初中数学同步8年级下册专题17.1勾股定理（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_讲义_学生版在此文件夹

专题 17.1 勾股定理 1、掌握勾股定理的用途：已知直角三角形的两边求第三边及已知直角三角形的一边，求另外两边的关系； 2、能够运用勾股定理解决简单的实际问题； 3、掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理解决弦图等相关问题； 4、熟练掌握重要的数学思想：方程思想。 知识点01 勾股定理 【知识点】 勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b， 斜边长为c，那么a2+b2=c2。 注意： 1)仅直角三角形中存在勾股定理(若要使用勾股定理则需要有直角三角形或通过辅助线构造直角三角形)； 2)由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(斜边)的平方等于两短边 (两直角边)的平方和，只有c是斜边时才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式。 3)利用勾股定理，若无法直接找出其中的两条边，则可设定一条边长为未知数，根据题目已知的条件能表 示其他的边(可以是设定的未知数表示，也可以是具体的数字)，再建立方程求解，这样就将数与形有机地 结合起来，达到了解决问题的目的. 【知识拓展1】勾股定理中的面积问题 例1．(2022·广东湛江·八年级期末)如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， 若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为( ) A．4 B．6 C．8 D．12【即学即练】 1．(2022·贵州铜仁·八年级期中)如图，以 的三边向外作正方形，其面积分别为 且 ，则 ___________；以 的三边向外作等边三角形，其面积分别为 ，则 三者之间的关系为___________． 2．(2022·广东珠海·八年级期末)如图 为直角三角形，斜边 ，以两条直角边为直径构成两个半 圆，则两个半圆的面积之和为( ) A． B． C． D． 【知识拓展2】勾股树 例2．(2022·河南八年级期末)如图，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为斜边作等腰直角 三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，…按照此规律继续下去， 则 的值为( )A． B． C． D． 【即学即练】 1．(2022·云南九年级一模)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础上 增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是( ) A．12 B．32 C．64 D．128 2．(2022·广东揭阳·八年级期末)如图所示，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形， 且最大的正方形的边长为4．若按照图①至图③的规律设计图案，则在第 个图中所有等腰直角三角形的 面积和为( ) A． B． C． D．32【知识拓展3】勾股定理的方程思想与分类讨论思想 A B 25km C D 例3．(2022·陕西·西安八年级阶段练习)如图，高速公路上有 、 两点相距 ， 、 为两村庄，已知 DA10km，CB15km，DA AB于A，CB AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村 庄到E站的距离相等，则AE的长是( )km． A．5 B．10 C．15 D．25 【即学即练】 1.(2022·江苏八年级期末)如图，等腰 中， ， ， 于 ，且 ．则 __________． 2.(2022·山东八年级期中) 中 ， ，高 ，则BC的长为( ) A．14 B．14或4 C．4 D．无法确定 【知识拓展4】勾股定理中的折叠(翻折)问题 解题步骤：(1)找：找痕，折痕前后的图形；(2)设：设未知数，尽可能表达所需线段；(3)列：根据勾股定 理列方程。 例4．(2022·四川成都市·八年级期末)如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将 △CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为____． 【即学即练】1．(2022·贵州遵义·八年级期末)在 中， ， ， ，点 、 分别是直角边 和斜边 上的点，把 沿着直线 折叠，点 恰好落在 边的中点 上，则线段 的长度为 ( ) A． B． C．3 D．4 2．(2022·安徽·合肥市八年级期中)如图，在 中， ， ， ．将 折叠， 使点B恰好落在边AC上．与点 重合，AE为折痕，则 的长为( ) A．12 B．25 C．20 D．15 【知识拓展5】勾股定理的实际应用 例5．(2022·成都市棕北中学八年级月考)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子 底端到左墙角的距离 为0.7米，梯子顶端到地面的距离 为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将 梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离 为1.5米．(1)梯子 的长是多少？(2)求小巷的宽．【即学即练】 1．(2021·江西八年级期末)如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB＝20米， 2 CA⊥AB且CA＝12米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD＝12 米． (1)试判定△ACD的形状，并说明理由；(2)求船体移动距离BD的长度． 2．(2022·河南八年级期末)我国古代数学名著《算法统宗)有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏 板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问 题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时， 即PC 10尺，秋千踏板离地的距离PB就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的 绳索长为________尺． 3．(2022·云南广南·八年级期末)如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子 的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB． 4．(2022·贵州六盘水·八年级期中)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形 成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海AB AC 300km,BC 400km,AB500km 港，且点C与直线 上的两点A，B的距离分别为： ，以台风中心 为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)请计算说明海港C会受到台风的影响；(2)若台风的速度为 20km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 知识点02 勾股定理的验证 【知识点】 据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的 “勾股圆方图”(即赵爽弦图)的证法。 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形.(赵爽的证法) 图(1)中 ，所以 . 图(1) 图(2) 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形.(毕达哥拉斯的证法)图(2)中 ，所以 . 注意：赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间 的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可 分的独特风格树立了一个典范。尤其是其中体现出来的“形数统一” 的思想方法，更具有科学创新的重 大意义。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已。 【知识拓展1】勾股定理的证明与应用 例1．(2022·河南初二期中)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三 角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明． 将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB = 90°，求证：a2+b2=c2． 【即学即练1】 1．(2022·行唐县八年级月考)勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具 之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾 股圆方图”，在该图中，以弦 为边长所得到的正方形 是由4个全等的直角三角形再加上中间的小 正方形 组成的，其中 ， ．(1)请利用面积相等证明勾股定理；(2)在图1中，若大正方形 的面积是13， ，求小正方形 的面积；(3)图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方 形 由八个全等的直角三角形和正方形 拼接而成，记图中正方形 ，正方形 ，正 方形 的面积分别为 ， ， ．若 ，求边 的长度．【知识拓展2】 例2．(2022·河北初二期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如 图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积 为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论： ①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是( ) A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④ 【即学即练2】 1．(2022·福建·厦门一中八年级期中)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人 称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ，若 ，则 的值是( ) A．6 B．8 C．10 D．12 2．(2022.成都市八年级期中)如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形 ．连结 ，交 于点P， 若正方形 的面积为48， ．则 的值是__________． 题组A 基础过关练 1．