文档内容
压轴题 04 二次函数中四边形的存在性四种考法
目录
解题知识必备........................................................1
压轴题型讲练........................................................2
题型一、平行四边形的存在性..........................................2
题型二、菱形的存在性...............................................14
题型三、矩形的存在性...............................................25
题型四、正方形的存在性.............................................36
压轴能力测评（5题）...............................................48
一、平行四边形的存在性问题
1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类;
2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x
上加下减变 y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定)
3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求
解
常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形
分类讨论:
当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标;
当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之
和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解.
4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可
二、菱形的存在性问题(常为含 60°角的菱形)
通常有两大类:
1.已知三个定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两个定点确定线段为要探究的菱形的对角线画出
所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形;
2已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意
的
菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形:
3.计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解
三、矩形的存在性问题
等价于直角三角形的存在性问题
（其特点往往是2定点2动点），通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标。
分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论。
四、正方形存在性问题
正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐
标。
题型一: 平行四边形的存在性问题
1．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于O（O为坐标原点），
A两点，且二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点，y轴上一点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结 ， ，设点P的横坐标为t， 的面积为S，求S
与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写
出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或 或
【分析】（1）由二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点，得二次函数顶点为 ，设顶
点式 ，将点 代入即可求出函数解析式；
（2）连接 ，根据 求出S与t的函数关系式；（3）设 ，分三种情况：当 为对角线时，当 为对角线时，当 为对角线时，由中点
坐标公式求出n即可．
【详解】（1）
解： 二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点，
二次函数顶点为 ，
设二次函数解析式为 ，
将点 代入得， ，
，
；
（2）
如图，连接 ，
当 时， ，
或2， ，
点P在抛物线 上，
点P的纵坐标为 ，
；
（3）
设 ，
当 为对角线时，由中点坐标公式得， ， ， ，当 为对角线时，由中点坐标公式得， ， ， ，
当 为对角线时，由中点坐标公式得， ， ， ，
综上： 或 或 ．
【点睛】
此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数
法及平行四边形是性质是解题的关键．
2．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，两条开口向上的抛物线 和 在同一平面直角坐标系中，抛
物线 交 轴于点 ，顶点 的坐标为 ．抛物线 交 轴于点 ，顶点
的坐标为 ．
(1)连接 ，求线段 的长；
(2)点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．试判断 和 的大小，并说明理由；
(3)若点 在抛物线 上， ，求 的取值范围；
(4)若点 的横坐标为 ，且点 在抛物线 上，则在抛物线 上是否存在点 ，使得点 构成的四
边形是平行四边形？若存在直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3
(2)
(3) 或
(4)存在点 构成的四边形是平行四边形，t的值为 或 或3
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标，即可求出顶点横坐标，从而求出结果；
（2）用两点式设出抛物线解析式，把顶点坐标代入可得 ，再把 代入比较即可；
（3）根据 ，则点P离抛物线 对称轴更近，可得 ，解不等式即可；
（4）存在以点 为顶点的四边形是平行四边形，分四边形 是平行四边形；四边形 是
平行四边形，两种情况列出方程即可求出t的值．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ，∴ ；
（2）解：由题意得：设抛物线 ，抛物线 ，
由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入抛物线 得： ，
把 代入抛物线 得： ，
∵ ，
∴ ；
（3）解： ，则点P离抛物线 对称轴更近，
，
，即 ，
则 ，即 ，
或 ，
解得： 或 ；
（4）解：存在以点 为顶点的四边形是平行四边形，
当四边形 是平行四边形时，
，点 的横坐标为 ，
点Q的横坐标为 ，
，
，
，即
解得： ；
当四边形 是平行四边形，
，点 的横坐标为 ，
点Q的横坐标为 ，
，，
，即 ，
解得： 或 ；
