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第二十能八力章拓 展锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
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知识精讲
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能用锐角三角函数解直角三角形，能用相
关知识解决一些简单的实际问题。 能够利用锐角三角函数的边角关系，求解直角三角形
角或者边，从而解决实际问题分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为 ， ，则两脚张开的距离AB为( )
A． B． C． D．
2．在 中， ， ， ，则 的长是( )
A． B．3 C． D．
3．中国最长的索道为张家界天门山索道全长为7454米，若索道AC和地面AB的夹角为 ，则索道的落差
BC可表示为( )
A． B． C． D．
4．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿 方向水平飞行进行航拍
作业， 与 在同一铅直平面内，当无人机飞行至 处时、测得景点 的俯角为 ，景点 的俯角为
，此时 到地面的距离 为 米，则两景点A、B间的距离为多少米(结果保留根号)．( )A．200米 B．300米 C． 米 D． 米
5．已知在 中， 、 是锐角，且 ， ， ，则 的面积等于 __
．
6．如图：两张宽度都为 的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α(见图中的标注)，则重叠(阴
影)部分的面积表示为 _____．
7．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为 ；沿水平笔直的公路向建筑物的方向
行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为 ，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的
高度为___________千米．
8．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，请你
根据图中数据计算回答：小敏身高 米，她乘电梯会有碰头危险吗？______．(填是或否)(可能用到的参
考数值： ， ， )
9．如图，在平面直角坐标系中， ， ，点A的坐标为 ．(1)求点B的坐标；
(2)求 的值．
10．如图，为了测量一条河流的宽度(河的两岸是平行的)，一测量员在河北岸边的点M处，测得河南岸边
的两根电线杆P和Q的位置，经测量发现，点P在点M的正南方向，点Q在点M南偏东 的方向，已
知两根电线杆P、Q之间的距离为190米，求河宽PM．(结果精确到1米)【参考数据： ，
， 】
题组B 能力提升练
1．如图，在平面直角坐标系 中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 是线段 上的
动点，过 作 轴， 轴的垂线，垂足分别为 ， ，连结 ．当 最小时， ( )A． B． C． D．
2．一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为45°，若窗高 米，要想将光线全部遮挡住，
不能射到窗子AB上，则在A处搭建的挡板AC(垂直于AB)的长最少应为( )
A． 米 B． 米 C． 米 D．1.5米
3．如图，在边长为12的等边 中，D为边 上一点， ，点E是 上一动点，连接 ，将
线段 绕点E顺时针旋转60°得到线段 ．当点F恰好落在边 上时，则 的面积是( )
A．4 B． C．8 D．
4．如图，在矩形 中， ，直线l与 分别相交于点E，F，P，且，则 的长为( )
A． B． C． D．
5．要求 我们可以通过构造直角三角形进行计算：在 ，利用三角
函数定义可求出 的值，请在此基础上计算 ____________(结果保留根号)
6．如图，△ABC中， ，垂足H在BC边上，如果 ， ， ，那么 ___(用
含 和 的式子表示)．
7．半径为5的 是锐角三角形 的外接圆， ，连接 、 ，延长 交弦 于点 .若
是直角三角形，则弦 的长为___________．
8．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知 ， ，则房顶A离地面EF
的高度为___________m．(结果精确到 ，参考数据： ， ， )9．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门 高
6.5米，学生 身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为
，当学生刚好离开体温检测有效识别区域 段时，在点C处测得摄像头A的仰角为 ，求体温检测
有效识别区域 段的长(结果保留根号)
10．消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂
AC( )是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角 (
)，转动点A距离地面的高度AE为4米．
(1)当起重臂AC的长度为24米，张角 时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为________米．
(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请
说明理由(参考数据： )．(提示：当起重臂AC伸到最长且张角 最大时，云梯顶端C可以达
到最大高度)
题组C 培优拔尖练
1．如图，已知菱形 的边长为4，对角线 相交于点O，点 分别是边 上的动点，
，连接 ， 与 相交于点E．以下四个结论：① 点是等边三角形；
② 的最小值是 ；③若 时， ；④当 时， ．其中正确的个数有
( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
2．如图，在 中， 是线段 上的动点，以 为直径作 ，
分别交 于点 ，连接 ，则线段 的最小值是( )
A． B． C． D．3．如图，在等边 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连接 ， 交于点
，连接 ，则 的最小值是( )
A．2 B．3 C． D．
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝30， ，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接
DF．现给出以下结论：① ；② ；③ ；④ 正
确的是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．图1是郑州的网红打卡点 “戒指桥”， 其数学模型如图2所示． 线段 是其中一条拉索， 点 在
圆上， 点 是圆和水平桥面的交点． 小明测得 ， 且在 B点和 点观测 点的
仰角均为 ， 则 点到桥面的距离为_____ ， “戒指” 的半径为______ ．
6．如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形 绕点O顺时旋转n个45°得到正六边形，当 时，正六边形 的顶点 的坐标是______．
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，CB＝8，点D为AC中点.现将线段CD绕点B逆时针旋转得
到C'D'，若点D'恰好落在AB边上，则点C'到AB的距离为 __，若点A恰好在C'D'上，则AC'的长为 __．
8．如图，若点E为正方形 的边 上一点， ， ，点M为 的中点，过点M的
直线分别交 ， 边于点P，Q，且 ，则 的长为_____．
9．如图，在△ABC中， 以 为一边向下作矩形 ，其中 ．M为线段
上的动点(且不与A、B重合)，过M作 ，交 于点N．(1)如图，以MN为边作矩形MNPQ，使边NP在线段DE上，点Q在AC上．
①当MN为5时，矩形 的面积为 ___________；
②设MN=x，矩形MNPQ的面积为y，试求出y关于x的函数表达式；
③矩形MNPQ的面积y是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
(2)如图，过点N作AB的平行线，交线段AC于点F，连接MF，若△MNF为直角三角形，请直接写出线段
MN的长度．
10．如图，在 中， ， cm， cm，点M从点A出发，沿折线 → 以
2cm/s速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿 方向以1cm/s的速度向点A运动，点M到达点C时，
点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线 的对称点N，连接 交 于
点E，连接 ， ．设运动时间为t(s)( )，请解答下列问题：
(1)当t为何值时， ？
(2)点M在线段 上运动时，是否存在某一时划t使得 ∽ ？若存在，请求出此刻的t值；若不
存在，请说明理由；
(3)当t为何值时， 为直角三角形？
11．(1)【证明体验】如图1，正方形 中，E、F分别是边 和对角线 上的点， ．
①求证： ；② ；
(2)【思考探究】如图2，矩形 中， ， ，E、F分别是边 和对角线 上的点，
， ，求 的长；
(3)【拓展延伸】如图3，菱形 中， ，对角线 ， 交 的延长线于点H，E、F
分别是线段 和 上的点， ， ，求 的长．
12．如图(1)，在 中， ， ， ．点 从点 出发，沿 以每秒1个单位
长度的速度向终点 运动，在线段 的延长线上取一点 ，使得 ，连接 ，以 为斜边向下
作 ，其中 ，设点 运动的时间为 秒 ．
(1)求线段 的长．(用含 的代数式表示)
(2)当点 落在 上时，求 的值．
(3)当 被 的边分成的两部分面积比为 时，求 的值．
(4)如图(2)，作点 关于 的对称点 ，连接 ，当直线 与 的一边垂直时，直接写出 的
值．
