE，
∴∠ACE＝∠BFE，
故③正确；
∵G是BF的中点，BE＝EF，
∴EG⊥BF，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AE＝2GE，
故④正确；
当∠AEF＝15°时，∠GFE＝∠AEF+∠BAD＝15°+30°＝45°，
∵BE＝EF，
∴∠FBE＝∠BFE＝45°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBE＝60°﹣45°＝15°，
∴∠BCE＝15°，∴∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
故正确；
所以正确的个数为5个，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若代数式4x2﹣（m+1）x+9是完全平方式，m的值为 1 1 或﹣ 1 3 ．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵（2x±3）2＝4x2±12x+9，
∴m+1＝±12，
∴m＝11或m＝﹣13．
故答案为：11或﹣13．
12．（3分）一个多边形除一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个内角是 13 0 度．
【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数
求解即可．
【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n，
则（n﹣2）×180﹣x＝2570，
180•n＝2930+x，
2930+x
∴n= ，
180
∵n为正整数，0°＜x＜180°，
∴n＝17，
∴这个内角度数为180°×（17﹣2）﹣2570°＝130°．
故答案为：130．
13．（3分）已知3m＝a，81n＝b，m、n为正整数，则33m+12n的值为 a 3 b 3 ．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：33m+12n
＝（3m）3⋅（34n）3
＝（3m）3⋅（81n）3
＝a3b3．
故答案为：a3b3．
14．（3分）若x﹣y＝3，xy＝5，则x2+y2＝ 1 9 ．
【分析】根据完全平方公式变形计算即可得解．
【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝32＝9，∴x2+y2﹣2×5＝9，
∴x2+y2＝19．
故答案为：19．
15．（3分）已知△ABC的三边长分别是4，x，9，△DEF的三边长4，2x﹣7，y，若这两个三角形全
等，则2x﹣y＝ 5 或 8 ．
{x=2x−7) {9=2x−7)
【分析】根据全等三角形的性质得到 或 ，分别求出x，y的值，代入计算
9= y x= y
即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，
{x=2x−7) {9=2x−7)
∴ 或 ，
9= y x= y
{x=7) {x=8)
解得 或 ，
y=9 y=8
∴2x﹣y＝2×7﹣9＝5或2x﹣y＝2×8﹣8＝8．
故答案为：5或8．
16．（3分）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等
边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为 2 ．
【分析】连接AP，利用SAS证明△BCE≌△ACP得出∠CBE＝∠CAP＝30°，AP＝BE，再由垂线段
最短得出当DP⊥AP时，DP值最小，利用含39°角的直角三角形的性质求出DP即可．
【解答】解：如图，连接AP，
∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，BC＝8，
∴BC＝AC＝AB＝8，DA＝DC＝4，∠BAC＝∠ABC＝60°，∠CBE＝30°，
∴△CEP为等边三角形，
∴CE＝CP，∠PCE＝60°，
∴∠PCE＝∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACP，
在△BCE和△ACP中，{
BC=AC
)
∠BCE=∠ACP ，
CE=CP
∴△BCE≌△ACP（SAS），
∴∠CBE＝∠CAP＝30°，AP＝BE，
当DP⊥AP时，DP值最小，
此时∠APD＝90°，∠CAP＝30°，DA＝4，
1
∴DP= DA=2，
2
故答案为：2．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
（1）（﹣2a2b3）•（﹣ab）2÷4a3b5；
（2）5x（x2+2x+1）﹣（2x+3）（x﹣5）．
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答；
（2）先利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）（﹣2a2b3）•（﹣ab）2÷4a3b5
＝（﹣2a2b3）•a2b2÷4a3b5
＝﹣2a4b5÷4a3b5
1
=− a；
2
（2）5x（x2+2x+1）﹣（2x+3）（x﹣5）
＝5x3+10x2+5x﹣（2x2﹣10x+3x﹣15）
＝5x3+10x2+5x﹣2x2+10x﹣3x+15
＝5x3+8x2+12x+15．
18．（6分）因式分解：
（1）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）；（2）﹣a3+2a2b﹣ab2．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）