综上，t的值为 或 或3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，平行四边形
的性质，综合性强，掌握数形结合是解题的关键．
3．（23-24九年级上·西藏·期末）如图，二次函数 的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A
两点，且二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点，y轴上一点 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点C是抛物线上的一点且横坐标为3，当 的值最小时，求点M的坐标；
(3)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结 ，求 的最大面积；
(4)在二次函数图象上是否存在点N，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出
所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或 或
【分析】（1）根据题意设二次函数解析式为 ，将点 代入即可求函数的解析式；
（2）点A关于对称轴的对称点为点O，连接 ，与对称轴的交点即为所求的点M，使得 的值最
小，求出直线 与对称轴的交点即为M点；
（3）设 ，过点P作x轴的垂线交 于点Q，则点Q的坐标为 ，可得，当 时， 有最大值 ，此时 的最大值为 ；
（4）设N点坐标为 ，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建
立方程求n的值即可求N点坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点为 ，
设二次函数解析式为 ，
将点 代入得， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意知点C坐标为 ，
点A关于对称轴的对称点为点O，连接 ，与对称轴的交点即为所求的点M，使得 的值最小，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点M的坐标为 ；
（3）解：设 ，过点P作x轴的垂线交 于点Q，则点Q的横坐标为a，令抛物线解析式的 ，得到 ，
解得 ，
∴A的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∴点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值 ，
∴ 面积的最大值为 ；
（4）解：存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设N点坐标为 ，
当 为对角线时，由中点坐标公式得： ，
∴ ，
∴ ，
当 为对角线时，由中点坐标公式得： ，∴ ，
∴ ，
当 为对角线时，由中点坐标公式得： ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 或 或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，平行四边形的存在性问题，轴对称求最
短距离等知识点，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
4．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知 ， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点E是线段 上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，
的面积最大？求出 的最大面积及此时E点的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出
P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 有最大值为8， ；
(3)存在，P点的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）将 ， 坐标分别代入抛物线解析式得方程组，然后解方程组求出 、 即可得
到抛物线解析式；
（2）先求出直线 的解析式，设 ，则 ，得出 ，
再求出 ，再求其最大值即可；
（3）先求出对称轴为直线 ，得 ，设P点的坐标为 ，再根据平行四边形的性质进
行分类讨论求解即可．【详解】（1）解：由题意，将 ， 代入 ，
得 ，解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：令 ，则 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将B、C点坐标代入得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
轴于点H，则 ，
∴
， ．
∴
∵ 是关于x的二次函数， ，
∴当 时， 有最大值为8，
此时 ；
（3）解：由 ，可知对称轴为直线 ，∴ ，
∵ ， ，
设P点的坐标为 ，
①当 为对角线时， ， ，
解得 ， ，
∴P点的坐标为 ；
②当 为对角线时，
， ，
解得 ， ，
∴P点的坐标为 ；
③当 为对角线时，
， ，
解得 ， ，
∴P点的坐标为 ；
综上，P点的坐标为 或 或
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，正确掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角
形的面积和平行四边形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键．
5．（23-24九年级上·吉林·期末）如图①，在平面直角坐标系中， ，等腰直角三角形 的顶点 的坐标为 ，点 在第四象限，边 与 轴交于点 ，点 分别是线段 的中点，过点
的抛物线 （ 为常数）的顶点为 .
(1)点 的坐标为______，用含 的代数式表示 为 ______.
(2)如图②，点 为 中点，当抛物线 经过点 时.
①求该抛物线所对应的函数表达式；
②若点 在该抛物线上，点 在线段 上，当以 和 为对边的四边形是平行四边形时，求点 的坐
标.
(3)当点 在等腰直角三角形 的边上或内部，且抛物线 与 有且只有一个公共点时，直
接写出 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)① ②点 的坐标为 或
(3) 或 或
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，平移思想，分类思
想.
（1）根据中点坐标公式解答即可；把 代入解析式 变形解答即可.
（2）①根据 ， ， 是等腰直角三角形，得到 ， ，
，得到 , ，
结合点 为 中点，得到 ，代入解析式，结合 计算即可.
②根据 ，得到 的解析式为 ；根据点点 为 中点，得到 ，
设 ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，分点向左平移1的单位和向右平移1个单
位，计算即可.
（3）分抛物线经过原点，抛物线的顶点在M处和抛物线在 中点的右侧和 得左侧或上面求解即可.【详解】（1）∵ ，等腰直角三角形 的顶点 的坐标为 ，点 分别是线段
的中点，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ； .
