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专题 18.2 特殊的平行四边形
1．了解矩形、菱形、正方形的概念，掌握矩形、菱形、正方形的特殊性质(边、角、对角线)；
2．能利用矩形、菱形、正方形的性质解决相关的计算和证问题；
3. 理解并掌握矩形、菱形、正方形的判定定理，并能运用其判定解决相关的证明和计算问题；
4. 能利用矩形的性质证明:直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
5. 探究菱形面积的多种求法。
6. 了解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的联系与区别；
知识点01 矩形的性质与判定
【知识点】
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形
矩形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为矩形：
1)边：①对边平行；②对边相等，即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC
2)角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°
3)对角线：①对角线相等；②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO
4)对称性：轴对称图形；中心对称图形
5)重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如上图，如∠A=90°，点O为斜边BD的中点，
则AO= BD(或AO=OB=OD)
矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如下：
1)判定方法1(定义)：平行四边形+1个角是90°；
2)判定方法2(角)：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°；3)判定方法3(对角线)：平行四边形+对角线相等，或对角线相等且相互平分。
【知识拓展1】矩形的相关性质
例1．(2022·云南楚雄·九年级统考期中)下列关于矩形的说法中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．对角线互相平分的四边形是矩形
【即学即练】
1．(2022·河南洛阳·统考二模)关于矩形的性质，以下说法不正确的是( )
A．邻边相互垂直 B．对角线相互垂直 C．是中心对称图形 D．对边相等
【知识拓展2】利用矩形的性质求角度、长度(面积)
例2．(2022·吉林松原市·九年级一模)如图所示，点 是矩形 的对角线 的中点，点 为 的
中点．若 ， ，则 的周长为( )
A．10 B． C． D．14
【即学即练】
1．(2022·重庆市初三期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已
知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝______°．
2．(2022·河南初三期末)如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是 (
)A．2 B． C． D．
【知识拓展3】矩形中的翻折、坐标问题
例3．(2022·广东·深圳市二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形 中， ， ，将 沿
对角线 翻折，使点 落在 处， 与 轴交于点 ，则点 的坐标为______．
【即学即练】
1．(2021·江苏宿迁·中考真题)折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，
则MN的长是( )
A． B．2 C． D．4
【知识拓展4】斜边中线等于斜边的一半
例4．(2022·柘城初三模拟)如图，在四边形 中， ， ，垂足为点 ，连接 交
于点 ，点 为 的中点， ．若 ， ，则 的长为(
)A．14 B．21 C．24 D．25
【即学即练】
1．(2021·辽宁丹东市·九年级期末)如图，在 和 中， ， ，
是 的中点，连接 ， ， ，若 ，则 的面积为( )
A．12 B．12.5 C．15 D．24
【知识拓展5】矩形的判定定理的理解
例5．(2022春·陕西西安·九年级阶段练习)下列说法中正确的是( )
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形
【即学即练】
1．(2022秋·吉林白山·八年级统考阶段练习)下列四边形是矩形的是( )
A．有两个角为直角的四边形 B．有一个角是直角的平行四边形
C．对角线互相平分的四边形 D．对角线相等的四边形
2．(2022春·福建漳州·九年级统考期中)如图，四边形 是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四
边形是矩形的是( )
A． B． C． D．【知识拓展6】证明四边形是矩形
例6．(2022·河南九年级期中)如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接
AC、BE．(1)求证：四边形ABEC是平行四边形；(2)若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．
【即学即练】
BE ABCD ACED
1．(2021·江苏·中考真题)如图，点C是 的中点，四边形 是平行四边形．(1)求证：四边形
AB AE ACED
是平行四边形；(2)如果 ，求证：四边形 是矩形．
【知识拓展7】根据矩形的性质与判定综合问题
例7．(2022·重庆初三期末)如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A(10，
0)，点B(0，6)，点P为BC边上的动点，将 OBP沿OP折叠得到 OPD，连接CD、AD．则下列结论中：
①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；△②当∠BOP＝30°时，△ OAD的面积为15；③当P在运动过程
△
中，CD的最小值为2 ﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练】
1．(2021·达州市·九年级期末)在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分 交BC于点E，
．连接OE，则下面的结论：① 是等边三角形；② 是等腰三角形；③
；④ ；⑤ ，其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点02 菱形的性质与判定
【知识点】
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。
菱形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为菱形：
1)边：①四条边都相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA，AB∥CD，BC∥AD
