文档内容
21.3 特殊的平行四边形
21.3.1 矩形
第 1 课时 矩形的性质
A组·基础达标
知识点1 矩形的概念与性质
1 对于任意的矩形,下列说法一定正确的是（ ）
A．对角线垂直且相等
B．四边都相等
C．四个角都相等
D．是轴对称图形,但不是中心对称图形
2 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB=AD B．AC⊥BD
C．AC=BD D．∠ACB=∠ACD
3 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠ABD=60∘ ,AB=2,则AC的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,M,N分别为BC,OC的中点,若AO=4,则
MN的长为（ ）A．4 B．2 C．8 D．6
5 一个矩形的一条对角线长为10,两条对角线的一个交角为60∘ ,则这个矩形的面积是
（ ）
A．25 B．25√3 C．25√5 D．50√3
6 图①是一种矩形时钟,图②是时钟示意图,时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD
上,时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若AB=30cm,则BC的长为______cm（结果
保留根号）.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7 如图,在△ABC中,∠ACB=90∘ ,∠A=20∘ ,D是边AB的中点,则∠BDC的度数是（ ）
A．40∘ B．30∘ C．20∘ D．10∘
8 如图,一根长5m的梯子AB斜靠在与地面OC垂直的墙上,P为AB的中点,当梯子的一端A
沿墙面AO向下移动,另一端B沿OC向右移动时,OP的长（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大,后减小B组·能力提升
9 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘ ,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE的中
点,连接BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
10 如图,在矩形ABCD中,AC,BD交于点O,DE⊥AC于点E.若∠AOD=110∘ ,则∠CDE=_____
_.
11 如图,在△ABC中,CF⊥AB,垂足为F,BE⊥AC,垂足为E,M为BC的中点,连接MF,ME.
（1） 求证:ME=MF;
（2） 若∠ABC=54∘ ,∠ACB=60∘ ,则∠FME的度数为______.
12 如图,矩形ABCD的对角线相交于点G,过点B作BE//AC,交DC的延长线于点E.
（1） 求证:四边形ABEC为平行四边形;
（2） 过点D作DF⊥BE于点F,连接FG,若AB=1,BC=2,求FG的长.C组·核心素养拓展
13 【推理能力】如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF
与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.
（1） 求证:OE=OF;
（2） 若BC=2√3,求AB的长.
第 2 课时 矩形的判定
A组·基础达标
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1 如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根皮筋.若改变框架的形状，则α
也随之变化，两条对角线的长度也在发生改变.当α=______时，两条对角线的长度相
等.
2 如图，在 ▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且CF=AE，连接BF.
求证：四边形DEBF是矩形.知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
3 如图，要使 ▱ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ）
A．AB//CD B．AB=BC C．∠B=∠D D．AC=BD
4 如图，在 ▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，
OE=OD，求证：四边形EBFD是矩形.
知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
5 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD____（填“是”或“不
是”）矩形，依据是____________________________.
6 如图，已知在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PM⊥AB于点M，
PN⊥AC于点N.求证：四边形AMPN是矩形.
B组·能力提升
7 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD//BC，∠ABC=90∘ ，有下列条
件：①AB//CD，②AD=BC.
（1） 请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
（2） 在（1）的条件下，若AB=3，AC=5，求四边形ABCD的面积.8 如图，四边形ABCD是平行四边形，CE//BD交AD的延长线于点E，CE=AC.
（1） 求证：四边形ABCD是矩形；
（2） 若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长.
C组·核心素养拓展
9 【几何直观，推理能力】如图，ON为∠AOB中的一条射线，点P在边OA上，
PH⊥OB于点H，交ON于点Q，PM//OB交ON于点M，MD⊥OB于点D，QR//OB交MD
于点R，连接PR交QM于点S.
（1） 求证：四边形PQRM是矩形；
1
（2） 若OP= PR，试探究∠AOB与∠BON之间的数量关系，并说明理由.
2
21.3.1 矩形
第1课时 矩形的性质
A组·基础达标
知识点1 矩形的概念与性质
．
1．C
2．C
3．C
4．B
5 B．30√3
6知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7．A
8．C
B组·能力提升
9．B
10．35∘
．（ ） 证明 由条件可知△BCE和△BCF均是直角三角形
∵
11M为BC1的中点 : .
1 ,1
∴MF= BC ME= BC
2 2
, ,
∴ME=MF
（ ） 48∘.
2．（ ） 证明 ∵ 四边形ABCD是矩形
∴ 12AB//C1D 即AB//:C E ,
又∵BE//A,C .
