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第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 商品利润最大问题
学习目标：1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
重点：能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
难点：弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
自主学习
一、知识链接
1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
(1) y=－x2－4x+5； (2) y=x2－3x+4.
2.说说利润问题中利润、售价、销量之间的数量关系.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：利用二次函数解决商品利润最大问题
问题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40
元，则每星期的销售额是 元，销售利润是 元.
典例精析
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每件每涨价
1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件
40元，如何定价才能使利润最大？
◆涨价销售
①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元)
正常销售
涨价销售
②自变量x的取值范围如何确定？
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
◆降价销售
①设每件降价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元)
正常销售
降价销售
②自变量x的取值范围如何确定？
③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
变式 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推
广费 5 元，该款小电器每天的销售量 y(件)与每件的销售价格 x(元)满足函数关系：
y=-2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件．
(1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式；
(2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？
知识要点：求解最大利润问题的一般步骤.
(1) 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单
件利润×销售量”；
(2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围；
(3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以
画出函数的简图，利用简图和性质求出.
练一练
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出
180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1元，月
销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
例2 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月
的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q
元.
(1) 当售价在40～50元/件时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？(2) 当售价在50～70元/件时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x
是多少元时，该商店每月获利最大？最大利润是多少元？
(3) 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？
变式1 若该商品售价在40～70元/件之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总
利润Q与售价x元/件的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获
利最大？最大利润是多少元？
变式2 若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；
变式3 在变式2的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价
x为多少元/件时，利润最大，最大利润是多少元？
三、课堂小结
建立函数关系 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价－总成
式
本.
确定自变量取 涨价：要保证销售量≥0；
最大利润问题
值范围
降价：要保证单件利润≥0.
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质
确定最大利润
求出.
当堂检测1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20 ≤x ≤30)出售，
可卖出(600－20x)件，使利润最大，则每件售价应定为 元.
2.进价为80元/件的某衬衣定价100元/件时，每月可卖出2000件，每件价格每上涨1元，
销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元/件)之间的函数关系
式为 ，每月利润 w(元)与衬衣售价 x(元/件)之间的函数关系式为
.(以上关系式只列式不化简）
3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产
80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量
减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
4. 某种商品每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间满足关系：y=ax2+bx－75.其图象
如图.
(1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
参考答案
自主学习
知识链接
1. 解：（1）开口向下，对称轴为直线x=-2顶点坐标为（-2,9），最大值为9.（2）开口向上，对称轴为直线x= ，顶点坐标为 ，最小值为
2.（1）销售额=售价×销售量；
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；
（3）单件利润=售价-进价.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：利用二次函数解决商品利润最大问题
问题 18000 6000
典例精析
例1 ◆涨价销售
①填表如下：
单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元)
正常销售 20 300 6000
涨价销售 （20+x） (300-10x) （20+x）(300-10x)
所得利润 y=(20+x)(300-10x)，即 y = -10x2+100x+6000.
②营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x≥0，且
x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30.
③y=-10x2+100x+6000.当x= 时，y=-10×52+100×5+6000=6250.即涨价5元时，
最大利润是6250元.
◆降价销售
①填表如下：
单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元)
正常销售 20 300 6000
降价销售 （20-x） (300+20x) (20-x)(300+20x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000.
②营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且
x≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
③ 即y=-20x2+100x+6000.当x= 时，
即降价2.5元时，最大利润是6125元.综上可知，定价
65 元时，最大利润是 6250 元.
变式 解：(1)由题意可得w=(x-50)(-2x+180)=-2x2+280x-9000；
(2)w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800，∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件，
∴75≤x≤90.∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元．
练一练
解：设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为 y元，建立函数关系
式：y=(10+x)(180-10x),即：y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960.易知0≤x ≤18，则当x=4时，
即涨价4元时，y取最大值1960元.答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.
例2 解：（1）由题意得：当40≤x≤50时，Q = 60(x－30)= 60x－1800，∵ y = 60 > 0，
Q随x的增大而增大，∴当x = 50时，Q = 1200.
最大 最大
答：此时每月的总利润最多是1200元.
（2）当50＜x≤70时，设y与x函数关系式为y=kx+b,∵线段过(50，60)和(70，20).
解得 ∴y =－2x +160（50＜x≤70）.
.∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160)=－2x2 + 220x－ 4800=－2(x－55)2 +1250 (50＜x≤70)
，∵a = －2＜0，图象开口向下，∴当x = 55时，Q = 1250.∴当售价在50～70元时，售
最大
价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
（3）∵当40≤x≤50时， Q = 1200＜1218， 当50≤x≤70时， Q = 1250＞1218. ∴
最大 最大
售价x应在50~70元之间.∴令－2(x－55)2 +1250=1218，解得x=51，x=59.当x=51时，y=
1 2 1 1
－2x+160=－2×51+160= 58(件)，当x=59时，y=－2x+160= －2×59+160= 42(件).
2 2
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售
量分别为58件或42件.
变式 1 解：Q与x的函数关系式为：
由例2可知：若40≤x≤50， 则当x=50时，Q = 1200；若50＜x≤70， 则当x=55时，
最大
Q最大= 1250；∵1200＜1250，∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
变式2 解：Q与x的函数解析式为：
①当40≤x≤50时， ∵Q
最大
= 1200＜1218，∴此情况不存在. ②当50＜x≤70时，Q
最大
=
1250>1218，令Q = 1218，得 －2(x－55)2 +1250=1218解得：x=51，x=59.由Q = －2(x
1 2
－55)2 +1250的图象和性质可知:当51≤x≤59时，Q≥1218∴若该商品所获利润不低于
1218元，则售价x的取值范围为51≤x≤59.
变式3 解：由题意得： 解得：51≤x≤53.又∵a =－2＜0，
∴当51≤x≤53时 ，Q随x的增大而增大∴当x= 53时，Q = 1242.
最大
∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.
当堂检测
1.25 2.y=2000-5(x-100) w=[2000-5(x-100)](x-80)
3.解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]
=(10+2x)(84－4x)=－8x2+128x+840=－8(x－8)2+1352. 因为 x ≤ 9，故当x=8时，w有最
大值，且w =1352.
最大
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352.
4.解：（1）由题中条件可求y=-x2+20x-75.∵-1<0,，对称轴x=10，∴当x=10时，y值最大，
最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元.
（2）由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
