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22.1.5待定系数法求二次函数解析式
二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式： (a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式： (a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式： ( ， 为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 或 ，
或 ，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程
(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知
1.若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
【分析】先求出b＝0，再求出6＝4+c，最后计算求解即可。
【变式1-1】已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），求这个二次函数的表达式.
【答案】解： ∵二次函数y=ax2+c的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），
{4a+c=8 {a=1
∴ ，解得： .
a+c=5 c=4
∴二次函数的表达式为y=x2+4.【解析】【分析】根据已知的两点坐标分别代入二次函数y=ax2+c ，得出关于a、c的二元一次方程
组，求解即可得出a、c的值，从而即可求二次函数解析式即可.
【变式1-2】抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（-1，0），点
C的坐标为（0，-3）。求抛物线的表达式及点B的坐标。
【答案】解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），C（0，-3）
{1−b+c=0， {b=−2
∴ 解得
c=−3. c=−3
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.
当x2-2x-3=0时，解得x=-1，x=3，
1 2
∵点A的坐标为（-1.0），
∴点B的坐标为（3，0）.
【解析】【分析】利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点坐标，即可
得出答案.
题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知
2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，
3），求二次函数的表达式．
【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得
{
a−b+c=8
4a+2b+c=−1 ，
c=3
{
a=1
解得 b=−4 ，
c=3
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3．
【解析】【分析】把三个点的坐标分别代入解析式得三元一次方程组，解方程组便可得出a、b、c的
值，进而得解析式．
【变式2-1】已知二次函数的图象与x轴交于点(－1，0)和 (3，0)，并且与y轴交于点(0，3)．求这个
二次函数表达式．
【答案】解：设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ，
把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，则
{
a−b+c=0
9a+3b+c=0 ，
c=3
{a=−1
解得： b=2 ，
c=3∴二次函数的表达式为： y=−x2+2x+3 .
【解析】【分析】设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ，把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，即
可求出表达式.
【变式2-2】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点A（1，0）、B
（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．
【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得
{
a+b+c=0
c=−5
4a+2b+c=3
{a=−1
解得 b=6
c=−5
所以，所求函数的解析式为 y=−x2+6x−5 ．
y=−x2+6x−5=−(x−3) 2+4 ．
所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），
对称轴为直线x = 3．
【解析】【分析】利用待定系数法将A、B、C的坐标分别代入y=ax2+bx+c中，可得关于a、b、c
的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x2+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.
题型3：顶点式求二次函数解析式
3.已知抛物线的顶点是 A（2，﹣3），且交 y 轴于点 B（0，5），求此抛物线的解析式.
【答案】解：∵抛物线的顶点坐标为 A（2，﹣3），
∴可设抛物线解析式为 y=a（x﹣2）2﹣3， 将 B（0，5）代入，得 4a﹣3=5，
解得 a=2，
∴抛物线的解析式为 y=2（x﹣2）2﹣3 化为一般式为
y=2x2﹣8x+5
【解析】【分析】 利用抛物线的顶点坐标为 A（2，﹣3），可设抛物线顶点式y=a（x﹣2）2﹣3，将 B
（0，5）代入解析式中，求出a值即可.
【变式3-1】已知二次函数的顶点坐标为 (1,4) ，且经过点 (−1,0) ，设二次函数图象与y轴交于点
A，求点A的坐标.
【答案】解：∵二次函数的顶点坐标为 (1,4)
∴设其解析式为： y=a(x−1) 2+4 .
∵函数经过点 (−1,0) ，
∴0=4a+4 ，
∴a=−1 ，
∴y=−(x−1) 2+4 .
令 x=0 得： y=−1+4=3
∴点A的坐标为： (0,3) .【解析】【分析】设函数的顶点式，将点 (−1,0) 代入，求出二次函数解析式，再令 x=0 ，求得对
应的y值，则可得点A的坐标.
【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该
函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，
又∵抛物线过点C(0，-3)，
∴-3=a(0−1)2−4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，
即y=x2−2x−3；
（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0 ，
解得 x =3 ， x =−1 .
1 2
所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.
【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对
该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.
