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22.1.5待定系数法求二次函数解析式
二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式： (a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式： (a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式： ( ， 为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 或 ，
或 ，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程
(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知
1.若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【变式1-1】已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），求这个二次函数的表达式.
【变式1-2】抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（-1，0），点
C的坐标为（0，-3）。求抛物线的表达式及点B的坐标。
题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知
2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，
3），求二次函数的表达式．
【变式2-1】已知二次函数的图象与x轴交于点(－1，0)和 (3，0)，并且与y轴交于点(0，3)．求这个
二次函数表达式．
【变式2-2】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点A（1，0）、B
（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．题型3：顶点式求二次函数解析式
3.已知抛物线的顶点是 A（2，﹣3），且交 y 轴于点 B（0，5），求此抛物线的解析式.
【变式3-1】已知二次函数的顶点坐标为 (1,4) ，且经过点 (−1,0) ，设二次函数图象与y轴交于点
A，求点A的坐标.
【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该
函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
题型4：交点式求二次函数解析式
4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次
函数的解析式．
【变式4-1】已知抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0），（5,0），与y轴的交点为（0,2），求此抛物线
的解析式．并说出此抛物线的开口方向，对称轴，和顶点坐标．
【变式4-2】如图所示，已知二次函数的图象经过点 (−1，0)，(5，0) ， (0，−1) .当 x=4
时，求函数值.
题型5：综合-待定系数法与二次函数的性质
5.已知：二次函数的图象经过点A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)．（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；
（2）设点M(x ，y )，N(1，y )在该抛物线上，若y ≤ y ，直接写出x 的取值范围．
1 1 2 1 2 1
【变式5-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣
2x+2上．
（1）直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线的解析式．
3
【变式5-2】已知抛物线的顶点坐标为（－1，2），与y轴交于点（0， ）
2
（1）求二次函数的解析式；
5
（2）判断点P（2，－ ）是否落在抛物线上，请说明理由.
2
题型6：综合-待定系数法求最短距离
1
6.如图，已知抛物线y= (x−2)(x+a)（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在
a
点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
【变式6-1】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
题型7：综合-三角形面积
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点。
（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积。
【变式7-1】如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
【变式7-2】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），
对称轴为直线x＝2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积.一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为
（ ）
A．y＝﹣ x2﹣2x B．y＝﹣ x2+2x C．y＝ x2﹣2x D．y＝ x2+2x
2．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（
）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4
C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
3．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC＝2．则这条抛物线的解析式为（
）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2+x+2
C．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2 D．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
4．已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（
）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
5．抛物线的图象如图，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）A．y＝x2﹣x+2 B．y＝﹣ x2﹣ x+2
C．y＝﹣ x2﹣ x+1 D．y＝﹣x2+x+2
二．填空题（共3小题）
6．已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交
点的坐标是 ．
7．小刚在用描点法画抛物线C ：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
1
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
请根据表格中的信息，写出抛物线C 的解析式： ．
1
8．已知二次函数的图象如图所示．
（1）这个二次函数的解析式是 ；
（2）根据图象回答：当 时，y＞0．
三．解答题（共6小题）
9．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．10．已知一条抛物线的形状和开口方向都与抛物线y＝ x2相同，它的顶点坐标是P（2，﹣2）．
（1）求出此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的交点为A，B（点A在点B的左边），求△PAB的面积．
11．如图，已知抛物线y＝x2﹣bx+c过点（3，0），与y轴交于（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）当﹣1≤x≤t时，函数的最大值与最小值的差为9，求t的值．
12．已知二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）点P（4，n）向上平移2个单位得到点P'，若点P′落在该二次函数图象上，求n的值．
13．如图，抛物线的顶点坐标D（1，4），且图象与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0），请回答下列问题．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）求抛物线与y轴的交点C的坐标；
（3）求△ABD的面积？
14．已知二次函数y＝ax2+bx﹣1的图象过A（2，0），和C（4，5）两点．
（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求△ACD的面积；如图，