2)角：对角相等(与平行四边形相同)，即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC3)对角线：①对角线相互垂直；②对角线平分对角；③对角线相互平分，
即AC⊥BD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD；AO=OC，BO=OD
4)对称性：轴对称图形；中心对称图形
5)菱形的面积(对角线相互垂直的四边形)：对角线乘积的一半，即S ＝ ×AC×BD，
菱形ABCD
菱形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+菱形的一个特殊性质，具体如下：
1)判定方法1(定义)：平行四边形+1组邻边相等
2)判定方法2(边)：四条边相等的四边形，即AB=BC=CD=DA
3)判定方法3(对角线)：平行四边形+对角线相互垂直，或对角线相互垂直且平分
4)判定方法4(对角线)：平行四边形+对角线平分一组顶角
【知识拓展1】菱形的相关性质
例1．(2022秋·河南南阳·八年级阶段练习)菱形具有而矩形不具有的性质是( )
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【即学即练】
1．(2022春·云南·九年级统考期中)下列关于菱形的说法中正确的是( )
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线互相垂直且平分
C．菱形的对角线相等且互相平分 D．对角线互相平分的四边形是菱形
【知识拓展2】利用菱形的性质求角度、长度
例2．(2022·江苏常州初三期末)如图，菱形 的对角线 相交于点 ， 于点 ，
连接 ，若 ，则 的度数是( )
A．25° B．22.5° C．30° D．15°
【即学即练】
1．(2022·黑龙江哈尔滨市·九年级期末)如图，菱形 的边长为10，对角线 的长为16，点 ，
分别是边 ， 的中点，连接 并延长与 的延长线相交于点 ，则 的长为________．【知识拓展3】菱形中的翻折、坐标问题题
例3．(2022·黑龙江九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，
AD=4，∠A=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是
_____________．
【即学即练】
1．(2022·福建三明·一模)如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将
△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为( )
A． B． C． D．3
【知识拓展4】菱形的面积
例4．(2022·湖南长沙·九年级期末)如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，
且使AE＝CF．(1)求证：四边形EBFD是菱形；(2)若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面
积．【即学即练】
1．(2022·镇江市初三月考)如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点(点P不与
点A、C重合)，且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是__________．
【知识拓展5】菱形的判定定理的理解
例5．(2022春·辽宁沈阳·九年级校考期末)下列说法正确的是( )
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．一组对边平行的四边形是平行四边形 D．矩形的对角线互相垂直
【即学即练】
1.(2022春·陕西榆林·九年级校考期末)如图，在 中，对角线 与 相交于点O，如果添加一个条
件，可推出 是菱形，那么这个条件可以是( )
A． B． C． D．
【知识拓展6】证明四边形是菱形
例6．(2021·四川遂宁市·中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直
线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
(1)求证：AE＝CF；(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【即学即练】
1．(2022·江苏扬州·八年级阶段练习)已知：如图，在 中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分
， ．求证：(1) ；(2)四边形ABFE是菱形．
【知识拓展7】根据菱形的性质与判定综合问题
例7．(2022·广东·八年级期末)如图，矩形 中，点 在 轴上，点 在 轴上，点 的坐标是 ．
矩形 沿直线 折叠，使得点 落在对角线 上的点 处，折痕与 、 轴分别交于点 、 ．
(1)求证： 是等腰三角形；(2)求直线 的解析式；(3)若点 是平面内任意一点，点 是线段 上
的一个动点，过点 作 轴，垂足为点 ．在点 的运动过程中是否存在以 、 、 、 为顶
点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【即学即练】
1．(2022·广东连州·九年级阶段练习)如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点 ，交的延长线于F，以 为邻边作平行四边形 ．(1)证明平行四边形 是菱形；
(2)若 ，连结 ，①求证： ；②求 的度数；
(3)若 ， ， ，M是 的中点，求 的长．
知识点03 正方形的性质与判定
【知识点】
正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
正方形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为正方形：
1)边：①四条边相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC
2)角：四个角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
3)对角线：①对角线相互平分；②对角线相等；③对角线相互垂直；④对角线平分对角，即
AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO
4)对称性：轴对称图形；中线对称图形
正方形是特殊的平行四边形、矩形、正方形，常见的判定思路为 ：
1)判定方法1(定义)：平行四边形+1个90°角+1组邻边相等，或平行四边形+对角线垂直且相等；
2)判定方法2(从正方形出发)：正方形+1个90°角，或正方形+对角线相等；
3)判定方法3(从矩形出发)：矩形+1组邻边相等，或矩形+对角线垂直；
4)判定方法4(从四边形出发)：对角线垂直平分且相等。
【知识拓展1】正方形的相关性质例1．(2022·山东临沂·模拟预测)正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线相等且互相平分
【即学即练】
1．(2022春·广东梅州·九年级校考阶段练习)正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分
