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21.3.1 矩形（第 2 课时）
知识点1：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．∠A+∠B=180° B．∠B+∠C=180° C．∠A=∠B D．∠B=∠D
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质和矩形的判定知识点，解题关键是熟练掌握矩形的判定定理，并结
合平行四边形的基本性质对每个选项进行逻辑推导．
需要结合平行四边形的性质，对每个选项进行分析，判断能否推出平行四边形ABCD是矩形．
【详解】解：A、在平行四边形ABCD中，AD∥BC，根据平行线性质，∠A+∠B=180°是恒成立的，这
只是平行四边形的基本性质，不能判定它是矩形，不符合题意；
B、在平行四边形ABCD中，AB∥DC，根据平行线性质，∠B+∠C=180°也是恒成立的，不能判定它是
矩形，不符合题意；
C、在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．若∠A=∠B，则可推出∠A=∠B=90°．根
据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形ABCD是矩形，符合题意；
D、在平行四边形ABCD中，本身就有对角相等的性质，即∠B=∠D，这不能判定它是矩形，不符合题意．
故选：C．
2．（2025年云南）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD=OB．连接
AD,CD.求证：四边形ABCD是矩形；
【详解】证明：∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形；
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD⊥BD，OE ∥ BC交CD于点E，过E作EF
∥ BD，交BC于点F．
(1)求证：四边形OEFB是矩形；
(2)若AD=6，△OBC的面积为12．求AB的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AD∥BC，
∵OE∥BC，EF∥BD，
∴四边形OEFB是平行四边形，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBF=90°，
∴四边形OEFB是矩形，
（2）解：∵△OBC的面积为12，AD=6，
∴BC=6，
∴OD=OB=4，
∴BD=8，
在Rt△ABD中，AB=❑√AD2+BD2=❑√62+82=10．
知识点2：有三个角是直角/对角线相等的四边形是矩形.
4．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形
B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
根据矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，该选项说法错误，不符合题意；B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），该选项说法错误，不符合题
意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项说法错误，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符
合题意；
故选：D．
5．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角
是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”
即可求解．
【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选
项不符合题意；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
C、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，符合题意；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
故选：C．
6．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=BC B．∠ABO=∠CBO C．AC=BD D．AO=CO
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据题意，四边形ABCD是
平行四边形，利用矩形的判定定理，即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，
∴ ∠ADB=∠CBO，
∵ ∠ABO=∠CBO，
∴ ∠ADB=∠ABO，
∴ AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故C符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，故D不符合题意；
故选：C．
7．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为各边的中点，按图中的虚线将其分成四个四边形，再重
新拼成一个四边形，则拼成的四边形是（ ）
A．对角线不相等的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形
C．对角线垂直的平行四边形 D．对角线垂直且相等的平行四边形
【答案】B
【分析】本题考查矩形的判定与性质，正确拼出矩形是解题的关键．
拼成的四边形为矩形，根据矩形是对角线相等的平行四边形，即可解答．
【详解】解：按图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形如图，其中点
A,B,C,D重合于点O，
∴拼成的四边形为矩形，则矩形是对角线相等的平行四边形．
故选B．8．如图，在▱ ABCD中，M，N是BD上的两点，BM=DN，连接AM，MC，CN，NA．为使得四边形AMCN是矩
形，可以添加的一个条件是 （写出一种情况即可）．
【答案】∠AMC=90°（答案不唯一）
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与
性质是解题的关键．
由平行四边形的性质可知，OA=OC，OB=OD，再证OM=ON，则四边形AMCN是平行四边形，添加
∠AMC=90°，由矩形的判定可得出结论．
【详解】解：添加的一个条件是：∠AMC=90°．
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BM=DN，
∴OB−BM=OD−DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵∠AMC=90°，
∴四边形AMCN是矩形，添加的条件符合要求．
故答案为：∠AMC=90°（答案不唯一）．
9．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，E为AB边上一点．请用尺规作图法在四边形ABCD内
部求作一点P，使四边形AEPD为矩形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图——复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根
据尺规作图作垂线的方法，过点E作EP垂直AB，过点D作DP⊥EP，即可求解．
【详解】解：如图所示，即为所求．10．（2024年甘肃兰州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若BC=4,CE=3，求EF的长．
【详解】（1）证明：∵AB=AC， D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵CE∥AD，
∴∠ECD=180°−∠ ADC=90°，
又∵AE⊥AD，
∴∠EAD=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
（2）由（1）可知四边形ADCE是矩形．
∴AE=DC，CE=AD=3，∠AEC=90°，
∵D是BC的中点，BC=4
1
∴DC=AE= BC=2，
2
在△ADC中，∠ADC=90°，
∴AC=❑√AD2+DC2=❑√32+22=❑√13，
∵EF⊥AC，
1 1
∴ EF⋅AC= AE⋅CE
2 2
1 1
即 EF⋅❑√13= ×2×3，
2 2
6❑√13
∴EF= ．
1311．（2025年江苏常州）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=2，AD=1．
(1)若△ABD是等腰三角形，则BD= ；
(2)已知OB=OD，AC=BD．
①若OA=OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在△ACD中，CD2=AD2+AC2，求AC的长．
【详解】（1）解：∵△ABD是等腰三角形，AB=2，AD=1，
∴当BD=AB=2时，此时满足三角形三边关系，符合题意；
当BD=AD=1时，1+1=2，此时不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上，BD=2，
故答案为：2；
（2）解：①四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
②过点B作BE⊥AC于点E，
∵CD2=AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC=90°，
∴∠DAO=∠BEO=90°，
在△AOD和△EOB中，
∠DAO=∠BEO=90°
{ )
∠AOD=∠EOB ，
OD=OB
∴△AOD≌△EOB，∴BE=DA=1，AO=EO，
∴在Rt△ABE中，AE=❑√AB2 −BE2=❑√3，
1 ❑√3
∴AO=EO= AE= ，
2 2
∴在Rt△AOD中，OD=❑√AD2+AO2=
❑√7
，
2
∴BD=2OD=❑√7，
∴AC=BD=❑√7．
知识点3：矩形的性质和判定的综合应用.
