文档内容
21.2 平行四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第2课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题
和简单的证明题.
3.了解平行线之间的距离.
【过程与方法】
在观察、操作、推理、归纳的探索活动中,进一步培养学生的数
学说理能力与习惯.
【情感态度与价值观】
通过小组合作探究学习,促进同学间的情感交流,体验学习的乐趣,
在自我评价中学会自我肯定,增强学习的自信心.
二、课型
新授课
1 / 17三、课时
第2课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
平行四边形对角线互相平分的性质,以及性质的应用.
【教学难点】
综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺、教学中出示的教学插图和例题等.
学生：三角尺、铅笔、两张方格纸,铅笔,图钉.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
一位饱经沧桑的老人,经过一辈子的辛勤劳动,到晚年的时候,终
于拥有了一块平行四边形的土地,由于年迈体弱,
2 / 17他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是这样分的:(如下图所
示)
当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少,同学们,你认为
老人这样分合理吗?为什么?
本节课,我们将继续学习与平行四边形的对角线有关的性质,你将
会明白老人的分法是否合理.
（二）探索新知
1.出示课件4-5，探究平行四边形对角线的性质
教师问： 想一想，平行四边形除了边、角这两个要素的性质外，
对角线有什么性质呢？
如图，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O．OA与
OC，OB与OD有什么关系？
学生答：猜想平行四边形的对角线互相平分.
3 / 17教师：下面我们一起来证明这个猜想？
求证：OA=OC，OB=OD．
学生讨论后回答：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△COD≌△AOB.
∴OA=OC，OB=OD．
总结点拨：（出示课件6）
平行四边形的性质
平行四边形的对角线互相平分.
教师问：你能利用符号语言描述一下平行四边形对角线的性质吗？
师生总结如下：
4 / 17符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）.
或
在□ABCD中，
OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）.
或AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO.
考点1：利用平行四边形对角线的性质求线段的值
已知□ABCD的周长为60cm，对角线AC , BD相交于点O，△AOB
的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．（出示
课件7）
5 / 17师生共同讨论解答如下：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，
∴AB－AD＝5cm.
又∵ABCD的周长为60cm，
∴AB＋AD＝30cm.
则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.
总结点拨：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三
角形的周长之差等于邻边边长之差.
出示课件8，学生自主练习后口答，教师订正.
考点2：利用平行四边形对角线的性质求线段的相等
如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，
CD分别相交于点E，F. 求证：OE=OF.（出示课件9）
6 / 17学生独立思考后，师生共同解答.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC (平行四边形的性质).
∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）.
在△AOE和△COF中
∠AOE = ∠ COF﹙对顶角相等﹚,
OA = OC,
∠EAO = ∠FCO,
∴ △AOE≌△COF(ASA).
∴OE = OF（全等三角形的对应边相等）.
出示课件10，学生思考后口答，教师讲解.
总结点拨：（出示课件10）
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对
边的延长线相交，得到线段总相等.
出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正.
2.出示课件12，探究平行四边形的面积
7 / 17教师问：平行四边形的面积如何求呢？
学生回答：底乘以高
教师问：如图，在□ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC. 求
BC，CD，AC，OA的长，以及□ABCD的面积．
师生共同讨论后解答如下：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8cm,CD=AB=10cm.
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理得AC= = =6cm
√AB2-BC2 √102-82
又∵OA=OC,
1
∴OA= AC=3cm, S =BC·AC=8×6=48cm2
平行四边形ABCD
2
出示课件13，学生自主练习，教师给出答案.
3.出示课件14-16，探究平行四边形中有关图形的面积
8 / 17教师问：如图，EF过□ABCD的对角线AC , BD的交点O，△AOE
与△COF的面积有何关系？
学生回答：△AOE与△COF的面积相等.
教师问：你能证明上边的问题吗？
学生回答：
解：理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC.
∴∠ EAO=∠FCO
{∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中， OA=OC，
∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴S =S
△AOE △COF
教师问：四边形AEFD与四边形BCFE的面积有何关系？
9 / 17学生回答：四边形AEFD与四边形BCFE的面积相等.