＝（a﹣b）（m2﹣4n2）
＝（a﹣b）（m+2n）（m﹣2n）；
（2）﹣a3+2a2b﹣ab2
＝﹣a（a2﹣2ab+b2）
＝﹣a（a﹣b）2．
19．（8分）如图，点E在BC的延长线上，连结DE，作∠CED的角平分线分别交线段AD，
DC于点F，点G，已知AB∥CD，AD∥BC．
（1）试说明∠BED＝2∠DFE；
（2）若∠B＝105°，∠DFE＝28°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）由角平分线定义得到∠BED＝2∠BEF，由AD∥BC，推出∠DFE＝∠BEF，即可得
到∠BED＝2∠DFE；
（2）由平行线的性质求出∠DCB＝75°，由三角形外角的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵EF平分∠CED，
∴∠BED＝2∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠DFE＝∠BEF，
∴∠BED＝2∠DFE．
（2）由（1）知∠BED＝2∠DFE，
∵∠DFE＝28°，
∴∠BED＝56°，
∵AB∥DC，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠B＝105°，
∴∠DCB＝75°，
∵∠DCB＝∠BED+∠CDE，∴∠CDE＝19°．
20．（8分）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点
都是格点，其中AB＝5．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结
果用实线表示．
（1）在图1中，先画边AB上的中线CD；再画∠ABC的平分线BE；
（2）在图2中BC上画点G，使∠AGC＝∠MGB．再在图3中过点M画AC的平行线．
【分析】（1）取AB与格线的交点D，连接CD，取格点T，连接BT并延长交AC于E，CD，BE即
为所求；
（2）取格点A'，连接A'M交BC于G，连接A'B，连接AG并延长交A'B于N，点G，直线MN即为
所求．
【解答】解：（1）取AB与格线的交点D，连接CD，取格点T，连接BT并延长交AC于E，如
图：
CD，BE即为所求；
理由：∵K为BC中点，DK∥AC，
∴D为AB中点，
∴CD是△ABC的中线；
设T到AB的距离为h，
由图可知，T到AC，BC的距离为1，
∵S△ABC ＝S△ACT +S△BCT +S△ABT ，
1 1 1 1
∴ ×3×4 = ×3×1 + ×4×1 + ×5h，
2 2 2 2
∴h＝1，
∴T到AB的距离等于T到BC的距离，
∴BE平分∠ABC；（2）取格点A'，连接A'M交BC于G，连接A'B，连接AG并延长交A'B于N，如图：
点G，直线MN即为所求；
理由：由图可知，A，A'关于BC对称，
∴∠AGC＝∠A'GC，
∵∠MGB＝∠A'GC，
∴∠AGC＝∠MGB；
由作图和等腰三角形的对称性可知，∠NAA'＝∠MA'A，∠NA'A＝∠MAA'，
∵AA'＝AA'，
∴△NAA'≌△MA'A（ASA），
∴NA＝MA'，
∵GA＝GA'，
∴NG＝MG，
∴∠GNM＝∠GMN，
∵∠GNM+∠GMN＝∠GAA'+∠GA'A，
∴2∠GNM＝2∠GAA'，
∴∠GNM＝∠GAA'，
∴MN∥AC．
21．（10分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求BE的长．
【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD＝CD，再由角平分线性质得DE＝CF，然
后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；（2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE＝AF，则CF＝AF﹣AC＝AE﹣AC，又因为BE＝AB
﹣AE，由（1）知BE＝CF，则AB﹣AE＝AE﹣AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE
长．
【解答】（1）证明：如图，连接BD、CD，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
{DE=DF)
，
BD=CD
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
{AD=AD)
，
DE=DF
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∴CF＝AF﹣AC＝AE﹣AC，
由（1）知：BE＝CF，
∴AB﹣AE＝AE﹣AC
即5﹣AE＝AE﹣3，
∴AE＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1，
22．（10分）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是边AB、AC上的点，且BD＝AE，且CD、BE交于点G，且DF⊥BE，垂足为F．
（1）求证：∠ACD＝∠CBE；
（2）若FG＝1，求DG的长度．
【分析】（1）证明△ACD≌△CBE（SAS），即可得到∠ACD＝∠CBE；
（2）利用由（1）知∠ACD＝∠CBE，求出∠DGF＝∠EGC＝60°，又DF⊥BE，即∠DFG＝90°，
得到∠GDF＝30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出DG的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠BCE＝60°，
