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第 53 讲 空间向量的概念
1．空间向量及其有关概念
概念 语言描述
共线向量(平行
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
向量)
共面向量 平行于同一个平面的向量
共线向量定理 对空间任意两个向量 a ， b ( b ≠ 0 ) ， a ∥ b ⇔ 存在 λ ∈ R ，使 a ＝ λ b
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序
共面向量定理
实数对 ( x ， y ) ，使 p ＝ x a ＋ y b
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯
空间向量基本定 一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
理及推论
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存
在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝1
2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③
设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.
(2)空间向量的坐标运算：
a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)
1 2 3 1 2 3
向量和 a＋b＝ ( a ＋ b ， a ＋ b ， a ＋ b)
1 1 2 2 3 3
向量差 a－b＝ ( a － b ， a － b ， a － b)
1 1 2 2 3 3
数量积 a·b＝ab ＋ ab ＋ ab
1 1 2 2 3 3
共线 a ∥ b ⇒ a ＝ λ b ， a ＝ λ b ， a ＝ λ b ( λ ∈R ， b ≠ 0 )
1 1 2 2 3 3
垂直 a⊥b⇔ab ＋ ab ＋ ab ＝ 0
1 1 2 2 3 3
夹角公式 cos〈a，b〉＝
1、在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】： A
【解析】： a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意
两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故
③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可
知四个命题中正确的个数为0，故选A.
2、已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A. B.2 C. D.1
【答案】 A
【解析】 因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
所以a·b＝－1，|a|＝，|b|＝.
又ka＋b与2a－b互相垂直，
所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
即4k＋k－2－5＝0，所以k＝.
3、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为( )
A. 共线 B. 共面
C. 不共面 D. 无法确定
【答案】 C
【解析】 AB＝(2，0，－4)，AC＝(－2，－3，－5)，AD＝(0，－3，－4).由不存在实数λ，使AB＝λAC成
立，知点A，B，C不共线，故点A，B，C，D不共线；假设点A，B，C，D共面，则可设AD＝xAB＋yAC
(x，y为实数)，即由于该方程组无解，故点A，B，C，D不共面，故选C.
4、已知向量m是直线l的方向向量，向量n是平面α的法向量，则“m⊥n”是“l∥α”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】 B
【解析】 由l∥α，得m⊥n，所以“m⊥n”是“l∥α”的必要条件；而由m⊥n不一定有l∥α，也可能
l α，故“m⊥n”不是“l∥α”的充分条件．故“m⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件．
5、 (2022·镇江高三开学考试)四棱柱ABCD-ABC D 的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且
⊂ 1 1 1 1
∠C CB＝∠C CD＝∠BCD＝60°，则线段AC的长度是( )
1 1 1A. B.
C. 3 D.
【答案】 D
【解析】 因为CA1＝CA＋AA1＝CA＋CC1＝CD＋CB＋CC1，且∠C CB＝∠C CD＝∠BCD＝60°，所以
1 1
(CA1)2＝(CD＋CB＋CC1)2＝|CD|2＋|CB|2＋|CC1|2＋2|CD|×|CB|×cos 60°＋2|CD|×|CC1|×cos 60°＋2|CB|×|
CC1|×cos 60°＝1＋1＋4＋2×＋2×2×＋2×2×＝11，所以|CA1|＝，即线段AC的长度是.
1
考向一 空间向量的线性运算
例1 、(1) 已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论中正确的是
________；(填序号)
①a∥b，a∥c; ②a∥b，a⊥c；③a∥c，a⊥b.
【解析】 因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，所以a∥c.又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4
＝0，所以a⊥b.
【答案】 ③
(2) 已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x＝________．
【解析】 因为a∥b，所以－x＝4，即x＝－4.
【答案】 －4
（3）在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用向量OA，OB，OC表示
MG，OG.
【解析】 MG＝MA＋AG＝OA＋AN
＝OA＋(ON－OA)
＝OA＋[(OB＋OC)－OA]
＝－OA＋OB＋OC.
OG＝OM＋MG
＝OA－OA＋OB＋OC
＝OA＋OB＋OC.
