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21.2.3 三角形的中位线
知识点1：三角形的中位线定理与数学问题
1．（2024年四川广安）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A=45°，∠CED=70°，
则∠C的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．65°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图
是解题的关键．先证明DE∥AB，可得∠CDE=∠A=45°，再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE∥AB，
∵∠A=45°，
∴∠CDE=∠A=45°，
∵∠CED=70°，
∴∠C=180°− ， 45°−70°=65°
故选D
2．（2024年四川巴中）如图，▱ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC=4．若▱ ABCD
的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC中点，
又∵E是BC中点，
∴OE是△ABC的中位线，
1 1
∴OE= AB，CE= BC，
2 2
∵ ABCD的周长为12，AC=4，
▱
1
∴AB+BC= ×12=6，
2
1 1
∴△COE的周长为OE+CE+OC= (AB+BC+AC)= ×(6+4)=5．
2 2
故选：B.
3．（2025年江苏宿迁）如图，在△ABC中，AB≠AC，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，则下列
结论错误的是（ ）
A．DE∥BC B．∠B=∠EFC C．∠BAF=∠CAF D．OD=OE
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角
形的中位线定理是解题的关键．
由题意可得DF,EF,DE为△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可得DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB，
则∠B=∠EFC，四边形ADFE是平行四边形，即可判断A、B、D；再由AB≠AC，F是边BC的中点，即可
判断C．
【详解】解：点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点
∴DF,EF,DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB，
∴∠B=∠EFC，四边形ADFE是平行四边形，
∴OD=OE，
故A、B、D正确，不符合题意；∵AB≠AC，F是边BC的中点，
∴∠BAF≠CAF，
故C错误，符合题意，
故选：C．
4．（2024年江苏无锡）在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则
△DEF的周长为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边
1 1 1
的一半．根据三角形的中位线定理得出DE= AC=4,EF= AB=2,DF= BC=3，即可解答．
2 2 2
【详解】解：∵AB=4，BC=6，AC=8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
1 1 1
∴DE= AC=4,EF= AB=2,DF= BC=3，
2 2 2
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=4+2+3=9，
故答案为：9．
5．（2023年四川泸州）如图，▱ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，
E是PD中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得AP=AD=4，
进而可得BP=2，再根据三角形的中位线解答即可.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，CD=6，
∴AB∥CD，AB=CD=6，DO=BO，
∴∠CDP=∠APD，∵PD平分∠ADC，
∴∠ADP=∠CDP，
∴∠ADP=∠APD，
∴AP=AD=4，
∴BP=AB−AP=6−4=2，
∵E是PD中点，
1
∴OE= BP=1；
2
故选：A.
1
6．（2023年湖北黄石）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于 BC的长
2
为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点
1
D；③分别以点D，C为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接AM，AM和CD交于点
2
N，连接ON若AB=9,AC=5，则ON的长为（ ）
5 9
A．2 B． C．4 D．
2 2
【答案】A
【分析】利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．
【详解】解：由作图可知EF垂直平分线段BC，AM垂直平分线段CD，
∴OB=OC，DN=CN，
1
∴ON= BD，
2
∵AB=9，AC=AD=5，
∴BD=AB−AD=9−5=4，
1
∴ON= ×4=2．
2
故选：A．7．如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于
点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）.
A．2❑√5 B．5 C．4❑√5 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质．熟练掌握
三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质是解题的关键．
1
由题意知，DE是△ABC的中位线，则DE= BC，AE=CE，设AD=a，则AE=2a，由勾股定理得，
2
DE=❑√5a，如图，过A作AG∥BC，交FD的延长线于G，证明△DAG≌△DBF(AAS)，则DG=DF，由
1 1 1 1
S = DE×DG= AD×AE，S = DE×DF，可得S =S =1，即 a×2a=1，计算求出满
△ADE 2 2 △DEF 2 △ADE △DEF 2
足要求的a，进而可求BC．
【详解】解：∵D是AB的中点，DE∥BC，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= BC，AE=CE，
2
设AD=a，
∵AB=CE，
∴AE=2a，
由勾股定理得，DE=❑√AD2+AE2=❑√5a，
如图，过A作AG∥BC，交FD的延长线于G，
∴∠DAG=∠DBF，∠DGA=∠DFB=90°，
∴△DAG≌△DBF(AAS)，
∴DG=DF，1 1 1
∴S = DE×DG= AD×AE，S = DE×DF，
△ADE 2 2 △DEF 2
1
∴S =S =1，即 a×2a=1，
△ADE △DEF 2
解得，a=1或a=−1（舍去），
∴BC=2❑√5，
故选：A．
8．（2025年山东淄博）已知：如图：在△ABC中，D，F分别为边AB，BC的中点，∠AED=∠DFB．求证：
(1)△AED≌△DFB；
(2)∠C=∠EDF．
【详解】（1）证明：∵D，F分别为边AB，BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，AD=BD，
∴DF∥AC，
∴∠A=∠FDB，
又∵∠AED=∠DFB，
∴△AED≌△DFB(AAS)；
（2）证明：∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
又∵DF∥AC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴∠C=∠EDF．
9．（2023年浙江湖州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已
知BC=10，AD=12，求BD，DE的长．【详解】解，∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
1
∴BD= BC．
2
∵BC=10，
∴BD=5．
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．
∵AD=12，
∴AB=❑√AD2+BD2=❑√122+52=13，
∵E为AB的中点，
1 13
∴DE= AB= ．
2 2
知识点2：三角形的中位线定理与实际问题
10．（2023年云南）如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为
M、N．若MN=3米，则AB=（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解∶∵AC、BC的中点分别为M、N，
∴MN是△ABC的中位线，
∴AB=2MN=6(米)，
故选∶B．
11．（2023年浙江金华）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点．
若CD=4cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm．【答案】8
【分析】利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
1
∴CD= AB，
2
∴AB=2CD=8(cm)，
故答案为：8．
12．（2023年山东东营）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：
∠PMN=∠PNM．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：∠AEM=∠F．
（3）用数学的语言表达．
如图，在△ABC中，AC<AB，点D在AC上，AD=BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与
BC的延长线交于点G，连接GD，若∠ANM=60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．【详解】证明：（1）∵P的中点，M是AB的中点，
1
∴PM= AD.