∵BD＝AE
∴AB﹣BD＝AC﹣AE
∴AD＝CE
在△ACD与△CBE中，
{
AC=BC
)
∠A=∠BCE ，
AD=CE
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠ACD＝∠CBE；
（2）解：∵∠ACD＝∠CBE，
∴∠EGC＝∠CBE+∠BCG＝∠ACD+∠BCG＝∠ACB＝60°，
∴∠DGF＝∠EGC＝60°
∵DF⊥BE，即∠DFG＝90°，
∴∠FDG＝30°，
在Rt△DFG中，DG＝2FG，
∵FG＝1，
∴DG＝2．
23．（12分）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数
学等式．例如：由图1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．【活动猜想】
（1）写出由图2所表示的数学等式： （ a + b + c ） 2 ＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c ；
【类比探究】
1
（2）①根据上面的等式，如果将a﹣b看成a+（﹣b），则(n− +1) 2=（结果化简）；
n
1 1
②若n2+ =11，求(n− +1) 2 的值．
n2 n
【拓展运用】
（3）已知实数a、b、c满足以下条件：a2+b2+4c2+2ab﹣4bc﹣4ac＝0，a2+4b2+c2﹣4ab﹣4bc+2ac＝
0，且a﹣b＝2k+1，求k的值．
【分析】（1）把几何面积和完全平方式结合起来，便可求出相应关系式；
（2）灵活运用公式，尤其是符号变换；
（3）灵活运用公式，可得（a+b﹣2c）2＝0，（a﹣2b+c）2＝0，再结合a﹣b＝2k+1，可求出k的
值．
【解答】解：（1）大正方形面积＝（a+b+c）2，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和，即：
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）①根据上面的等式，如果将a﹣b看成a+（﹣b），
1 1 2
则(n− +1) 2=n2+ +1−2+2n− ，
n n2 n
1 1
②由题意得：（n− ）2＝n2+ −2，
n n2
1
∵n2+ =
6，
n2
1
∴(n− ) 2= 4，
n1
∴n− =−2或2，
n
1
∴（n− +1）2＝1或9；
n
（3）∵a2+b2+4c2+2ab﹣4bc﹣4ac＝0，a2+4b2+c2﹣4ab﹣4bc+2ac＝0，
∴运用公式可得：（a+b﹣2c）2＝0，（a﹣2b+c）2＝0，
∴a+b﹣2c＝0，a﹣2b+c＝0，
∴a﹣2b+c＝0等号两边同时乘2得：2a﹣4b+2c＝0，
与a+b﹣2c＝0相加得：3a﹣3b＝0，
即a﹣b＝0，
又∵a﹣b＝2k+1，
∴2k+1＝0，
1
解得：k=− ．
2
24．（12分）已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴
上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA、OD、CD之间等量关系；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE
有怎样的数量关系？并说明理由．
【分析】（1）如图1，过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，则四边形CDOE为矩形，证明
△ABO≌△BCD，得到BO＝CD＝1，OA＝DB＝3，即可确定C的坐标；
（2）OA＝OD+CD；证明△ABO≌△BCD，得到BO＝CD，OA＝DB，即可解答；
（3）AE＝2CF，如图3，延长CF，AB相交于G，证明△AFC≌△AFG，得到CF＝GF，再证明
△ABE≌△CBG，得到AE＝CG，即可解答．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，则四边形CDOE为矩形，∵A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），
∴OA＝3，OB＝1，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠ABO＝∠DCB，
在△ABO和△BCD中，
{
∠ABO=∠DCB
)
∠AOB=∠BDC=90°
AB=CB
∴△ABO≌△BCD，
∴BO＝CD＝1，OA＝DB＝3，
∴DO＝BO+BD＝4，EO＝CD＝1
∴C（﹣1，4）；
（2）OA＝OD+CD；
∵CD⊥y轴，
∴∠CDB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠ABO＝∠DCB，
在△ABO和△BCD中，
{
∠ABO=∠DCB
)
∠AOB=∠BDC=90°
AB=CB
∴△ABO≌△BCD，
∴BO＝CD，OA＝DB，∵BD＝OB+OD，
∴OA＝CD+OD．
（3）AE＝2CF，
如图3，延长CF，AB相交于G，
证明CF＝FG，△ABE≌△CBG．
∵x轴恰好平分∠BAC，
∴∠CAF＝∠GAF，
∵CF⊥x轴，
∴∠AFE＝∠AFG＝90°，
在△AFC和△AFG中，
{∠CAF=∠GAF
)
AF=AF
∠AFC=∠AFG
∴△AFC≌△AFG（ASA），
∴CF＝GF，
∵∠AEB＝∠CEF，∠ABE＝∠CFE＝90°，
∴∠BAE＝∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
{∠BAO=∠BCG
)
AB=CB
∠ABE=∠CBG
∴△ABE≌△CBG（ASA），
∴AE＝CG，
∴AE＝CF+GF＝2CF．