题型4：交点式求二次函数解析式
4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次
函数的解析式．
【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，
解得a=1，
所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3
【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可
求出a的值，从而得出抛物线的解析式。
【变式4-1】已知抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0），（5,0），与y轴的交点为（0,2），求此抛物线
的解析式．并说出此抛物线的开口方向，对称轴，和顶点坐标．
【答案】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0），（5,0）
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5）2
把（0，2）代入得a= −
5
2 2 8
∴抛物线的解析式为 y=− (x+1)(x−5)=− x2+ x+2
5 5 5
2 8 2 2 18
∴y=− x2+ x+2=− (x2−4x)+2=− (x−2) 2+
5 5 5 5 5
18
∴抛物线开口向下，对称轴x=2，顶点坐标（2， ）．
5
【解析】【分析】利用待定系数法求抛物线解析式即可，再将一般式化为顶点式，根据解析式求解即
可。
【变式4-2】如图所示，已知二次函数的图象经过点 (−1，0)，(5，0) ， (0，−1) .当 x=4
时，求函数值.
【答案】解：设该二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c ，
把点 (−1，0)，(5，0) ， (0，−1) 代入解析式，可得：
{
a−b+c=0
25a+5b+c=0 ，
c=−1
1
{ a=
5
解得 4 ，
b=−
5
c=−1
1 4
∴该二次函数的解析式为 y= x2− x−1 ，
5 5
1 4
当 x=4 时， y= ×42− ×4−1=−1 .
5 5
【解析】【分析】设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将（-1，0）、（5，0）、（0，-1）代入求出
a、b、c，据此可得二次函数的解析式，然后令x=4，求出y的值即可.题型5：综合-待定系数法与二次函数的性质
5.已知：二次函数的图象经过点A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)．
（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；
（2）设点M(x ，y )，N(1，y )在该抛物线上，若y ≤ y ，直接写出x 的取值范围．
1 1 2 1 2 1
【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)代入，
{
0=a−b+c
{
a=2
得 −3=c ，解得： b=−1，
12=9a+3b+c c=−3
∴抛物线解析式为y=2x2−x−3，
1 25
∵y=2x2−x−3=2(x−
)
2−
，
4 8
1 25
∴顶点D的坐标为( ，− )
4 8
−1 1
（2）解：∵抛物线y=2x2−x−3的对称轴为直线x=− = ，
2×2 4
1 1
∴N(1，y )关于直线x= 的对称点为(− ，−2)，
2 4 2
∵M(x ，y )，N(1，y )在该抛物线上，且y ≤ y ，
1 1 2 1 2
1
∴− ≤x ≤1．
2 1
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A、B、C的坐标代入可得a、b、c的
值，据此可得抛物线的解析式，将抛物线解析式化为顶点式可得顶点D的坐标；
1
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x= ，求出点N关于对称轴的对称点，结合抛物线的增
4
减性可得x 的范围.
1
【变式5-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣
2x+2上．
（1）直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线的解析式．
【答案】（1）解：（2，﹣2）
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；∴抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2﹣2，即抛物线的
解析式为：y=x2﹣4x+2．
【解析】【解答】（1）把x=2代入y=﹣2x+2得：y=﹣2，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；
【分析】（1）先求出y=﹣2，再求点的坐标即可；
（2）根据顶点坐标先求出 抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2﹣2， 再求函数解析式即可。
3
【变式5-2】已知抛物线的顶点坐标为（－1，2），与y轴交于点（0， ）
2（1）求二次函数的解析式；
5
（2）判断点P（2，－ ）是否落在抛物线上，请说明理由.
2
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（－1，2），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+2，
3 1
将（0， ）代入得，a=- ，
2 2
1
∴抛物线的解析式为y=- （x+1）2+2；
2
5
（2）解：将P的横坐标x=2代入抛物线，则y=- ，
2
所以P点落在抛物线上.
3
【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为：y=a(x+1)2+2，将点（0， ）代入可得a，据此
2
可得抛物线的解析式；
（2）将x=2代入抛物线中求出y，据此判断.