(2022·山西九年级期中)在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理： 这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与 代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是( )A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 2．(2022·河南信阳·八年级期末)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左 墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在 右墙时，梯子顶端到地面的距离 为1.5m，则小巷的宽为( )． A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m 3．(2022·浙江·乐清八年级期中)如图，在四边形ABCD中， ，分别以AB，BC，CD，DA为一 边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S ，S ，S ，S 来表示它们的面积，那么下列结论正确的是( ) 甲 乙 丙 丁 A． B． C． D． 4．(2022·吉林珲春·八年级期中)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间 的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角 三角形的两直角边分别是a、b(b>a)，则(a+b)2的值为( )．A．24 B．25 C．49 D．13 5．(2022·广东清新·八年级期中)如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方 形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 6．(2022·江苏泗阳·八年级期中)勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为 是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关 面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明 勾股定理的图形有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．(2022·湖南·武冈市第二中学八年级阶段练习)在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝_____． 8．(2022·湖南八年级期末)如图，已知等腰三角形ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝ 12cm，BD＝5cm．(1)求证：△BDC是直角三角形；(2)求△ABC的面积．9．(2022·江苏南通·八年级阶段练习)学过《勾股定理》后，八(1)班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的 高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米(如图1)，小明拉着绳子的下端往后退， 当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为8米(如 图2)．(1)设AB长为x米，绳子为 米，AE为 米(用x的代数式表示)； (2)请你求出旗杆的高度AB． 题组B 能力提升练 1．(2022·贵州遵义·八年级期末)如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在 中， ， ， ， ，分别以 的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月 牙”，即阴影部分的面积为________．(用含 ， ， 的式子表示) 2．(2022·浙江·杭州八年级阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形 ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形 BGFJ的面积为S ，四边形CHIJ的面积为S ，若S ﹣S ＝12，S ABC＝4，则正方形BCFG的面积为( ) 1 2 1 2 △A．16 B．18 C．20 D．22 3．(2022·杭州市建兰中学初三月考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其 为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正 方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S ，S ，S ．若S +S +S ＝12，则下列关于S 、S 、S 的说法正确的 1 2 3 1 2 3 1 2 3 是( ) A．S ＝2 B．S ＝3 C．S ＝6 D．S +S ＝8 1 2 3 1 3 4．(2023·广西八年级期末)如图， ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，则CD的长是______． 5．(2022·沭阳县八年级月考)如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8， CD=6，则CF的长为_________________． 6．(2022·广州市八年级期中)如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受 到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向 行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P 沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 7．(2022·四川八年级期末)如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以 AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB，AB与边BC交于点E．若△DEB为直角三角形，则BD的长是_____． 8．(2022·甘肃庆阳八年级期末)交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年 级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图， 先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上 确定点O、B，使得POl,PO100米，PBO45．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测 得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得APO60．此路段限速每秒22米，试判断此车是 2 1.41, 31.73 否超速？请说明理由(参考数据： )．9．(2022·绵阳市·八年级专题练习)如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形(如图①C为 斜边)拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上， (1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；(要求写出过程) (2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形 中面积关系满足 的有_______个． (3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部 分的面积为_______． 题组C 培优拔尖练 1．(2022·广东福田·八年级期末)如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落 在CD边上的点B处，点A的对应点为点A，BC 3，则AM 的长为( )5 A．1.8 B．2 C．2.3 D． 2．(2022·浙江·温州市第十二中学八年级期中)如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的 直角三角形围成一个大正方形 ，中间是个小正方形 ，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结 ， ， ， ，记阴影部分面积为 ，空白部分面积为 ，若 ，则 ________；如图 3，连结 ， 相交于点 ， 与 相交于点 ．若 ，则 ________． 3．(2022·江苏八年级期末)如图，Rt ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直 角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，△若图中阴影部分的面积S ＝6.5，S ＝3.5，S ＝5.5，则S ＝_____． 1 2 3 4 ABC C 90,AB10,AC 6,CD AB 4．(2022·上海八年级期末)已知，如图，在 中， 是 上的中线，如果 将BCD沿CD翻折后，点B的对应点B'，那么BB'的长为__________． 5．(2022·贵州八年级期末)如图，矩形ABCD中，AD8，AB6，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转得到EFGD BC DE P BC FG Q BQ2BP BP 矩形 ，边 与 交于点 ，延长 交 于点 ，若 ，则 的长为______． 6．(2022·重庆市初二期中)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次 旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”， 也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家 大会的会标设计的主要依据．(1)请利用这个图形证明勾股定理；(2)请利用这个图形说明a2＋b2≥2ab，并 说明等号成立的条件；(3)请根据(2)的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当 x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？ 7．(2022·全国·八年级专题练习)由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近 日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移 动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．(1)A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？ (2)若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？