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21.2.2 平行四边形的判定（第 2 课时）
知识点1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是
（ ）
A．AB∥DC，AB=DC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．
OA=OC，OB=OD
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分
别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形；逐项验证即可得到答案，熟记平
行四边形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形确定
AB∥DC，AB=DC可以判定四边形ABCD为平行四边形，不符合题意；
B、由平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形确定AB=DC，AD=BC可以判定
四边形ABCD为平行四边形，不符合题意；
C、由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形确定AB∥DC，AD=BC不能判
定四边形ABCD为平行四边形，符合题意；
D、由平行四边形的判定定理：对角线相互平分的四边形是平行四边形确定OA=OC，OB=OD可以判定四
边形ABCD为平行四边形，不符合题意；
故选：C．
2．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个
条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF
【答案】D
【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明
△DEC≌△FEB ，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DC//AB．
【详解】添加A、AD=BC，无法得到AD//BC或CD=BA，故错误；
添加B、CD=BF，无法得到CD//BA或AD=BC，故错误；
添加C、∠A=∠C，无法得到∠ABC=∠CDA，故错误；
添加D、∠F=∠CDF
∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE，
∴ΔCDE≌ΔBFE， CD//AF，
∴CD=BF，
∵BF=AB，
∴CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选D．
3．（2023年河北）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四
边形．图1~图3是其作图过程．
（1）作BD的垂直平分线交 （2）连接AO，在AO的延长线上截 （3）连接DC，BC，则四边形
BD于点O； 取OC=AO； ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【答案】C
【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．
【详解】解：根据图1，得出BD的中点O，图2，得出OC=AO，
可知使得对角线互相平分，从而得出四边形ABCD为平行四边形，
判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．4．（福建宁德）如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的三个顶点均落在格点上．
（1）以三角形的其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，C，D；
（2）证明四边形ABCD是平行四边形．
【详解】（1）如图，四边形ABCD为平行四边形；
（2）∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．
5．（2023年四川广安）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O,BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点
E、F，且AF=CE,∠BAC=∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【详解】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AF=CE,AE=AF−EF,CF=CE−EF,
∴AE=CF,
又∵∠BAC=∠DCA，
∴△AEB≌△CFD(ASA)，
∴AB=CD，
∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
四边形ABCD是平行四边形．6．（2024年四川达州）如图，线段AC、BD相交于点O．且AB∥CD，AE⊥BD于点E．
(1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F、连接AF、CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的
字母）
(2)若AB=CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，∠OAB=∠OCD，
又∵AB=CD，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴OA=OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEO=∠CFO=90°，
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
知识点2：平行四边形的性质和判定的综合运用
7．（黑龙江龙东地区）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件
使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．
【答案】AF=CE（答案不唯一）．【详解】根据平行四边形性质得出AD∥BC，得出AF∥CE，当AF=CE时，四边形AECF是平行四边形;根据
有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定，可添加AF=CE或FD=EB．
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义，可添加AE∥FC.
添加∠AEB=∠FCB或∠DAE=∠DFC等得到AE∥FC，也可使四边形AECF是平行四边形.
8．（2025年江苏盐城）如图，点E、F在▱ ABCD的对角线AC上．若_________，则四边形BEDF是平行四
边形．请从①BE=DF；②AE=CF；③BE∥DF这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，
并说明理由．
【答案】②或③，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌
握以上知识点是解题的关键．添加条件②，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，添加③BE∥DF
为条件，证明△ABE≌△CDF(AAS)得出BE=DF，即可得证．
【详解】解：添加②AE=CF为条件，则四边形BEDF是平行四边形．
理由如下，如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD，
∵AE=CF
∴OE=OF
∴四边形BEDF是平行四边形．
添加③BE∥DF为条件，则四边形BEDF是平行四边形．
理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE∥DF，∴∠BEF=∠DFE，
∴∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
选择①无法得出四边形BEDF是平行四边形．
9．（2023年四川绵阳）如图，▱ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE=CF．
(1)求证：BE∥DF；
(2)过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
AB=CD
{ )
∠BAE=∠DCF ，
AE=CF
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠BEF=∠DFE，
∴BE∥DF；
（2）解：由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DO=BO，
∵OM⊥BD，
∴DM=BM，
∵△BFM的周长为12，
∴BM+MF+BF=DM+MF+BF=DF+BF=12，∴BF+DF+BE+DE=2(BF+DF)=2×12=24.
∴四边形BEDF的周长为24.
10．（2024年青海西宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AC上，过点D作DE∥BC交
AB于点E，延长BC到点F，使CF=AD，连接CE，DF．
(1)求证：四边形DFCE是平行四边形．
(2)若∠DCE=30°，AC=2，求FC的长．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°（等边对等角）．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ACB=90°，∠AED=∠B=45°（两直线平行，同位角相等）．
∴∠A=∠AED，
∴AD=DE（等角对等边）．
∵FC=AD，
∴DE=FC．
又∵DE∥FC，
∴四边形DFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
（2）解：设AD=DE=FC=x，
∴DC=AC−AD=2− x，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，
∴EC=2DE=2x（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
∵DE2+DC2=EC2（勾股定理），
∴x2+(2− x) 2=(2x) 2，解得x =❑√3−1，x =− ❑√3−1（舍去），
1 2
∴FC=❑√3−1．
11．如图，▱ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，BC=5．点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，连接PO并延长，交BC于点Q．设点P的运动时间为ts．
(1)求BQ的长（用含t的代数式表示）．
(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠PAO=∠QCO．
在△APO和△CQO中：
∠PAO=∠QCO
{ )
OA=OC
∠AOP=∠COQ
∴△APO≌△CQO(ASA)，
∴AP=CQ．
由题意得AP=t，
∴CQ=t．
∵BC=5，
∴BQ=5− t．
（2）解：∵AP∥BQ，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t=5− t，
5
解得t= ．
2
5
故当四边形ABQP是平行四边形时，t的值为 ．
2
12．如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3cm．点P,Q分别为AB,AD上的两个定点且BP=AQ=1cm，
点M为线段BD上一动点，连接PM,QM，则PM+QM的最小值为 cm．【答案】5
【分析】如图所示，作点P关于BD的对称点P′，且点P′在BC上，则PM+QM=P′M+QM，当P′,M,Q在同
一条直线上时，有最小值，证明四边形PP′QA是平行四边形，P′Q=AP=AB−BP，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，作点P关于BD的对称点P′，
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
1 1
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，
2 2
∴点P′在BC上，
∴P′M=PM，则PM+QM=P′M+QM，当P′,M,Q在同一条直线上时，有最小值，
∵点P关于BD的对称点P′，∠ABD=∠DBC=30°，
∴PP′⊥BM，BP=BP′=1cm，
∴∠BP′P=60°，
∴△BPP′是等边三角形，即∠BP′P=∠C=60°，
∴PP′∥AC，且PP′=AQ=1cm，
∴四边形PP′QA是平行四边形，
∴P′Q=AP=AB−BP，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AD=3，
∴AB=2AD=2×3=6，
∴AP=P′Q=P′M+QM=PM+QM=AB−BP=6−1=5，
故答案为：5．