题型6：综合-待定系数法求最短距离
1
6.如图，已知抛物线y= (x−2)(x+a)（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在
a
点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
1
【答案】（1）解：将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得： (−2−2)(−2+a)=−2，
a
解得：a=4．1
（2）解：①由（1）抛物线解析式y= (x−2)(x+4)，
4
1
当y=0时，得： (x−2)(x+4)=0，解得：x =2，x =−4．
4 1 2
∵点B在点C的左侧，
∴B（﹣4，0），C（2，0）．
当x=0时，得：y=﹣2，
∴E（0，﹣2）．
1
∴S = ×6×2=6．
△BCE 2
1 1 1 1 9
②∵y= (x−2)(x+4)= x2+ x−2= (x+1) 2− ，
4 4 2 4 4
∴抛物线对称轴为直线x=﹣1．
连接BE，与对称轴交于点H，即为所求．
设直线BE解析式为y=kx+b，
将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：
{ 1
{−4k+b=0 k=−
，解得： 2．
b=−2
b=−2
1
∴直线BE解析式为y=− x−2．
2
1 3
将x=﹣1代入得：y= −2=− ，
2 2
3
∴H（﹣1，− ）．
2
【解析】【分析】（1）将点M的坐标代入函数解析式求出a的值即可；
（2）①先求出 B（﹣4，0），C（2，0），再利用三角形的面积公式求解即可；1
②先求出抛物线对称轴为直线x=﹣1，再求出直线BE解析式为y=− x−2，最后求出H点的坐标
2
即可。
【变式6-1】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
{1−b+c=0
【答案】（1）解：由题意得， b ，
=2
2
解得b=4，c=3，
∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3
（2）解：∵点A与点C关于x=2对称，
∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），
y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），
∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，
{3k+b=0
，
b=3
解得，k=﹣1，b=3，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）∴点P的坐标为：（2，1）．
【解析】【分析】（1）由图像过点A（1，0）、对称轴是x=2，列出b、c的方程组即可求解；
（2）先根据抛物线的对称性可知点A关于对称轴的对称点C（3，0），连接BC与对称轴的交点即为
P点，再运用待定系数法求出直线BC的解析式，即可求出P点坐标。
题型7：综合-三角形面积
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点。
（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积。
{4a−2b+2＝6
【答案】（1）解：把B（-2，6），C（2，2）两点坐标代入得 , ，
4a+2b+2＝2
{ 1
a＝
解这个方程组，得 2 , ，
b＝−1
1
∴抛物线的解析式为y= x2-x+2
2
（2）解：令x=0，则y=2
∴D(0，2)
1
∴△BCD的面积= ×4×2=4
2
【解析】【分析】（1）将B点和C点两点的坐标代入到函数的解析式中即可求得二次函数的解析
式；
（2）由已知可知点B与点C在同一条直线上，且与x轴平行，过点B做出CD的垂线，求出垂线段
的长度即为三角形BCD的高，就可以求出三角形BCD的面积。
【变式7-1】如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；【答案】解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3）， ∴设抛物线解析式为
{ a−b+3=0 {a=−1
y=ax2+bx+3(a≠0)根据题意，得 ，解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）
9a+3b+3=0 b=2
由顶点坐标公式求得顶点坐标为（1，4）设对称轴与x轴的交点为F∴四边形ABDE的面积＝S +S
△ABO
1 1 1 1 1 1
+S = AO·BO+ (BO+DF)·OF+ EF·DF= ×1×3+ （3+4）×1+ ×2×4=9；
梯形BOFD △DFE 2 2 2 2 2 2
【解析】【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得抛物线顶点D的坐标；过D作DF⊥x轴于F，那么四边形AEDB
的面积就可以由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面积和求得．
【变式7-2】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），
对称轴为直线x＝2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积.
【答案】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
{ a+k=0
把A（1，0），C（0，6）代入得： ，
4a+k=6
{ a=2
解得： ，
k=−2
则二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6；∵y＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点D的坐标为（2，﹣2），
由A（1，0），对称轴为直线x＝2可知另一个与x轴的交点B（3，0），
∴AB＝2，
1 1
∴S ＝S +S ＝ ×2×2+ ×2×6 ＝8.