2
1
同理，PN= BC.
2
∵AD=BC，
∴PM=PN.
∴∠PMN=∠PNM.
（2）∵P的中点，M是AB的中点，
∴PN∥BC，
∴∠PNM=∠F.
同理，∠PMN=∠AEM.
由（1）可知∠PMN=∠PNM，
∴∠AEM=∠F.
（3）△CGD是直角三角形，证明如下：
如图，取BD的中点P，连接PM，PN，
M是AB的中点，
1
∴PM∥AD，PM= AD.
2
1
同理，PN∥BC，PN= BC.
2
∵AD=BC，
∴PM=PN.
∴∠PMN=∠PNM.
∵PM∥AD，
∴∠PMN=∠ANM=60°，
∴∠PNM=∠PMN=60°.
∵PN∥BC，
∴∠CGN=∠PNM=60°.又∵∠CNG=∠ANM=60°，
∴△CGN是等边三角形，
∴CN=GN.
又∵CN=DN，
∴DN=GN.
∴∠NDG=∠NGD=30°，
∴∠CGD=∠CGN+∠NGD=60°+30°=90°.
∴△CGD是直角三角形.
故答案为：△CGD是直角三角形.
13．（2025年黑龙江龙东地区）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D、E分别在边AB和BC上，且
AD=4，CE=3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（ ）
5 12 13
A． B． C．2 D．
2 5 5
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型
构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点C作CG∥AD，连接DM并延长交CG于点G，连接EG，可证△GMC≌△DMA(ASA)，可得CG=AD=4，
GM=DM，再根据平行线的性质得∠GCE=90°，即得GE=❑√CG2+CE2=5，最后根据三角形中位线的性质
解答即可求解，
【详解】解：如图，过点C作CG∥AD，连接DM并延长交CG于点G，连接EG，∴∠GCM=∠A，
∵点M是AC的中点，
∴CM=AM，
又∵∠GMC=∠DMA，
∴△GMC≌△DMA(ASA)，
∴CG=AD=4，GM=DM，
∵CG∥AD，∠B=90°，
∴∠GCE=180°−∠ C=90°，
∵CE=3，
∴GE=❑√CG2+CE2=❑√42+32=5，
∵GM=DM，点N是DE的中点，
∴MN是△DEG中位线，
1 5
∴MN= GE= ，
2 2
故选：A．
14．如图，在图(1)中，A 、B 、C 分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图(2)中，A 、B 、C 分别
1 1 1 2 2 2
是△A B C 的边B C 、C A 、A B 的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有
1 1 1 1 1 1 1 1 1
个．
【答案】3n
【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理等知识点，根据中位线定理先确定它们是平行四边形，然后在图（1）中，可证出有3个平行四边形；在图（2）中，可证出有6个平行四边形；…按
此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个，熟练掌握三角形的中位线定理的性质是解决此题的
关键．
【详解】在图（1）中，A 、B 、C 分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
1 1 1
∴A C ∥AC，A B ∥AB，B C ∥BC，
1 1 1 1 1 1
A C =AC，A B =AB，B C =BC，
1 1 1 1 1 1
∴四边形A B AC 、A B C B、A C B C是平行四边形，共有3个．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
在图（2）中，A 、B 、C 分别是△A B C 的边B C 、C A 、A B 的中点，
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
同理可证：四边形A B AC 、A B C B、A C B C、A B C B 、A B A C 、A C B C 是平行四边形，共
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1
有6个．
…
按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个，
故答案为：3n．