变式1、（1）如图所示，在平行六面体ABCD—ABC D 中，M为AC 与BD 的交点．若AB＝a，AD＝
1 1 1 1 1 1 1 1
b，AA1＝c，则向量BM＝ (用a，b，c表示)．
【答案】：－a＋b＋c
【解析】：BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c．
（2）如图，在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝(用a，b，c表示)．
【答案】：a＋b＋c
【解析】：OE＝OA＋OD＝OA＋OB＋OC
＝a＋b＋c．
变式2、(多选)(2022·威海调研)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在
线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，ON＝OM，设OA＝a，OB＝b，OC＝
c，则下列等式成立的是( )
A.OM＝b－c
B.AN＝b＋c－a
C.AP＝b－c－a
D.OP＝a＋b＋c
【答案】 BD
【解析】 对于A，利用向量的平行四边形法则，OM＝OB＋OC＝b＋c，A错误；
对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得AN＝ON－OA＝OM－OA＝－OA＝OB＋OC－OA＝
b＋c－a，B正确；
对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以AP＝AN＝＝b＋c－a，C错误；
对于D，OP＝OA＋AP＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，D正确.
方法总结：本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一
向量时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边
形中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等
于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体
几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
考向二 共线、共面向量定理的应用
例2、已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1) 求证：E，F，G，H四点共面；
(2) 求证：BD∥平面EFGH；
(3) 设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM＝(OA＋OB＋OC＋OD).
【解析】 (1) 连接BG，则EG＝EB＋BG＝EB＋(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，
由共面向量定理的推论，得E，F，G，H四点共面．
(2) 因为EH＝AH－AE＝AD－AB＝(AD－AB)＝BD，所以EH∥BD.
又EH 平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
⊂
(3) 任取一点O，连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)，知EH＝BD，同理FG＝BD，
所以EH＝FG，即EH与FG平行且相等，
所以四边形EFGH是平行四边形，
所以EG，FH交于一点M，且被点M平分．
故OM＝(OE＋OG)＝OE＋OG
＝＋
＝(OA＋OB＋OC＋OD).
变式1、(多选)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是( )
A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B.若AB，CD共线，则AB∥CD
C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点共面
D.若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的
充要条件
【答案】 CD
【解析】 由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，
不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
若AB，CD共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，因为＋＋＝1，可得P，A，B，C四
点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA－
PC＝λ(PB＋CP)，即CA＝λCB，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的
充要条件，所以D正确.
变式2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝(OA＋OB＋OC).
(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
【解析】 (1)由题知OA＋OB＋OC＝3OM，∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，
即MA＝BM＋CM＝－MB－MC，
∴MA，MB，MC共面.
(2)由(1)知，MA，MB，MC共面且基线过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
变式3、.如图所示，已知斜三棱柱ABC ABC ，点M，N分别在AC 和BC上，且满足AM＝kAC1，BN＝
1 1 1 1
kBC(0≤k≤1)．判断向量MN是否与向量AB，AA1共面．
【解析】∵AM＝kAC1，BN＝kBC，
∴MN＝MA＋AB＋BN＝kC1A＋AB＋kBC＝k(C1A＋BC)＋AB＝k(C1A＋B1C1)＋AB＝kB1A＋AB＝AB－
kAB1＝AB－k(AA1＋AB)＝(1－k)AB－kAA1，
∴由共面向量定理知向量MN与向量AB，AA1共面．
方法总结：证明空间三点P，A，B共线的方法有：①PA＝λPB (λ∈R)；
②对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB (x＋y＝1). 证明空间四点P，M，A，B共面的方法有：①MP＝
xMA＋yMB；②对空间任一点 O，OP＝xOM＋yOA＋zOB (x＋y＋z＝1)；③PM∥AB (或PA∥MB或
PB∥AM). 三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、
共面来证明．
考向三 空间向量数量积的应用
例3、 如图所示，四棱柱ABCD－ABC D 中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，
1 1 1 1
且两两夹角为60°．
(1)求AC 的长；
1
(2)求证：AC ⊥BD；
1
(3)求BD 与AC夹角的余弦值．
1
【解析】：(1)记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝．
|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6，
∴|AC1|＝，即AC 的长为．
1
(2)∵AC1＝a＋b＋c，BD＝b－a，
∴AC1·BD＝(a＋b＋c)(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c
＝b·c－a·c
＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0．
∴AC1⊥BD，∴AC ⊥BD．
1
(3)BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，∴|BD1|＝，|AC|＝，
BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cos〈BD1，AC〉＝＝．
∴AC与BD 夹角的余弦值为．
1
方法总结：空间向量数量积计算的两种方法：(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)坐标法：设a＝(x ，
1
y ，z)，b＝(x ，y ，z)，则a·b＝xx ＋yy ＋zz. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二
面角. 可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解，体现转化与化归的数学思想
考向四 利用空间向量证明平行或垂直
例4 如图，已知AA⊥平面ABC，BB∥AA ，AB＝AC＝3，BC＝2，AA ＝，BB ＝2，
1 1 1 1 1
点E和F分别为BC和AC的中点.
