文档内容
21.2.2 平行四边形的判定（第 2 课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课进一步研究平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2. 内容分析
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是平行四边形判定中应用最广泛的定理之一，它是对前
一课时判定定理的补充与完善，让平行四边形的判定体系从“两组边、角、对角线”延伸到“一组对边的
位置+数量关系”，形成更完整的判定框架。本节课的探究仍延续“性质逆思—猜想—证明—应用”的几
何研究思路，既承接了三角形全等、平行线判定及前序平行四边形判定定理的知识，又为后续特殊平行四
边形的判定探究奠定基础，同时该定理是解决几何中线段平行且相等问题的重要依据。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.经历平行四边
形判定定理的发现与证明过程，发展推理能力。
（2）会综合运用平行四边形的性质和判定进行推理和计算。
2. 目标解析
（1）学生能从平行四边形对边的位置关系和数量关系出发，提出“一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形”的合理猜想；能独立添加辅助线构造全等三角形，完成定理的证明过程；能规范书写定理的
文字语言、符号语言，理解该定理与其他判定定理的联系与区别，进一步发展逻辑推理和几何证明能力。
（2）学生能根据题目条件，灵活选用“一组对边平行且相等”的判定定理解决几何证明和计算问题；
能综合运用平行四边形的性质和所有判定定理，完成“性质推条件—判定证平行四边形—性质求结论”的
综合推理，提升知识的综合应用意识和几何解题能力。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：
1.面对多个平行四边形判定定理，无法根据题目已知条件快速选择最优判定方法，尤其在已知“一组
对边平行”或“一组对边相等”时，不会优先选用本节课的判定定理。
2.综合运用性质和判定解题时，出现“性质与判定混淆使用”的问题，如用判定定理推导平行四边形的性质，或推理过程中缺少关键条件的证明。
应对策略：
1.设计“判定定理选用口诀”和“条件-定理”匹配练习，如已知“一组对边关系”选定理4，已知
“对角线关系” 选定理3，帮助学生快速定位最优判定方法。
2.示范综合题的解题流程，用不同符号标注“性质推导的条件”和“判定需要的条件”，让学生清晰
区分性质与判定的使用场景，通过课堂板演及时纠正混淆问题。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：综合运用平行四边形的性质和判定进行推理和计算。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 平行四边形有哪些判定方法？
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形；
对边相等的四边形是平行四边形；
对角相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
问题2 如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？
设计意图：通过提问回顾平行四边形的已学判定方法，为本节课新定理的学习做好知识铺垫，形成判
定知识的连贯认知；通过追问“一组对边满足什么条件为平行四边形”，创设问题情境，激发学生的探究
兴趣，自然引出本节课的研究主题，让学生明确探究方向。
（二）合作探究
思考 对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？
位置关系 平行四边形的对边平行. 数量关系 平行四边形的对边相等.
追问 类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四
边形是平行四边形的方法吗？
猜想 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
已知：在四边形ABCD中，AB CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵AB//CD，∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴BC=DA.又AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理4
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
符号语言
∵AB CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
设计意图：从平行四边形对边的性质出发，引导学生从“一组对边的位置+数量关系”提出猜想，延
续了平行四边形判定的探究思路，让学生体会几何研究的规律性；通过连接对角线构造全等三角形，再次
渗透“四边形问题转化为三角形问题”的核心思想，巩固学生的转化思维；规范的证明过程和符号语言书
写，培养学生的几何表达能力和逻辑严谨性；该定理的探究完善了平行四边形的判定体系。
（三）典例分析
例5 如图，在 ▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证DE BF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB CD. D F C
1 1
又EB= AB，DF= CD，
2 2
∴EB DF. A E B
∴四边形EBFD是平行四边形.
∴DE BF.
设计意图：例 5 选取平行四边形中“中点”的典型条件，考查“一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形”的定理应用，贴合本节课教学重点，帮助学生形成综合运用平行四边形性质和判定的解题思维，
为后续巩固练习奠定基础。
（四）巩固练习
1.如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就
可以了，你能说出其中的道理吗?
解：根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知，由枕木和铁轨构成的四边形是平行四
边形，而平行四边形的对边平行，所以两条铁轨平行.2.如图，在 ▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为
E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形.
解：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//CF. D C
E
∵S
△ABD
=S
△CBD
=1S
▱ABCD
，
2 F
∴AE=CF. A B
∴四边形AFCE是平行四边形．
追问 你还有其他证法吗？
3.如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个平行四边形?为什么?
答：图中有6个平行四边形.
A F
O
B E
C D
设计意图：分层设计练习题，兼顾基础应用、实际应用和综合探究，全面强化本节课的核心知识。
（五）归纳总结（六）感受中考
1．（2020年黑龙江）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加
一个条件 AD=BC ，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．
2．（2023年湖北宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得
到折痕DE，小宇测得长边CD=8，则四边形A′EBC的周长为 16 ．
3．（2024年湖北武汉）如图，在▱ ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
∵AF=CE，
∴AD−AF=BC−CE即DF=BE，
在△ABE与△CDF中，
AB=CD
{ )
∠B=∠D ，
BE=DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
（2）添加AF=BE（答案不唯一）
如图所示，连接EF．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE，
当AF=BE时，四边形ABEF是平行四边形．
4．（2023年江苏镇江）如图，B是AC的中点，点D，E在AC同侧，AE=BD，BE＝CD．
(1)求证：△ABE≌△BCD．
(2)连接DE，求证：四边形BCDE是平行四边形．
（1）解：∵B是AC的中点，
∴AB=BC．
在△ABE和△BCD中，
AE=BD,
{ )
BE=CD,
AB=BC,
∴△ABE≌△BCD（SSS）．
（2）如图所示，
∵△ABE≌△BCD，
∴∠ABE＝∠BCD，
∴BE∥CD．
又∵BE＝CD，
∴四边形BCDE是平行四边形．
5．（2024年湖南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， ．请从“①
∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解
决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；
(2)若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长．
（1）解：选择①，
证明：∵∠B=∠AED，
∴DE∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；选择②，
证明：∵AE=BE，AE=CD，
∴CD=BE，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
（2）解：由（1）得DE=BC=10，
∵AD⊥AB，AD=8，
∴AE=❑√DE2 −AD2=6．
设计意图：结合近年中考真题设计练习，让学生感受本节课定理在中考中的考查形式、题型和难度，
提升学生的备考意识；中考题覆盖了定理 4 的直接应用、条件补充、与全等三角形的结合、折叠问题等
多种场景，拓展学生的解题视野；部分真题的开放性设计，还能培养学生的条件分析和探究能力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题21.2 第5，8题.
2.探究性作业：习题21.2 第17题.
五、教学反思