教师问：如何证明我们的猜想呢？
学生回答：理由如下：
由前面的证明过程可同理得出
S =S S =S
△AOD △COB △COD △AOB
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∴△ AOD和∠COD等底同高
∴S =S
△AOD △COD
∴ S =S =S =S
△ADO △ODC △BCO △AOB
∵S = S +S + S ,
四边形AEFD △ADO △AEO △DOF
S = S +S + S ,
四边形BEFC △BCO △BEO △COF
∴S = S .
四边形AEFD 四边形BEFC
总结点拨：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的
三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全
等.
教师：观察下面不同位置过对角线交点的直线，思考有什么特点？
10 / 17师生总结点拨：过对角线交点的任意一条直线都将平行四边形分
成面积相等的两部分. （出示课件17）
考点1：利用平行四边形的有关图形的面积证明相等
如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的
两个四边形面积相等吗？（出示课件18）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：设直线EF交AD,BC于点N,M.
∵AD∥BC,
∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.
11 / 17又∵AO=CO,
∴△NAO≌△MCO，
∴S =S +S +S =S +S +S
四边形ANMB △NAO △AOB △MOB △MCO △AOB △MOB
1
=S +S = S .
△AOB △COB 平行四边形ABCD
2
∴S =S ,
四边形ANMB 四边形CMND
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
出示课件19，学生自主练习，教师给出答案.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么
样吧.
4.出示课件20-23，探究平行线之间的距离
教师问：如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，
F．线段AE与CF有怎样的数量关系？
学生回答：AE=CF
教师问：你能写出证明过程吗？
12 / 17学生回答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=CB.
又∵∠AED=∠CFB=90°，
∴△ADE≌△CBF（AAS）.
∴AE=CF.
教师问：在上述证明中还能得出什么结论？
学生回答：线段DE=BF.
教师问：如果改变条件，还有这样的性质吗？例如：若m ∥
n，作 AB//CD∥EF，分别交 m于A，C，E，交 n于B，D，F.
线段AB，CD，EF相等吗？
学生回答：AB=CD=EF
13 / 17教师问：你是如何得到结果的呢？
学生回答：由平行四边形的定义易知四边形ABDC，CDFE均为平
行四边形. 由平行四边形的性质得AB=CD=EF.
师生共同归纳：两条平行线之间的平行线段相等.
教师问：什么是点到直线的距离呢？
学生回答：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直
线的距离.
教师问：如果点在一条直线上呢？例如下面的问题：
若m∥n，AB , CD , EF垂直于n，交n于B , D , F , 交 m于A
, C , E.
师生共同讨论后解答如下：
14 / 17学生回答：因为AB , CD , EF垂直于 n，所以
∠ABD=∠CDF=∠EFH，所以AB∥CD∥EF,所以四边形ABCD和四边形
CDFE都是平行四边形，由此得到AB=CD=EF.
两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到
另一条直线的距离.
教师问：由上面的证明你得到什么呢？
学生回答：平行线间的距离相等.
教师归纳如下：两条平行线之间的距离相等.
出示课件23，学生自主练习，教师给出答案.
（三）课堂练习（出示课件24-29）
练习课件第24-29页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件30）
师生共同整理平行四边形对角线性质等知识.
15 / 17（五）课前预习
预习下节课（21.2.2第1课时）的相关内容.
知道平行四边形的判定定理.
七、课后作业
1、教材第59页练习第1,2,3题.
2、培优练习21.2.1第3,4,5,7题.
八、板书设计
第2课时
1.平行四边形的对角线的性质.
考点1 考点2
2. 平行四边形的面积
3.平行四边形中有关图形的面积
16 / 17考点1
4.平行线之间的距离
5.例题讲解
九、教学反思
成功之处：本节课以问题为载体,以学生的动手实践、自主探究
为主要的学习方式.在教学过程中,实施开放式教学,创设民主、宽松
的教学氛围,最大限度地调动学生的积极性,激发他们的学习兴趣.教
师成为课堂问题的激发者、有序探究的组织者、学生错误的澄清者、
多角度思考的促进者,使师生成为“数学学习的共同体”.
不足之处：由于学生的水平不一,可能有学生跟不上,对于综合题
目理解不到.尤其是例题讲解很难落实到位.
补救措施：设计分层练习,或者组织有效的学习小组,互相学习.
补充的例题以老师讲解为主,教材的例题可交给学生独立完成.
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