1
(1)求证：EF∥平面ABBA；
1 1
(2)求证：平面AEA⊥平面BCB.
1 1
证明 因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.
因为AA⊥平面ABC，AA∥BB，
1 1 1
所以过E作平行于BB 的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴， y 轴，建立如图
1
所示的空间直角坐标系.
因为AB＝3，BE＝，所以AE＝2，
所以E(0，0，0)，C(，0，0)，A(0，2，0)，B(－，0，0)，B(－，0， 2)，A(0，2，)，
1 1
则F.
(1)EF＝，AB＝(－，－2，0)，AA1＝(0，0，).
设平面ABBA的一个法向量为n＝(x，y，z)，
1 1
则所以
取所以n＝(－2，，0).
因为EF·n＝×(－2)＋1×＋×0＝0，
所以EF⊥n.
又EF⊄平面ABBA，
1 1
所以EF∥平面ABBA.
1 1(2)因为EC⊥平面AEA，
1
所以EC＝(，0，0)为平面AEA 的一个法向量.
1
又EA⊥平面BCB，
1
所以EA＝(0，2，0)为平面BCB 的一个法向量.
1
因为EC·EA＝0，所以EC⊥EA，
故平面AEA⊥平面BCB.
1 1
变式1、在如图所示的长方体ABCD-ABC D 中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交
1 1 1 1
点，BB＝，M是线段BD 的中点．求证：
1 1 1
(1) BM∥平面DAC；
1
(2) DO⊥平面ABC.
1 1
【解析】 (1) 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 O(1，1，0)，D(0，0，)，
1
B(2，2，0)，M(1，1，)，
所以OD1＝(－1，－1，)，BM＝(－1，－1，)，
所以OD1＝BM.
又因为OD 与BM不共线，
1
所以OD ∥BM.
1
又OD 平面DAC，BM⊄平面DAC，
1 1 1
所以BM∥平面DAC.
⊂ 1
(2) 连接OB，点B(2，2，)，A(2，0，0)，C(0，2，0).
1 1
因为OD1·OB1＝(－1，－1，)·(1，1，)＝0，OD1·AC＝(－1，－1，)·(－2，2，0)＝0，
所以OD1⊥OB1，OD1⊥AC，
即OD ⊥OB，OD ⊥AC.
1 1 1
又OB∩AC＝O，OB 平面ABC，AC 平面ABC，
1 1 1 1
所以DO⊥平面ABC.
1 1 ⊂ ⊂
变式2、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA
＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．求证：
(1) EF∥平面PAD；
(2) 平面PAB⊥平面PDC.【解析】 (1) 如图，取AD的中点O，连接OP，OF.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
⊂
又O，F分别为AD，BD的中点，
所以OF∥AB.
又四边形ABCD是正方形，所以OF⊥AD.
因为PA＝PD＝AD，
所以PA⊥PD，OP＝OA＝.
以O为坐标原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，F，D，P，B，C.
因为E为PC的中点，所以E.
易知平面PAD的一个法向量为OF＝.
因为EF＝，且OF·EF＝·＝0，
所以OF⊥EF，所以EF∥平面PAD.
(2) 因为PA＝，CD＝(0，－a，0)，
所以PA·CD＝·(0，－a，0)＝0，
所以PA⊥CD，所以PA⊥CD.
又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PDC，CD 平面PDC，
所以PA⊥平面PDC.
⊂ ⊂
又PA 平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PDC.
⊂
1、如图所示，在平行六面体ABCD－ABC D 中，M为AC 与BD 的交点.若AB＝
1 1 1 1 1 1 1 1
a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b＋c D.a－b＋c【答案】 A
【解析】 BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
2、已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】： D
【解析】： ∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1，1，2)，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为，故选D.
