文档内容
22.1 函数的概念（第 2 课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在上一节课学习变量与常量的基础上，进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系，在
观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念。
2. 内容分析
函数是初中代数的核心内容，是刻画变量之间对应关系的重要数学模型，本节课是在学生掌握常量与
变量概念的基础上，从具体实例出发探究两个变量的对应关系，进而抽象出函数的定义，是从“认识变
量”到“研究变量间关系”的关键跨越。本节课的学习内容承接了上一节课的常量与变量知识，又为后续
学习函数的表示方法、一次函数和反比例函数的性质奠定基础，同时让学生初步形成“单值对应”的函数
核心思想，实现从具体到抽象、从感性到理性的认知提升。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：从典型实例中抽象概括出函数的概念。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念，发展抽象能力。
（2）能举出函数的实例，进一步体会运动变化过程中的数量变化。
2. 目标解析
（1）学生能通过分析行驶路程与时间、票房收入与售出票数等具体实例的变量对应关系，归纳出
“一个变量取定一个值，另一个变量有唯一确定的值与之对应”的共性特征，进而抽象出函数、自变量的
定义，理解函数概念的核心是单值对应关系，能准确表述函数的定义，发展数学抽象能力和归纳概括能力。
（2）学生能结合关系式、图象、表格三种形式的实例，判断两个变量之间是否为函数关系，能准确
指出自变量和函数，能根据自变量的值求对应的函数值；能结合生活实际举出函数的实例，描述其中的变
量对应关系，进一步体会函数在刻画现实世界运动变化中的作用，增强数学建模意识。
三、教学问题诊断分析
存在问题：
1. 学生对函数概念中“单值对应”的核心内涵理解困难，容易忽略“对于自变量的每一个确定的值，
函数有且只有一个值与之对应”的要求，对一对多的非函数关系识别不清。
2. 部分学生混淆“自变量”和“函数”的概念，无法根据实际问题准确判断哪个变量是自变量，对
两个变量的依存关系理解不到位。
应对策略：1. 设计对比性问题，呈现“单值对应”和“一对多”的两种变量关系实例，让学生通过对比分析，明
确函数的单值对应特征，突破教学难点。
2. 结合实际问题引导学生分析变量间的依存关系，明确“主动变化的量为自变量，随自变量变化而变
化的量为函数”，通过简单实例反复强化，帮助学生厘清概念。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解函数概念中的单值对应关系。
四、教学过程设计
（一）复习引入
在研究运动变化现象时，为了描述事物的状态，人们经常会引进一些量，通过研究不同量之间的关系，
来认识事物变化的规律.
常量：在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量
变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.
设计意图：通过回顾常量与变量的定义，唤醒学生上一节课的知识储备，为本节课研究变量之间的对
应关系做好铺垫；同时以“研究变量间的关系认识变化规律”为切入点，自然引出本节课的研究主题
—— 函数，让学生明确本节课的学习是上一节课知识的延伸和深化，形成知识的连贯性。
（二）合作探究
思考 第90页“思考”的问题（1）～（4）中各有两个变量，每个问题中的两个变量之间有什么关系？
如何表示这种关系?
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1 h，2 h，5 h时，行驶路程s分别为多少?s的
值随t的值的变化而变化吗?
关系式：s=60t.
(2)电影票的售价为40元/张.第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，三场
电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗?
关系式：y=40x.
(3)你见过水中的涟漪吗?如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r分别为10 cm，20
cm，30 cm时，圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?关系式：S=πr2.
(4)长方体的体积为1 000 cm3，当长方体的底面积S分别为50 cm2，100 cm2，125 cm2时，高h分别
为多少?h的值随S的值的变化而变化吗?
1000
关系式：h= .
S
归纳 上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与
其对应.
思考 （1）潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象.我国某港口潮水的高度
（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t与h.这两个变量之间有什么关系？
关系：当变量t取定一个值时，变量h就有唯一确定的值与其对应.
思考 （2）某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变
量x和y.这两个变量之间有什么关系？
存款期限与年利率
关系：当变量x取定一个值时，变量y就有唯一确定的值与其对应.
归纳 函数及其相关概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定
的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
设计意图：先选取上一节课的四个经典实例，通过表格梳理变量的对应值并写出关系式，让学生在熟
悉的情境中感知变量间的依存关系；再补充图象、表格形式的实例，丰富变量对应关系的呈现方式。通过
层层递进的思考，引导学生归纳出所有实例的共性 —— 单值对应，进而抽象出函数的概念，突出教学重
点，同时让学生体会函数的三种常见表现形式。
（三）典例分析
问题 （1）：函数关系式：s =60 t，其中t是自变量，s是t的函数；当t=1时，函数值s=60，当t=2
时，函数值s=120.
思考 （1）：结合图象可得：t是自变量，h是t的函数；当t=18时，函数值h=158.
思考 （2）：结合表格可得：x是自变量，y是x的函数；当x=12时，函数值y=1.45%.
设计意图：结合探究环节的实例进行典例分析，紧扣函数概念的定义，分别对关系式、图象、表格三
种形式的函数进行解读，明确自变量、函数的判断方法和函数值的求解方式。
（四）巩固练习
1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数.
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随x的变化而变化；
（2）乘坐摩天轮时，游客离地面的高度h随时间t的变化而变化；
（3）某天不同时刻的气温如图所示.气温T随时间t的变化而变化；
（4）某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化而变化.
解：（1）是函数关系，正方形的边长x是自变量，面积S是x的函数.
（2）是函数关系，时间t是自变量，游客离地面的高度h是t的函数.
（3）是函数关系，时间t是自变量，气温T是t的函数.（4）是函数关系，月份x是自变量，降水量y是x的函数，
2.举出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变量与函数.
例如：一个人的体重随着年龄的变化而变化，年龄是自变量，体重是年龄的函数.（答案不唯一）
3.下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗？
为什么？
答：蚂蚁离地高度h不是离起点的水平距离t的函数.
设计意图：设计分层、多形式的练习，既有基础的函数关系判断，又有开放性的举例题，还有易混淆
的非函数关系辨析题，兼顾不同层次学生的学习需求。通过练习，让学生熟练掌握函数关系的判断标准，
突破“单值对应”这一教学难点，同时强化对函数三种表现形式的认知，能准确指出自变量和函数。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2025年贵州）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到
注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ B ）A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化
2．（2025年江苏盐城）博物馆到小明家的路程为8 km，小明回家所需时间t(h)随平均速度v(km/h)
的变化而变化，则t与v的函数表达式是（ C ）
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A．t=8v B．t= v C．t= D．t=8v2
8 v
3．（2024年海南）设直角三角形中一个锐角为x度（0