12．若平行四边形的一个内角是直角，则其他三个角 ；
【答案】都是直角
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的判定和性质是关键，根据题意，运用矩形的判定和性
质求解即可．
【详解】解：若平行四边形的一个内角是直角，则该四边形是矩形，
∴其他三个角都是直角，
故答案为：都是直角 ．
13．（2025年黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度
向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4cm/s
的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动
点的运动时间为ts，当QP=QH时，t的值为（ ）
5 10 20
A． B．4 C． D．
2 3 7
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，求得
3
PH=20−3 t，根据等腰三角形的性质得到PE=10− t，再利用CQ=BE，列式计算即可求解．
2
【详解】解：作QE⊥AB于点E，如图，∵矩形ABCD，
∴四边形BCQE是矩形，
∴CQ=BE，
由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，
∴PH=20− AP−BH=20−3 t，
∵QP=QH，QE⊥AB，
1 3
∴PE=HE= PH=10− t，
2 2
3 1
∵CQ=BE，BE=EH+HB=10− t+2t=10+ t
2 2
1
∴4t=10+ t，
2
20
解得t= ，
7
故选：D．
14．如图，四边形ABCD的对角线AC垂直BD于点O，O、F分别为AC、AE中点，分别过点C、D作CE∥BD，
DE∥AC，CE和DE交于点E．
(1)求证：四边形ODEC是矩形；
(2)若OF=1，∠CAE=30°时，求AC的长．
【详解】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形ODEC是矩形；
（2）解：∵四边形ODEC是矩形，
∴∠ACE=90°，
∵O、F分别为AC、AE中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴CE=2OF=2，∵∠CAE=30°，
∴AE=2CE=4，
∴AC=❑√AE2 −CE2=❑√42 −22=2❑√3．
15．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③
AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形与矩形的判定，掌握矩形的判定需先证平行四边形，再结合对角线相等或
有一个角是直角是解题的关键．
对每个选项，先判断能否证明四边形为平行四边形，再看能否进一步判定为矩形，从而找出不能判定的组
合．
【详解】解：A、∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不符合题意．
B、∵AB=DC，AC=BD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ABC=∠DCB，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴AB∥DC．
∵AB=DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，不符合题意．
C、∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形，
平行四边形的对边相等，可得到AB=DC，
即当AB=DC时，不能得出四边形ABCD是矩形，符合题意．
D、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，符合题意．
故选：C．
16．（2024年宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=2cm，点A在直线l 上，点B，
1
C在直线l 上，l ∥l ，动点P从点A出发沿直线l 以1cm/s的速度向右运动，设运动时间为ts．下列结论：
2 1 2 1
①当t=2s时，四边形ABCP的周长是10cm；
②当t=4s时，点P到直线l 的距离等于5cm；
2
③在点P运动过程中，△PBC的面积随着t的增大而增大；
④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点P运动过程中，线段DE的长度不变．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知
识．①当t=2s时，得到四边形ABCP是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；
③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断．
【详解】解：①当t=2s时，AP=2cm，
∴ AP=BC，
∵ AP∥BC，∠ABC=90°，
∴四边形ABCP是矩形，
∴ AB=PC=3cm，
∴，四边形ABCP的周长是2×(2+3)=10cm，故①正确；②∵ l ∥l ，∠ABC=90°，AB=3cm，
1 2
∴直线l 与直线l 之间的距离是3cm，
1 2
∴当t=4s时，点P到直线l 的距离等于3cm，故②错误；
2
③由②可知点P到BC的距离为定值3cm，即△PBC的BC边上的高为3cm，
又∵ BC=2cm，
∴ △PBC的面积为定值，故③错误；
④∵点D，E分别是线段PB，PC的中点，
∴ DE是△PBC的中位线，
1
∴ DE= BC=1cm，
2
即线段DE的长度不变，故④正确；
故选：A．
17．如图，在矩形ABCD中，AB= 4cm，AD=12cm，点P从点A出发，向点D以1cm/s的速度匀速运动，点Q
以4cm/s的速度从点C出发，在B、C两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点P到达点D时停止运动（同
时点Q也停止运动）．设运动时间为ts，这段时间内，当t的值为 时，以P、Q、C、D为顶点的
四边形是矩形．
【答案】2.4或4或7.2
【分析】首先由矩形得到AD∥BC，∠D=90°，然后得到DP=CQ，则四边形PDCQ是矩形，然后根据题意
分情况讨论，分别列方程求解即可．
【详解】根据题意，当点P从点A运动到点D的过程中，点Q将按照C→B→C→B→C运动．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°．
∴PD∥CQ．
若DP=CQ，则四边形PDCQ是矩形．
根据题意，得DP=(12− t)cm．当0≤t≤3时，CQ=4tcm，
∴12− t=4t，
解得t=2.4．
当3
