文档内容
压轴题 04 二次函数中四边形的存在性四种考法
目录
解题知识必备........................................................1
压轴题型讲练........................................................2
题型一、平行四边形的存在性..........................................2
题型二、菱形的存在性...............................................14
题型三、矩形的存在性...............................................25
题型四、正方形的存在性.............................................36
压轴能力测评（5题）...............................................48
一、平行四边形的存在性问题
1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类;
2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x
上加下减变 y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定)
3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求
解
常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形
分类讨论:
当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标;
当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之
和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解.
4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可
二、菱形的存在性问题(常为含 60°角的菱形)
通常有两大类:
1.已知三个定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两个定点确定线段为要探究的菱形的对角线画出
所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形;
2已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意
的
菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形:
3.计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解
三、矩形的存在性问题
等价于直角三角形的存在性问题
（其特点往往是2定点2动点），通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标。
分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论。
四、正方形存在性问题
正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐
标。
题型一: 平行四边形的存在性问题
1．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于O（O为坐标原点），
A两点，且二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点，y轴上一点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结 ， ，设点P的横坐标为t， 的面积为S，求S
与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写
出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，两条开口向上的抛物线 和 在同一平面直角坐标系中，抛
物线 交 轴于点 ，顶点 的坐标为 ．抛物线 交 轴于点 ，顶点的坐标为 ．
(1)连接 ，求线段 的长；
(2)点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．试判断 和 的大小，并说明理由；
(3)若点 在抛物线 上， ，求 的取值范围；
(4)若点 的横坐标为 ，且点 在抛物线 上，则在抛物线 上是否存在点 ，使得点 构成的四
边形是平行四边形？若存在直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
3．（23-24九年级上·西藏·期末）如图，二次函数 的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A
两点，且二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点，y轴上一点 ．(1)求二次函数的解析式；
(2)若点C是抛物线上的一点且横坐标为3，当 的值最小时，求点M的坐标；
(3)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结 ，求 的最大面积；
(4)在二次函数图象上是否存在点N，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出
所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知 ， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点E是线段 上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，
的面积最大？求出 的最大面积及此时E点的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出
P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
5．（23-24九年级上·吉林·期末）如图①，在平面直角坐标系中， ，等腰直角三角形 的顶
点 的坐标为 ，点 在第四象限，边 与 轴交于点 ，点 分别是线段 的中点，过点的抛物线 （ 为常数）的顶点为 .
(1)点 的坐标为______，用含 的代数式表示 为 ______.
(2)如图②，点 为 中点，当抛物线 经过点 时.
①求该抛物线所对应的函数表达式；
②若点 在该抛物线上，点 在线段 上，当以 和 为对边的四边形是平行四边形时，求点 的坐
标.
(3)当点 在等腰直角三角形 的边上或内部，且抛物线 与 有且只有一个公共点时，直
接写出 的取值范围.
题型二：菱形的存在性问题
1．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线 下方抛物线上的一个
动点．(1)求点A，B，C的坐标；
(2)连接 ， ，并将 沿y轴对折，得到四边形 ．是否存在点P，使四边形 为菱形？
若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形 的最大面积．
2．（23-24九年级下·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 、 两点的坐标分
别为 和 ，抛物线 经过点 和点 ．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)将 沿 轴向左平移得到 ，使得四边形 是菱形，试判断点 、点 是否在该抛物线上．
(3)在（2）的条件下，若点 是 所在直线下方抛物线上的一个动点，当 的面积最大时，求点
的坐标，并求出此时的最大面积．
3．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，
， ，连接 和 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)点 在抛物线的对称轴上，当 的周长最小时，请直接写出点 的坐标；
(3)点 是第四象限内抛物线上的动点，连接 和 ．求 面积的最大值及此时点 的坐标；
(4)若点 是 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）已知抛物线 ．
(1)如图①，若抛物线图像与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，连接 ．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式．
②若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作 轴，与线段AB交于点M，是否存在点
P，能使得 成立？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线 与y轴交于点C，同时与抛物线 交于点 ，以线段 为边
作菱形 ，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段 有交点，求b的取值范围．