四边形ADBC △ABD △ABC 2 2
【解析】【分析】根据二次函数的对称轴为直线x＝2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为
（ ）
A．y＝﹣ x2﹣2x B．y＝﹣ x2+2x C．y＝ x2﹣2x D．y＝ x2+2x
【分析】根据二次函数的性质，把x＝﹣3，y＝﹣3分别代入x＝﹣ 与y＝ 中，计算a，b的
值即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴ ，
解得 ，∴该抛物线的解析式为y＝ ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求解二
次函数解析式的方法进行计算是解决本题的关键．
2．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（
）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4
C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
【分析】设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+4，将（0，﹣4）代入上式，即可求解；
【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+4，
将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4．
故选：C．
【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的
顶点式来求解析式．顶点式：y＝a（x﹣h）2+k或y＝a（x+m）2+k
3．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC＝2．则这条抛物线的解析式为（
）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2+x+2
C．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2 D．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
【分析】首先由OC＝2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标
代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．
【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC＝2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），
当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y＝ax2+bx+c，
把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，
得到： ，
解得： ，则函数解析式是：y＝﹣x2+x+2；
同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y＝x2﹣x﹣2．
故这条抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
故选：C．
【点评】求函数解析式的方法就是待定系数法，转化为解方程组的问题，这是求解析式常用的方法．
4．已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（
）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
【分析】】利用待定系数法求得c值，令y＝0，解一元二次方程即可求得结论．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴1﹣6+c＝0．
∴c＝5，
∴二次函数y＝x2+6x+5．
令y＝0，则x2+6x+5＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝﹣5．
1 2
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y＝0，通过解一
元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
5．抛物线的图象如图，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A．y＝x2﹣x+2 B．y＝﹣ x2﹣ x+2
C．y＝﹣ x2﹣ x+1 D．y＝﹣x2+x+2
【分析】设其解析式为交点式得到y＝a（x2﹣x﹣2），对比各个选项即可判断．
【解答】解：由图象可知抛物线开口向下，且与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），
对比选项可知，选项A、B、C无法提取公因式后得到y＝a（x2﹣x﹣2）的形式，而D选项中a＝﹣1，故选：D．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是开放性题目．交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
（a，b，c是常数，a≠0）．
二．填空题（共3小题）
6．已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交
点的坐标是 （﹣ 5 ， 0 ） ．
【分析】利用待定系数法求得c值，令y＝0，解一元二次方程即可求得结论．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴1﹣6+c＝0．
∴c＝5，
∴二次函数y＝x2+6x+5．
令y＝0，则x2+6x+5＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝﹣5．
1 2
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y＝0，通过解一
元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
7．小刚在用描点法画抛物线C ：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
1
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
请根据表格中的信息，写出抛物线C 的解析式： y ＝﹣ x 2 + 4 x + 3 ．
1
【分析】从表格中找三组x，y的对应值代入二次函数的表达式进行计算即可．
【解答】解：把（0，3）（1，6）（2，7）代入y＝ax2+bx+c中得：
，
解得： ，
∴抛物线C 的解析式为：y＝﹣x2+4x+3，
1
故答案为：y＝﹣x2+4x+3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．已知二次函数的图象如图所示．
（1）这个二次函数的解析式是 y ＝ x 2 ﹣ 2 x ；
（2）根据图象回答：当 x ＜ 0 或 x ＞ 2 时，y＞0．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用数形结合法结合二次函数的图象解答即可．
【解答】解：（1）由图象可知：抛物线的顶点为（1，﹣1），经过点（0，0），（2，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，
∴（2﹣1）2a﹣1＝0，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，
故答案为：y＝x2﹣2x；
（2）由图象可知：抛物线位于x轴上方的有两部分，对应的y＞0，此时x＜0或x＞2，
∴当x＜0或x＞2时，y＞0．
故答案为：x＜0或x＞2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，熟练掌握二次函数
图象的性质是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