（2）①∵ ， ， 是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ , ，
∵点 为 中点，
∴ ，
代入解析式 得 ，
∵ ，
解得 ，
故抛物线的解析式为 .
②设 的解析式为 ；
把 代入解析式为 ，得 ，
解得 ，
故 的解析式为 ；
∵点 为 中点， ， ，
∴ ，
∵ ， ，点F在线段 上，
设 ，
当点R向左平移1个单位长度得到M时，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向左平移1个单位长度，得到 ,此
时四边形 是平行四边形；
∵点E在抛物线上 ，
∴ ，
解得 (舍去),故点 ；
当点M向右平移1个单位长度得到R时，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向右平移1个单位长度，得到 ,此
时四边形 是平行四边形；
∵点E在抛物线上 ，
∴ ，
解得 (舍去),
故点 ；
综上所述，符合条件的点E的坐标为 或 .
（3）当 经过原点时，
，
∵ ，
∴ ，
此时顶点为原点， 也在抛物线上，符合题意；
故 ；
∵ ，
∴抛物线的顶点 ，
当抛物线的顶点在M上时，也是符合题意的，
此时 即 ；
∵ ， ，
∴它们的中点 ，
∵点 在等腰直角三角形 的边上或内部，且抛物线 与 有且只有一个公共点，
∴抛物线的对称轴 ，
∴ ，
解得 ；
综上所述，符合题意的m取值为 或 或 .
题型二：菱形的存在性问题1．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线 下方抛物线上的一个
动点．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)连接 ， ，并将 沿y轴对折，得到四边形 ．是否存在点P，使四边形 为菱形？
若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形 的最大面积．
【答案】(1) ， ，
(2)存在，
(3) ，32
【分析】(1) 当 时， ．当 时， ．计算求解即可．
(2) 根据菱形的判定，建立等式求解即可．
(3)设点P的坐标为 ，分割法表示出四边形的面积，构造关于m的二次函数，利用抛物线的
最值思想计算即可．
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，菱形的判定，构造二次函数求最值．
【详解】（1）当 时， ．解得 ， ．
∵点A在点B的左侧，
∴点A，B的坐标分别是 ， ．
当 时， ．
∴点C的坐标是 ．
（2）如图1，假设抛物线上存在点P，使四边形 为菱形，连接 交CO于点D．
∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ．∴ ，即P点的纵坐标为 ．
由 ，得
， （不合题意，舍去）．
所以存在这样的点，此时点P的坐标为 ．
（3）连接PO，作 同于点M， 轴于点N．
设点P的坐标为 ，
∵点A，B，C的坐标分别是 ， ， ，
∴ ， ， ， ， ．
∴
∴当 时， ．
此时点P坐标为 ．
∴当点P运动到 时，四边形 的面积最大，四边形 的最大面积为32．2．（23-24九年级下·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 、 两点的坐标分
别为 和 ，抛物线 经过点 和点 ．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)将 沿 轴向左平移得到 ，使得四边形 是菱形，试判断点 、点 是否在该抛物线上．
(3)在（2）的条件下，若点 是 所在直线下方抛物线上的一个动点，当 的面积最大时，求点
的坐标，并求出此时的最大面积．
【答案】(1)
(2)点 、点 均在该抛物线上
(3) ；9
【分析】（1）将点 和点 代入抛物线 ，求出 、 的值即可得到抛物线对应
的函数解析式；
（2）由坐标两点距离公式可得 ，再根据菱形的性质，得到 ，进而得出点
、点 的坐标，即可求解；
（3）利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，过点 作 轴，设过点 且平行于
的直线 的解析式为 ，联立直线 与抛物线，得到关于 的一元二次方程，在利用一元二次
方程根的判别式，得出当 时，过点 的直线与抛物线只有一个交点，点 到 距离最大，
的面积最大，进而得出点 的坐标，然后根据 的最大面积 ，即可求解．
【详解】（1）解：将点 和点 代入抛物线 可得：
，解得： ，
抛物线对应的函数解析式为 ；（2）解：点 、点 均在该抛物线上，理由如下：
， ，
．
∵四边形 是菱形，
，
， ，
．
当 时， ；
当 时， ．
∴点 、点 均在该抛物线上．
（3）解：设直线 的解析式为 ．
∵直线 经过点 和 点，
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
是定值，
∴要使 的面积最大，则当点 到 距离最大时，面积最大，
如图，过点 作 轴，垂足为点 ，
设过点 且平行于 的直线 的解析式为 ，
联立方程组，得 ，消去 ，整理得 ．
当直线与抛物线在点 处相切时，
，解得 ，
此时方程有两个相等的实数根 ，
此时过点 的直线与抛物线只有一个交点，点 到 距离最大， 的面积最大，
∴当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
的最大面积
．