题型三：矩形的存在性问题1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ．
(1)求抛物线和直线 的解析式；
(2)动点 ， 从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段 ， 上向点 ， 运动，
过点 作 轴的垂线交 于点 ，交抛物线于点 ，当四边形 为矩形时，求点 的坐标．
2．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，已知直线 与抛物线 交于A、D两点且A
点在x轴上，抛物线与x轴另一个交点为B，与y轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线 上方的抛物线上有一点F，过点F作 于点G，求线段 的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形
是以 为边的矩形，求点Q的坐标．
3．（22-23九年级上·重庆开州·期末）如图1，抛物线 与x轴交于 ， ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P、Q为直线 下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作
轴，交 于点M，过点Q作 轴交 于点N，求 的最大值及此时点Q的坐标；
(3)如图3，将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛
物线 ，在 的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，
且 为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标．
4．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图1，抛物线 与x轴交于 和 两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)P是抛物线上，位于直线 上方的一个动点，过点P作 于点D，求P坐标为何值时 最大，
并求出最大值；
(3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线 ， 与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线
对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存
在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
题型四：正方形存在性问题
1．（23-24九年级上·广东珠海·期末）【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面 时，水面宽 ，并画出了拱桥截
面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
(2)应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为 ．一场大雨，让水
面上升了 ，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为 、高度为 的货船通过?请通过计算进行说
明（货船看作长方体）；
(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条
的直线 ，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线 上方抛物线上一动点，过B作 垂直于x轴，交x轴于A，交直线 于C，过点
B作 垂直于直线 ，交直线 于 ，求 的最大值．
②如图3，G为直线 上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存
在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形?若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，连接 ，将线
段 绕着点 逆时针旋转 ，点 的对应点为点 ．(1)求经过 三点的抛物线 的表达式；
(2)将抛物线 沿着 轴平移到抛物线 ，在抛物线 上是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形
为正方形，若存在，求平移的方式．若不存在，说明理由．
3．（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴
交于点 ，点D是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点D为直线 上方抛物线上一动点，当 最大时，求点D的坐标并求此时 面积
的最大值；
(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形 为正方形时，求点Q的坐
标．
4．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知抛物线 的图像与坐标轴分别交于
三点，连接 ，点M是 的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线 ．(1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______；
(2)若点P为直线 下方抛物线上动点，过点P作 轴，交直线 于点Q，当 为直角三角
形时，求点P的坐标；
(3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点 为顶点的四边形是正方形？
若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
1．（2023•济宁）如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，对称轴为 的抛物线经过 ，
两点，交 轴负半轴于点 ， 为抛物线上一动点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴的平行线交抛物
线于另一点 ，作 轴的垂线 ，垂足为 ，直线 交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 ，当 为何值时，四边形 是平行四边形？
（3）若 ，设直线 交直线 于点 ，是否存在这样的 值，使 ？若存在，求出此时
的值；若不存在，请说明理由．2．（2024•泸州）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 ，与 轴交
于点 ，且关于直线 对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当 时， 的取值范围是 ，求 的值；
（3）点 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，在 轴上是否存
在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明
理由．
3．（2024•绥化）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线相交于 ， 两点，其中点 ，
．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）过点 作 轴交抛物线于点 ．连接 ，在抛物线上是否存在点 使 ．
若存在，请求出满足条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解
答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到 ，平移后的抛物线与原抛物线相交于
点 ，点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点，当以点 ， ， ， 为顶点
的四边形是菱形时，请直接写出点 的坐标．4．（2024•阳山县模拟）如图1抛物线 经过点 ，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1连接 ，过点 作 轴，垂足为点 ，点 ， 分别是线段 ， 上的动点，且不
与线段 ， 的端点重合；
①在直线 变化的过程中，若直线 平分四边形 的面积，且 到直线 的距离最大，求此时直
线 的解析式；
②如图2，连接 ，点 是 轴上一点，点 是二次函数上一点，当四边形 为矩形时，求出点
的坐标．
5．（2024•无锡）已知二次函数 的图象经过点 和点 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点 ， 都在该二次函数的图象上，试比较 和 的大小，并说明理由；
（3）点 ， 在直线 上，点 在该二次函数图象上．问：在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ，
， 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