【知识拓展2】利用正方形的性质求角度、长度(面积)
例2．(2022·江苏仪征初三一模)如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交AB于
F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为______．
【即学即练】
1．(2022·福建·模拟预测)如图，将正方形 沿直线 折叠，使得点 落在对角线 上的点 处，则
的度数是( )
A． B． C． D．
【知识拓展3】正方形中的翻折或重叠问题
例3．(2022·辽宁新宾初三期中)将五个边长都为 的正方形按如图所示摆放，点 、 、 、 分别是
四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为___________ ．【即学即练】
1．(2022·陕西·九年级期中)如图，正方形 的边长为 ， 为 边的中点，点 在 边上移动，点
关于直线 的对称点记为 ，连接 、 、 ．当四边形 为正方形时， 的长为
________．
【知识拓展4】正方形的判定定理的理解
例4．(2022春·辽宁沈阳·九年级期中)下列说法不正确的是( )
A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．邻边相等的矩形是正方形
【即学即练】
1．(2022春·广东揭阳·九年级统考期末)如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是( )
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
【知识拓展5】特殊平行四边形的区别与联系
例5．(2022春·山西太原·九年级统考期中)在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组
内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是( )A．①，对角相等 B．③，有一组邻边相等
C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角
【即学即练】
1．(2022·江苏淮安市·八年级期中)已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连
接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).
(1)四边形EFGH的形状是 _____________ ，(证明你的结论. )
(2)当四边形ABCD的对角线满足 __________条件时，四边形EFGH是矩形(不用证明)
【知识拓展6】证明四边形是正方形
例6．(2022·山东高唐初三期末)如图，已知平行四边形 中，对角线 ， 交于点 ， 是
延长线上的点，且 是等边三角形．(1)求证：四边形 是菱形；(2)若 ，求
证：四边形 是正方形．
【即学即练】
1．(2022·泸县·八年级期末)如图，点D为 的边BC的中点，过点A作 ，且 ，连接
DE，CE．(1)求证： ；(2)若 ，判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
(3)若要使四边形ADCE为正方形，则 应满足什么条件？(直接写出条件即可，不必证明)．【知识拓展7】正方形的性质与判定综合问题
例7．(2022·辽宁大洼·八年级期中)如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在边BC、AB上，点G在边
BA的延长线上，且CE=BF=AG．(1)求证：①DE=DG ；②DE⊥DG；
(2)尺规作图：以线段DE、DG为边作出正方形DEHG(保留作图痕迹不写作法和证明)；
(3)连接(2)中的FH，猜想四边形CEHF的形状，并证明你的猜想；
(4)当 时，求出 的值．
【即学即练】
1．(2022·黑龙江·鸡西市九年级期末)如图，在正方形 中， 是直线 上的一点，连接 ，过点
作 ，交直线 于点 ，连接 ．(1)当点 在线段 上时，如图①，求证： ；
(2)当点 在直线 上移动时，位置如图②、图③所示，线段 ， 与 之间又有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜想，不需证明．题组A 基础过关练
1．(2022.绵阳市初二期中)如图，在平行四边形 中，对角线 交于点 ，并且
，点 是 边上一动点，延长 交于 点 ，当点 从点 向点
移动过程中(点 与点 ， 不重合)，则四边形 的变化是( )
A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
2．(2022·四川·成都九年级期中)下列判断正确的是( )
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3．(2022·辽宁铁西·九年级期末)如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连
接DF，若AB＝9，AD ，则四边形CDFE的面积是( )
A． B． C． D．54
4．(2022·福建厦门·九年级期末)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M在BC边上，连接MO并延
长交AD边于点N．若BM = 1，∠OMC = 30°，MN = 4，则矩形ABCD的面积为 _________ ．
5.(2021·四川南充市·中考真题)如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中
AF 3
点， ，则GH的长为________．
6．(2022·广东新丰初三期中)如图，在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，请填空：
(1)四边形BDEF是 四边形；(2)若四边形BDEF是菱形，则△ABC满足的条件是 ．
(3)若四边形BDEF是矩形，则△ABC满足的条件是 ．
(4)若四边形BDEF是正方形，则△ABC满足的条件是 ．
并就(2)、(3)、(4)中选取一个进行证明．7.(2022·浙江杭州市·八年级期末)如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE⊥AB，连结CE．(1)
求证：∠ECB＝90°；(2)若AE═ED＝1时，求菱形的边长．
8．(2022·辽宁沈阳市·九年级期末)如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE
△
BC，过点D作DE AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若
AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为 ．
题组B 能力提升练
1．(2021·江苏连云港·中考真题)如图，将矩形纸片 沿 折叠后，点D、C分别落在点 、 的位置，的延长线交 于点G，若 ，则 等于( )
A． B． C． D．
2.(2022•滕州市九年级模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点
