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第 21 章 四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第2课时 平行四边形性质的综合运用
【素养目标】
1.理解并掌握两条平行线之间的距离的概念.
2.经历平行四边形性质的探究过程，感悟利用直观度量发现规律的感性认识与利用转化
思想进行论证的理性认识之间的关系.
3.综合运用平行四边形的性质进行计算和证明，提高学生的推理能力.
重点：理解并掌握两条平行线之间的距离的概念.
难点：如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题.
【复习导入】
问题：平行四边形有哪些性质？
【合作探究】
探究点一：平行四边形性质的综合运用
例1 如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交
于点E，F.求证OE＝OF.
议一议：
1.改变直线EF的位置，判断下列图中，OE＝OF还成立么？
总结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相
交，得到的线段总相等.
第 1 页2. 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四
边形面积相等吗？
思考：如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两
个四边形面积相等吗？
总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
走进生活：
1. 如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们
经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢
欢是怎么分的吗？
探究点二：两条平行线之间的距离
问题1：（1）如图a∥b，c∥d，我们能得出AD＝BC？
归纳总结：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.（可结合平行四边形的概念和
性质说明其中的道理）
问题2：如图，直线a∥b，D，C为直线a上任意两点，点D到直线b的距离和点C到
直线a的距离相等吗？
概念引入：从上面的结论可以知道：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到
另一条直线的距离都相等.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，
第 2 页叫作这两条平行线之间的距离.
思考：两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
归纳总结：任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线
间最短的线段长度.
例2 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC.求证：∠B＝∠C.
练一练
2. 如图，AB∥CD，BC⊥AB，若 AB = 4 cm，S△ABC = 12 cm2，求△ABD 中
AB 边上的高．
A B
D C
3. 在同一平面上，直线 a，b，c 是三条平行直线. 如果直线 a 和 b 的距离为 6，
直线 b 和 c 的距离为 3， 那么直线 a 和 c 的距离为 .
当堂反馈
1.如图，在 ▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，可能错误的是(
)
A.AB＝AD B.AB∥DC
C.∠ABC＝∠ADC D.OA＝OC
2.如图，在 ▱ABCD中，AB＝3，AD＝9，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，交BC于
点E，F，那么EF的长为( )
第 3 页A.3
B.4
C.5
D.以上都不对
3.如图，把一个大平行四边形分成 3部分，已知图中阴影部分是平行四边形，面积是
12m2，则空白梯形的面积是 m2.
第3题图 第4题图
4.如图，以 ▱ABCD的对角线BD的中点为原点建立平面直角坐标系，
若点C的坐标为(2，1)，则点A的坐标是 .
5.[教材变式]如图，O为 ▱ABCD的对角线的交点，过点O作直线EF分别交CD，AB于
点E，F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若AB＝5，BC＝4，OE＝1.5，求四边形EFBC的周长.
参考答案
【复习导入】
边：平行四边形的对边平行相等
角：平行四边形的对角相等
第 4 页对角线：平行四边形的对角线互相平分
【合作探究】
探究点一：平行四边形性质的综合运用
例1
证明：在 ▱ABCD中，AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
又OA＝OC，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
议一议：
1.同例1，易证明OE＝OF还成立.
2. 解：设直线 EF 交 AD，BC 于点 N，M.
∵AD∥BC，∴∠NAO =∠MCO，∠ANO =∠CMO.
又∵ AO = CO，∴△NAO≌△MCO.
∴S = S + S + S = S +S +S
四边形ANMB △NAO △AOB △MOB △MCO △AOB △MOB
=S △AOB + S △COB =
1
S .
2 ABCD
∴ S = S .
四边形ANMB 四边形CMND
即平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
思考：
同议一议2 易求得平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
走进生活：
1. 解：如图所示．
探究点二：两条平行线之间的距离
例2证明：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂
足分别为E，F.
∵AE，DF的长都是平行线AD，BC之间的距离，
∴AE＝DF.又AB＝DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF.∴∠B＝∠C.
练一练
1 1
2. 解：S = AB • BC，= ×4 ×BC = 12 cm2，
△ABC 2 2
∴ BC = 6 cm.
∵AB∥CD，
∴点 D 到 AB 边的距离等于 BC 的长度，
第 5 页∴△ABD 中 AB 边上的高为 6 cm．
3. 答：9 或 3
当堂反馈
1.A
2. A
3. 1 8
4. ( － 2 ，－ 1 )
5.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，OD＝OB.
∴∠CDO＝∠ABO.
∠EDO＝∠FBO，
{
在△DEO和△BFO中， OD＝OB，
∠DOE＝∠BOF，
∴△DEO≌△BFO(ASA).
∴OE＝OF.
(2)解：∵△DEO≌△BFO，
∴OE＝OF＝1.5，BF＝DE.
∴EF＝3，BF＋CE＝CD＝AB＝5.
∴四边形EFBC的周长＝3＋5＋4＝12.
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