文档内容
21.2.1 平行四边形及其性质（第 2 课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生已经学习了平行四边形的定义、平行四边形的边、角、对角线的性质的基础上，进一
步应用平行四边形的性质解决问题，并结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线之间的距离。
2. 内容分析
平行四边形的性质应用是对第一课时知识的深化与拓展，而两条平行线之间的距离的概念，是平行四
边形性质的重要衍生结论，也是几何中距离度量体系的重要组成部分，承接了点与点、点到直线的距离知
识，为后续学习三角形面积、梯形面积及特殊平行四边形性质奠定基础。本节课通过平行四边形性质的实
际应用，让学生进一步掌握几何问题的推理与计算方法，同时借助平行四边形的对边平行且相等的性质，
推导得出“平行线间平行线段相等”，进而抽象出两条平行线之间的距离的定义。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解两条平行线之间距离的概念。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）利用平行四边形的性质定理解决简单问题，发展应用意识。
（2）理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。
2. 目标解析
（1）学生能熟练调用平行四边形的边、角、对角线性质，解决边长、角度计算及简单的证明问题，
能结合全等三角形、勾股定理等知识进行综合应用，形成利用平行四边形性质解决问题的基本思路，提升
知识应用意识和推理能力。
（2）学生能准确表述两条平行线之间距离的定义，理解其本质是公垂线段的长度，能区分点与点、
点到直线、两条平行线之间的距离的概念，会度量两条平行线之间的距离，并能运用该概念解决与平行线
相关的几何证明和计算问题。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：
1.运用平行四边形性质解决问题时，无法快速将题目条件与性质对应，尤其在涉及对角线互相平分的
证明题中，思路不清晰，逻辑推理不连贯。
2.对两条平行线之间距离的概念理解模糊，易将“平行线间的平行线段”与“公垂线段”混淆，误认
为平行线间的任意线段长度都是平行线之间的距离.
应对策略：1.课前通过简单小题快速回顾平行四边形的性质，课中通过例题示范“条件—性质—结论”的解题思
路，让学生明确性质的应用场景，课后设计基础证明题强化训练。
2.通过画图对比（画平行线间的平行线段和公垂线段），结合定义强调“垂直”是平行线之间距离的
核心条件，利用几何画板动态演示，让学生直观感知公垂线段的唯一性和长度不变性。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：利用平行四边形的性质定理解决简单问题。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 平行四边形的定义是什么？
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
问题2 平行四边形有哪些性质？
平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分.
设计意图：通过直接提问的方式，快速回顾平行四边形的定义和核心性质，唤醒学生的旧知记忆，为
本节课性质的综合应用和新知识的学习做好知识铺垫，同时让学生明确本节课的学习基础，建立新旧知识
的联系。
（二）合作探究
距离是几何中的重要度量之一．我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，
我们结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线之间的距离.
如图，a//b，c//d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四
边形ABDC是平行四边形，AB=CD．
两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离．如图，a//b，A是a上的任意一点，AB⊥b，垂足为B，线段AB的长就是平行线a，b之间的距离.
问题 两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
设计意图：从学生已学的点与点、点到直线的距离出发，类比引出两条平行线之间的距离，符合学生
的认知规律；通过平行四边形的性质推导平行线间平行线段相等，再逐步提炼出平行线之间的距离定义，
让学生体会知识的形成过程；通过表格对比三种距离的研究对象、图形和核心特征，帮助学生理清概念间
的联系与区别，突破概念理解的难点；整个探究过程渗透类比、从一般到特殊的数学思想，培养学生的抽
象概括能力。
（三）典例分析
例2 如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F．求
证OE=OF.
证明：在 ▱ABCD中，AB//CD，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO= ∠CFO. A D
E
又OA = OC，
O
F
∴△AOE≌△COF.
B C
∴OE = OF.
例3 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC．求证∠B=∠C.
分析 由于AD//BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明.
证明：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.
∵AE，DF的长度是平行线AD，BC之间的距离，
∴ AE=DF.
又 AB = DC，∴Rt△ABE≌Rt△DCF.
∴∠B=∠C.
追问 你还有其他证明方法吗？
设计意图：两个例题层层递进，兼顾平行四边形性质的应用和新知识的落地，让学生逐步掌握本节课
的核心内容。
（四）巩固练习
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且与AD相交于点E，DF//EB且与
BC相交于点F．求∠1的大小.
解：∵BE平分∠ABC，∴∠2=1∠ABC=35°.
2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC=70°，AD//BC.
又∵DF//EB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠3=∠2=35°，
∴∠1=∠ADC−∠3=35°.
2.如图， ▱ABCD的周长为16，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，OE⊥AC.求△CDE的周长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形， A E D
∴OA=OC，
又∵OE⊥AC，
O
∴OE垂直平分AC，
B C
∴AE=CE，
∴C
△CDE
=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=1C
▱ABCD
=8.
2
3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AD=3，AB=4，BC=5，E为边BC上一点，AB//DE．求
AD，BC之间的距离.
解：∵AD//BC，AB//DE，
∵四边形ABED是平行四边形， A D
∴DE=AB=4，BE=AD=3，
∴CE=BC−BE=2.
B E C
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CD=❑√DE2 −CE2=❑√42 −22=2❑√3，
∴AD，BC之间的距离为2❑√3.
4.如图，直线l//l，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC面积相等的三
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角形吗？5．已知直线a，b，c互相平行，直线a，b之间的距离是3cm，直线b，c之间的距离是4cm，那么直
线a，c之间的距离为 1cm或7cm ．
设计意图：分层设计练习题，兼顾基础应用和综合提升，覆盖平行四边形性质的综合应用、平行线之
间的距离概念及性质的应用、梯形与平行四边形的结合问题等本节课的核心知识点；练习题既包括计算又
包括证明，既考查概念理解又考查知识应用，全面提升学生的解题能力。
（五）归纳总结（六）感受中考
1．（2023年福建）如图，在▱ ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB,CD于点E,F．若
AE=10，则CF的长为 10 ．
2．（2024年四川眉山）如图，在▱ ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；
②EO=ED；③∠A=∠C；④S =S ，其中正确结论的个数为（ C ）
四边形ABOE 四边形CDOF
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023年海南）如图，在▱ ABCD中，AB=8，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连
接CE，若AE=2ED，则CE的长为（ C ）
A．6 B．4 C．4❑√3 D．2❑√6
4．（2025年黑龙江齐齐哈尔）如图，在▱ ABCD中，BC=2AB=8，连接AC，分别以点A，C为圆心，
1
大于 AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中
2
点，则AC的长为 4❑√3 ．5．（2024年四川广安）如图，在▱ ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30°，点M为直线BC上一动点，则
MA+MD的最小值为 ❑√41 ．
设计意图：结合近年中考真题设计练习，让学生感受本节课知识在中考中的考查形式、难度和命题方
向，提升学生的备考意识和知识应用的实战能力；通过真题练习，让学生掌握中考中平行四边形相关问题
的解题技巧，培养学生从复杂中考图形中提取基本图形的能力，提升学生的综合解题素养。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题21.2 第4，10，14题.
2.探究性作业：习题21.2 第16题.
五、教学反思
