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第二十二章 二次函数
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
学习目标：1.会用待定系数法求二次函数的表达式.
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
重点：会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
难点：会用待定系数法求二次函数的表达式.
自 主 学
习
一、知识链接
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：用一般式法求二次函数的表达式
问题1 （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
（2）如果一个二次函数的图象经过（-1，10 ），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，
求出这个二次函数的解析式.
典例精析
例1 一个二次函数的图象经过 (0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.
要点归纳：用一般式法求二次函数表达式的方法
已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a，b，c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
练一练
下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，试求出这个二次函数的表达式.
第 1 页 共 6 页x －3 －2 －1 0 1 2
y 0 1 0 －3 －8 －15
探究点2：用顶点法求二次函数的表达式
试一试
已知二次函数y=a(x-1)2+4的图象经过点(-1，0)．求这个二次函数的解析式；
例2 一个二次函数的图象经点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.
要点归纳：用顶点法求二次函数的方法
已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x－h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
练一练
已知一个二次函数有最大值4．且x＞5时，y随x的增大而减小，当x＜5时，y随x的增大而增大，且该函数
图象经过点(2，1)，求该函数的解析式．
探究点3：用交点法求二次函数的表达式
问题 选取(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)，试出这个二次函数的表达式.
要点归纳：用交点法求二次函数表达式的方法
已知抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x－x)(x－x)；
1 2
②先把两交点的横坐标x，x 代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
1 2
第 2 页 共 6 页③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
例3 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线x=2；
（2）图象顶点坐标是(-2，3)，且过点(1，-3)；
（3）如图，图象经过A，B，C三点．
三、课堂小结
已知条件
所选方法
已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
待定系数法求二次函数
解析式
已知顶点坐标或对称轴或最值
用顶点法：y=a(x－h)2+k
用交点法：y=a(x－x)(x－x)
已知抛物线与x轴的两个交点 1 2
(x，x 为交点的横坐标)
1 2
当堂检
测
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .
2.过点(2，4)，且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是 .
3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
第 3 页 共 6 页5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
参考答案
自主学习
知识链接
1.2个 2个
第 4 页 共 6 页2.(1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）
课堂探究
二、要点探究
探究点1：用一般式法求二次函数的表达式
问题 （1）3个 由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，可以确定一次函数的解析式，类似地，由
不共线（三点不在同一直线上）的坐标，可以确定二次函数的解析式.
（2）解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.由已知，图象经过（-1，10 ），（1，4），（2，7）三点，得关于a，
b，c的三元一次方程组 解得
所求二次函数解析式为y=2x2-3x+5.
典例精析
例1 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，由于这个函数经过点(0，1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2，4)、(3，10)两点，可得 解得 ∴所求的二次函数的表达式
是
练一练 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
解得 ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
探究点2：用顶点法求二次函数的表达式
试一试 解：把（-1，0）代入二次函数解析式得4a+4=0，即a=-1，则函数解析式为y=-(x-1)2+4.
例2 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点（0,1），可得1=a(0-8)2+9.解得a= ∴所求的二次函数的解析式是y=
练一练 解：由题意得，二次函数的顶点坐标为（5，4），设关系式为y=a(x-5)2+4，把(2，1)代入得，1=9a+4，解
得a= ∴二次函数的关系式为y=
探究点3：用交点法求二次函数的表达式
问题：解：∵(-3，0)、(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x)
1
(x-x).其中x 、x 为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得a(0+3)(0+1)=-3，解得
2 1 2
a=-1，∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
例3 解：（1）∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2，∴图象经过另一点(3，0).∴设该二次函数的解析式为
y=a(x-1)(x-3).将点(0，-3)代入，得-3=a·(-1)(-3).解得a=-1.∴该二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.
（2）解：∵图象的顶点为(-2，3)，且经过点(1，-3)，设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3，把(1，-3)代入，得
a(1+2)2+3=-3，解得a= ∴抛物线的解析式为y=
第 5 页 共 6 页（3）根据图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（0，-3），C（4，5）三点，代入可得
解得 ∴所求的二次函数的表达式是y=x2-2x-3.
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1. 2.y=-2(x-1)2+6
3.解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得 解得 ∴这个二次函
数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
4.解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为
抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
5.解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴
＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5.
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴
点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴S ＝ ×8×7＝28.
△BCD
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