∴
四边形ABE,C为平行四边形
（ ） 解 ∵四边形ABCD是矩.形
∴∠ 2 ABC=9 : 0∘ AC=BD G是BD的中,点
在Rt△ABC中 , , .
AC=√AB2+BC ,2=√5,∴BD=√5.
∵DF⊥BE ∴∠BFD=90∘
1 , √5 ,
∴FG= BD= .
2 2
C组·核心素养拓展
13．（1） 证明:∵ 四边形ABCD是矩形
∴AB//CD ,
∴∠BAC=∠,DCA 即∠EAO=∠FCO
在△AOE和△COF,中 ∠EAO=∠FCO. ∠AOE=∠COF AE=CF
∴△AOE≌△COF(AA,S) ∴OE=OF , , ,
（ ） 解 如答图 连接, OB .
2 : , .∵BE=BF OE=OF ∴BO⊥EF
由（ ）知, △AOE,≌△COF ∴.OA=OC
∵
四1边形A,BCD是矩形
∴∠
, ABC=90∘.
∴OA=OB=OC , .
∴∠BAC=∠AB,O
在Rt△BEO中 ∠B . EF+∠ABO=90∘
∵∠BEF=2∠,BAC .
∴2∠BAC+∠BAC ,=90∘ ∴∠BAC=30∘
∵BC=2√3,∴AC=2BC =,4√3, .
∴AB=√AC2−BC2=√(4√3)❑ 2−(2√3)❑ 2=6.
第13题答图
第2课时 矩形的判定
A组·基础达标
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．90∘
．证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴
2DC//AB，DC=AB
∵FC=AE， .
∴CD−FC=AB−AE，即DF=BE，
∴ 四边形DEBF是平行四边形
又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90∘ ，.
∴ 四边形DEBF是矩形
知识点2 对角线相等的.平行四边形是矩形
．
3．D证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴
4OB=OD，OA=OC
.∵AE=CF，
∴AO−AE=OC−CF，即OE=OF，
∴ 四边形EBFD是平行四边形
∵OE=OD， .
∴OE=OD=OF=OB，
即EF=BD，
∴ 四边形EBFD是矩形
知识点3 有三个角是直. 角的四边形是矩形
．是； 有三个角是直角的四边形是矩形
5．证明：∵ 在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴ 6 AB2+AC2=32+42=52=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠A=90∘
∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，.
∴∠AMP=∠PNA=∠A=90∘ ，
∴ 四边形AMPN是矩形
B组·能力提升 .
．（ ） 解：若选择①，证明：∵AD//BC，AB//CD，
∴
7 四边1形ABCD是平行四边形
∵∠ABC=90∘ ， .
∴ 四边形ABCD是矩形
若选择②，证明：∵AD. //BC，AD=BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形
∵∠ABC=90∘ ， .
∴ 四边形ABCD是矩形
（ ） ∵ 四边形ABCD.是矩形，
∴∠ 2 ABC=90∘
∵AB=3，AC .=5，
∴BC=√AC2−AB2=4，
∴S =AB⋅BC=3×4=12.
矩 形ABCD
8．（1） 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AE//BC
∵CE//BD.，
∴ 四边形BCED是平行四边形，
∴CE=BD
∵CE=AC.，
∴AC=BD
∴
四边形.ABCD是矩形
（ ） 解：∵AB=4，A.D=3，∠DAB=90∘ ，
∴B 2 D=√AB2+AD2=√42+32=5.
∵ 四边形BCED是平行四边形，
∴ 四边形BCED的周长为2(BC+BD)=2×(3+5)=16.
C组·核心素养拓展
9．（1） 证明：∵PH⊥OB，MD⊥OB，
∴PH//MD，∠PHO=90∘
∵PM//OB，QR//OB， .
∴PM//QR，
∴ 四边形PQRM是平行四边形
∵PM//OB， .
∴∠MPQ=∠PHO=90∘ ，
∴ 四边形PQRM是矩形
（ ） 解：∠AOB=3∠ .BON 理由如下：
∵ 2四边形PQRM是矩形， .
1
∴PS=SR=SQ= PR，
2
∴∠SQR=∠SRQ
1 .
又∵OP= PR，∴OP=PS，
2
∴∠POS=∠PSO
∵QR//OB，∴∠ . SQR=∠BON
∵∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠S.QR=2∠BON，
∴∠POS=2∠BON，∴∠AOB=∠POS+∠BON=2∠BON+∠BON=3∠BON，
即∠AOB=3∠BON
.