3、(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝
(－1,2，－1)．下列结论正确的有( )
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C.AP是平面ABCD的一个法向量
D.AP∥BD
【答案】ABC
【解析】对于A，AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，∴AP⊥AB，即AP⊥AB，A正确；对于
B，AP·AD＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP⊥AD，即AP⊥AD，B正确；对于C，由AP⊥AB，且
AP⊥AD，得出AP是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于 D，由AP是平面ABCD的法向量，得出
AP⊥BD，则D错误．故选A、B、C.
4、(多选)已知ABCDABC D 为正方体，下列说法中正确的是( )
1 1 1 1
A．(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3(A1B1)2
B.A1C·(A1B1－A1A)＝0
C．向量AD1与向量A1B的夹角是60°
D．正方体ABCDABC D 的体积为|AB·AA1·AD|
1 1 1 1
【答案】AB
【解析】由向量的加法得到：A1A＋A1D1＋A1B1＝A1C，∵AC2＝3AB，∴(A1C)2＝3(A1B1)2，所以A正确；
1 1
∵A1B1－A1A＝AB1，AB⊥AC，∴A1C·AB1＝0，故B正确；∵△ACD 是等边三角形，∴∠ADC＝60°，又
1 1 1 1
AB∥DC，∴异面直线AD 与AB所成的角为60°，但是向量AD1与向量A1B的夹角是120°，故C不正确；
1 1 1 1
∵AB⊥AA，∴AB·AA1＝0，故|AB·AA1·AD|＝0，因此D不正确．故选A、B.
1
5、如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，
且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )
A.(1，1，1) B.
C. D.【答案】 C
【解析】 设 AC 与 BD 相交于 O 点，连接 OE，由 AM∥平面 BDE，且 AM 平面
ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO.
⊂
又O是正方形ABCD对角线交点，
∴M为线段EF的中点.
在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1)，
由中点坐标公式，知点M的坐标.
6、.如图，已知四棱柱ABCD－ABC D 的底面ABC D 为平行四边形，E为棱AB
1 1 1 1 1 1 1 1
的中点，AF＝AD，AG＝2GA1，AC 与平面EFG交于点M，则＝________.
1
【答案】
【解析】 由题图知，设AM＝λAC1(0＜λ＜1)，
由已知AC1＝AB＋AD＋AA1
＝2AE＋3AF＋AG，
所以AM＝2λAE＋3λAF＋AG.
因为M，E，F，G四点共面，所以2λ＋3λ＋＝1，解得λ＝.
7、.(2022·石家庄质检)如图，棱柱ABCD－ABC D 的所有棱长都等于2，∠ABC和
1 1 1 1
∠AAC均为60°，平面AAC C⊥平面ABCD.
1 1 1
(1)求证：BD⊥AA；
1
(2)在直线CC 上是否存在点P，使BP∥平面DAC ？若存在，求出点P的位置，若不
1 1 1
存在，请说明理由.
(1)证明 设BD与AC交于点O，
则BD⊥AC.连接AO，
1
在△AAO中，AA＝2，AO＝1，∠AAO＝60°，
1 1 1
所以AO2＝AA＋AO2－2AA·AOcos 60°＝3，
1 1
所以AO2＋AO2＝AA，所以AO⊥AO.
1 1
由于平面AAC C⊥平面ABCD，
1 1
且平面AAC C∩平面ABCD＝AC，
1 1
AO 平面AAC C，
1 1 1
所以⊂A
1
O⊥平面ABCD.
以OB，OC，OA 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
1则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，
D(－，0，0)，A(0，0，)，C (0，2，).
1 1
由于BD＝(－2，0，0)，AA1＝(0，1，)，AA1·BD＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，
所以BD⊥AA1，即BD⊥AA.
1
(2)解 假设在直线CC 上存在点P，
1
使BP∥平面DAC ，
1 1
设CP＝λCC1，P(x，y，z)，
则(x，y－1，z)＝λ(0，1，)，
从而有P(0，1＋λ，λ)，
BP＝(－，1＋λ，λ).
又A1C1＝(0，2，0)，DA1＝(，0，)，
设平面DAC 的一个法向量为
1 1
n＝(x，y，z)，
3 3 3 3
则
则取n＝(1，0，－1).
3
因为BP∥平面DAC ，所以n⊥BP，
1 1 3
即n·BP＝－－λ＝0，解得λ＝－1，
3
即点P在C C的延长线上，且CP＝CC .
1 1