C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA'B'C'，则点B的对
应点B'的坐标为( )
A．( ，- ) B．(2，﹣2) C．( ，- ) D．(4，﹣4)
3．(2022·重庆梁平初三期末)如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，
DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是( )
A．四边形AEDF是平行四边形 C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形
B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
4．(2021·重庆中考真题)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过
点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为( )A．1 B． C．2 D．
5．(2022·陕西·咸阳九年级阶段练习)如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
，CE交BO于点E，过点B作 ，垂足为F，交AC于点G．现给出下列结论：① ；②
；③ ；④若 ，则 ．其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．(2022·陕西榆林市·九年级期末)如图， ，矩形 的顶点 ， 分别在边 ，
上，当点 在边 上移动时，点 随之在边 上移动， ， ，运动过程中，点 到点
的最大距离为______．
7．(2022·江苏南通市·八年级期末)如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，
DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝_____度．8．(2022·辽宁鞍山·八年级期末)如图①，已知菱形ABCD的边长为2cm， ，点M从点D开始向
点C以1cm/s的速度运动，同时点N从点C开始以相同的速度向点B运动，连接AM，AN，MN，设运动
时间为xs；(1)试判断 的形状，请说明理由；(2)当x为多少时，点A到MN的距离h最小？请直接写
出满足条件的x和h的值；(3)在(2)的条件下，连接对角线AC，BD交于点O，在图②画出图形并判断以
O，N，M，D为顶点的四边形的形状，请说明理由．
9．(2022·山西九年级阶段练习)(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且
DF=BE．求证：CE=CF；(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，
请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD．(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四
边形ABCG中，AG∥BC(BC＞AG)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠GCE=45°，BE=4，AG=6，求四边
形ABCG的面积．题组C 培优拔尖练
1．(2022·广东湘桥初三期末)在菱形ABCD中， ，点E为AB边的中点，DE是线段AP的垂直
平分线，连接DP、BP、CP，下列结论：①DP=CD；② ；③ ；④
，其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④2．(2021·浙江温州市·中考真题)由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 如图所示．
过点 作 的垂线交小正方形对角线 的延长线于点 ，连结 ，延长 交 于点 ．若
，则 的值为( )
A． B． C． D．
3．(2022·广东·深圳市福田区外国语学校八年级期中)如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点
(点E不与端点C，D重合)，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，对角线BD
与AG、AE分别交于P、Q两点．以下各结论：①∠EAG＝45°；②线段CF的最小值为6 ；③
；④若DE＝2，则G为BC的中点．正确的结论有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(2022·广西贵港·八年级期末)为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具(如图1)：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘
老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC(如图2)，观察所得到的四边形，下列结论：
①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2
5．(2022·深圳市龙岗区初三)如图，在矩形ABCD中，AD= AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于
点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；
③BH=HF；④BC−CF=2HE．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．(2022·辽宁铁西·八年级阶段练习)如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点M在对角线BD上，点N为
射线BC上一动点，连接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当 DMN是等腰三角形时，线段BN的长为___．
7．(2022·湖北青山·九年级期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7 ，点P在线段BC上运动(含B、C
两点)，连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 ___．8．(2022·辽宁大东·九年级期末)如图，在菱形 中， ， 是对角线 上一点， 是线段
延长线上一点且 ，连接 ．(1)如图，若 是线段 的中点，连接 ，其他条件不变，直
接写出线段 与 的数量关系；(2)如图，若 是线段 上任意一点，连接 ，其他条件不变，猜想
线段 与 的数量关系是什么？并证明你的猜想；(3)如图，若 是线段 延长线上一点，其他条件不
变，且 ，菱形 的周长为 ，直接写出 的长度．
9．(2022·安徽巢湖·八年级期末)如图，点E是正方形ABCD对角线上一点，连接DE、BE，过E点作EF⊥DE
与直线BC交于点F，连接DF．(1)如图1，当F在边BC上时．①求证：DE＝BE；②判断△DEF的形状，说明
理由；(2)如图2，当F在BC延长线上时，求证：AB﹣CF＝ CE．
