文档内容
第 21 章 四边形
21.2 平行四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形的定义与性质
【素养目标】
1.理解平行四边形的定义，能根据定义探究平行四边形的性质.
2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，发展学生的
合情推理能力，培养学生主动探究的习惯.
3.利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明，提高学生运用数学知识解决实际问题
的能力.
重点：平行四边形的概念及平行四边形的性质.
难点：平行四边形性质的运用.
【情境导入】
观察下图，平行四边形在生活中无处不在.
【合作探究】
探究点1：平行四边形的定义
问题1：观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
问题2：你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？
平行四边形的定义：
几何语言表述：
探究点2：平行四边形边、角的性质
第 1 页通过上述的学习，我们知道平行四边形两组对边分别平行. 除此之外，平行四边形
还有什么性质呢？
探究：根据定义，请画一个平行四边形 ABCD.
活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现
AB 与 DC，AD 与 BC 之间的数量关系吗?
活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现
∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的数量关系吗?
活动3 请用剪刀，沿 AC 将平行四边形剪成两个三角形，你能发现这两个三角形有什
么样的关系吗?
猜想 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？
已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AD = BC，AB = CD，∠BAD = ∠BCD，∠B = ∠D.
思考：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
知识要点：
平行四边形的性质：
几何语言表述：
例1 如图，在 ▱ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两点，并且 AE = CF，
第 2 页求证： BE = DF.
练一练
1. 如图，在▱ABCD 中.
(1) 若∠A = 130°，则∠B =______ ，∠C =______ ， ∠D =______.
(2) 若 AB = 3，BC = 5，则它的周长 = ______.
(3) 若∠A + ∠C = 200°，则∠A =_____，∠B =______.
探究点3：平行四边形对角线的性质
探究：如图，在▱ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对
角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
想一想：利用信息技术工具，改变▱ABCD 的形状，你发现的结论还成立吗？证明你
发现的结论。
知识要点：
平行四边形的性质：
几何语言表述：
例2 如图，在▱ABCD 中，AB = 10，AD = 8，AC⊥BC.
求 BC， CD，AC，OA 的长，以及▱ABCD 的面积.
练一练
第 3 页2.如图，平行四边形 ABCD 中，AC、BD 交于O点，点 E、F 分别是 AO、CO 的
中点，试判断线段 BE、DF 的关系并证明你的结论．
思考：平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样
的关系呢？
例3 已知 □ABCD 的周长为 60 cm，对角线 AC、BD 相交于点 O，△AOB 的周
长比△DOA 的周长长 5 cm，求这个平行四边形各边的长．
当堂反馈
1.在 ▱ABCD中，∠A＝65°，则∠D的度数是( )
A.105° B.115° C.125° D.65°
2.已知 ▱ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为( )
A.4 B.12 C.24 D.28
3.如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
第3题图
A.AO＝OD B.AO⊥ OD
C.AO＝OC D.AO⊥ AB
第 4 页4.如图，在 ▱ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，
则BE＝ cm.
第4题图
5.[教材变式]如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC＝2，△BOC的周长为
5，则AC＋BD＝ .
6.如图，在 ▱ABCD中，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证：AE＝FE；
(2)若AB＝2BC，∠F＝35°，求∠BAF的度数.
参考答案
探究点2：平行四边形边、角的性质
第 5 页猜想：两组对边及两组对角分别相等.
证明：如图，连接□ ABCD 的对角线 AC.
∵ AD∥BC，AB∥CD，
∴ ∠1 =∠2，∠3 =∠4.
又 AC 是△ABC 和△CDA 的公共边，
∴ △ABC≌△CDA.
∴ AB = CD，BC = DA，∠B =∠D.
∵∠BAD =∠1 +∠4 ∠BCD =∠2 +∠3，
∴∠BAD =∠BCD.
思考：
证明：∵ AD∥BC，AB∥CD，
∴ ∠A +∠B = 180°，∠A +∠D = 180°.
∴∠B = ∠D.
同理可得，∠A = ∠C.
例1
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，AB∥CD.
∴∠BAE = ∠DCF.
又∵ AE = CF，
∴ △ABE≌△CDF.
∴ BE = DF.
练一练：
1. (1)50° 130° 50° (2) 16 (3)100°80°
探究点3：平行四边形对角线的性质
猜想：在 ABCD 中，OA = OC，OB = OD.
▱
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB = CD.
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
在△OAB 和△OCD 中，
∠1 = ∠2，AB = CD，∠3 = ∠4.
∴△OAB≌△OCD (ASA).
∴OA = OC，OB = OD.
例2 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BC = AD = 8，CD = AB = 10.
∵ AC⊥BC，
∴△ABC 是直角三角形.
根据勾股定理，
1
∴OA＝OC＝ AC＝3，S ＝BC·AC＝8×6＝48.
2 ▱ABCD
练一练2.
解：BE＝DF，BE∥DF.
第 6 页理由如下：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA＝OC，OB＝OD，
∴ OE＝OF.
在△OFD 和△OEB 中，
OF＝OE，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△OFD≌△OEB (SAS)，
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF.
∴ BE∥DF.
思考：
解：相等. 理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ADO 与△ODC 等底同高，
∴ S = S .
△ADO △ODC
同理可得 S =S =S =S
△ADO △ODC △BCO △AOB.
例3
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长 5 cm，
∴ AB－AD＝5 cm.
又∵ ABCD 的周长为 60 cm，∴ AB＋AD＝30 cm，
▱
则 AB＝CD＝17.5cm，AD＝BC＝12.5 cm.
当堂反馈
1. B 2. B 3. C
4. 2
5. 6
6.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E是CD的中点，
∴AD∥CF，DE＝CE.
∴∠DAE＝∠CFE，∠D＝∠ECF.
∴△ADE≌△FCE(AAS).
∴AE＝FE.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC.
由(1)知△ADE≌△FCE，
∴AD＝FC.
∴BF＝2BC.
∵AB＝2BC，
∴AB＝BF.
∴∠BAF＝∠F＝35°.
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