9．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
【分析】设一般式y＝ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求
出a、b、c即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得： ，解得： ，
所以抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根
据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，
常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析
式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
10．已知一条抛物线的形状和开口方向都与抛物线y＝ x2相同，它的顶点坐标是P（2，﹣2）．
（1）求出此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的交点为A，B（点A在点B的左边），求△PAB的面积．
【分析】（1）由题意，一条抛物线的形状与抛物线y＝ x2相同，它的顶点坐标是P（2﹣2），用待定
系数法求出抛物线的解析式．
（2）先求得A、B的坐标，再得出AB的长，进而根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵一条抛物线的形状和开口方向都与抛物线y＝ x2相同，它的顶点坐标是P（2，
﹣2），
∴这条抛物线的解析式为：y＝ （x﹣2）2﹣2．
（2）令y＝0则 （x﹣2）2﹣2＝0，解得x ＝0，x ＝4，
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∴A（0，0），B（4，0）．
∴AB＝4．
∴△PAB的面积＝ ×4×2＝4．
【点评】此题考查二次函数图象的基本性质及其对称轴和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，
同时也考查了交点坐标和三角形的面积．
11．如图，已知抛物线y＝x2﹣bx+c过点（3，0），与y轴交于（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）当﹣1≤x≤t时，函数的最大值与最小值的差为9，求t的值．【分析】（1）将点（3，0），（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中得出b，c的值即可求出解析式，再用配方
法将解析式配成顶点式即可求出顶点坐标，
（2）由函数的顶点坐标可求出当x＝1时有最小值，再根据函数的最大值与最小值的差为 9，即可求出
符合条件的t的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣bx+c过点（3，0），与y轴交于（0，﹣3）．
将（3，0）和（0，﹣3）代入得 ，
解得 ，
则抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
配成顶点式为：y＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＝1时，y最小值 ＝﹣4，
∴当﹣1＜t≤3时，
当x＝﹣1或3时，y最大值 ＝0，
∴此时最大值与最小值的差为：0﹣（﹣4）＝4＜9，
∴要满足条件必有t＞3，
∴当x＝1时，y最小值 ＝﹣4，
当x＝t时， ，
则有t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝9
解得：t ＝﹣2（舍去），t ＝4，
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∴t的值为4．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点及其性质，二次函数的最值
问题．12．已知二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）点P（4，n）向上平移2个单位得到点P'，若点P′落在该二次函数图象上，求n的值．
【分析】（1）把（3，0）代入y＝x2﹣4x+c，利用待定系数法即可求得；
（2）平移后P'（4，n+2），代入二次函数解析式得到关于n的方程，解方程即可求得n．
【解答】解：（1）把点（3，0）代入y＝x2﹣4x+c得：9﹣12+c＝0，
解得c＝3，
所以该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）点P（4，n）向上平移2个单位得到点P'（4，n+2），
把点P′代入y＝x2﹣4x+3中可得n+2＝16﹣16+3，
解得n＝1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求二次函
数的解析式；会运用待定系数法求抛物线的解析式；能用含n的代数式表示P′的坐标是解题的关键．
13．如图，抛物线的顶点坐标D（1，4），且图象与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0），请回答下列问题．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）求抛物线与y轴的交点C的坐标；
（3）求△ABD的面积？
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，然后把点A的坐标代入求a的值；
（2）根据点C的横坐标为零解答；
（3）由抛物线的轴对称性质得到点B的坐标，然后由三角形的面积公式求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2+4．
解得a＝﹣1．
故该抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，即y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知，该抛物线解析式是y＝﹣x2+2x+3．
令x＝0，则y＝3．故C（0，3）；
（3）由抛物线的顶点坐标D（1，4），且图象与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0）知，点A、B关于直
线x＝1对称，故B（3，0）．
所以AB＝4．
所以S△ABD ＝ •AB•y
D
＝ ＝8．
即△ABD的面积是8．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及待定系数法确定函数关系式等知识
点，难度不大，解题的技巧性在于巧妙的设出抛物线的顶点式解析式．
14．已知二次函数y＝ax2+bx﹣1的图象过A（2，0），和C（4，5）两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求△ACD的面积；如图，
【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx﹣1，把A（2，0），和C（4，5）两点坐标代入解析式，
解方程组即可．
（2）首先求出点D坐标，求出直线CD与二次函数的解析式的交点C（4，5），利用面积计算即可．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx﹣1，
把A（2，0），和C（4，5）两点坐标代入解析式得到：
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x﹣1．（2）对于抛物线y＝ x2﹣ x﹣1，
令y＝0，得 x2﹣ x﹣1＝0，
解得x＝2或﹣1，
∴另一个交点为D坐标为（﹣1，0），AD＝3．
∵直线CD的解析式为y＝x+1，
联立方程组得 ，
解得： 或 （舍）．
则C（ 4，5）．
S△ACD ＝ ×3×5＝ ．
【点评】本题考查二次函数与不等式、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系
数法，学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会利用好图象，解决实际问题，属于中考常考题型