【点睛】本题二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，二次函数图象上点的坐标
特征，二次函数的交点问题等知识，掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．
3．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，
， ，连接 和 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 在抛物线的对称轴上，当 的周长最小时，请直接写出点 的坐标；
(3)点 是第四象限内抛物线上的动点，连接 和 ．求 面积的最大值及此时点 的坐标；
(4)若点 是 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)当点 的坐标为 时， 的面积最大，最大值为
(4)点 的坐标为 或 或 或
【分析】（1）由题意得出 ， ，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出点 ，抛物线的对称轴为直线 ，得出当点 、 、 在同一直线上时， 的周长
最小，待定系数法求出直线 的解析式，从而即可得解；
（3）过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，设 ，则 ，
，由 求出表达式，求最值即可得出答案；
（4）分两种情况：当 为菱形的边长时，当 为菱形对角线时，利用菱形的性质，分别求解即可．
【详解】（1）解： ， ，
， ，
抛物线 与 轴交于 点，与 轴交于 点，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：在 中，当 时， ，
解得： ， ，
，抛物线的对称轴为直线 ，
点 在直线 上，点 关于直线 对称，
， ，
如图，当点 、 、 在同一直线上时， 的周长 ，此时
最小，，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
；
（3）解：如图，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，
，
设 ，则 ，
，，
当 时， 的面积最大，
，
当点 的坐标为 时， 的面积最大，最大值为 ；
（4）解：存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，
， ，
，
当 为菱形的边长时，如图所示，
，
则 ，且 ，
， ， ；
当 为菱形对角线时，如图，，
则 ， ，
设 ，
，
解得： ，
，
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查饿了二次函数的综合应用、菱形的性质，解题的关键是找特殊点，充分利用对称轴、
顶点坐标等知识，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
4．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）已知抛物线 ．
(1)如图①，若抛物线图像与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，连接 ．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式．
②若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作 轴，与线段AB交于点M，是否存在点
P，能使得 成立？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线 与y轴交于点C，同时与抛物线 交于点 ，以线段 为边
作菱形 ，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段 有交点，求b的取值范围．
【答案】(1)① ；②存在，(2)
【分析】（1）①将 ， 两点坐标代入抛物线的解析式求得 ， ．从而得出结果；
②求出 的解析式，设 ，则 ，从而表示出 ，
，再列出关于m的方程，从而求得 的值，进而求得 点坐标；
（2）分为 和 两种情形．进行讨论，求出 的范围．
【详解】（1）由题意得，
① ，
，
；
②设直线 的函数表达式：
∵ ， ，
，解得 ，
∴直线 的函数表达式：
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解之，得： ， ，
∵P与A不重合，
∴ ，即
（2）由题意得： ， ，
∴ ， ， ，∴ ，
∵ 在 上，
∴ ，
∴
①当 时，即 时，
∵该抛物线与线段 有交点
∴ ，
∴
②当 时，令 时，
∴ ，
③当 时，
令 时， ，
∴ ，
∴当 时，该抛物线与线段 有交点，
综上，
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的
关键一是正确分类，二是数形结合．
题型三：矩形的存在性问题
1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ．
(1)求抛物线和直线 的解析式；
(2)动点 ， 从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段 ， 上向点 ， 运动，
过点 作 轴的垂线交 于点 ，交抛物线于点 ，当四边形 为矩形时，求点 的坐标．【答案】(1)抛物线得解析式为 ，直线 的解析式为 ；
(2) ．
【分析】（1）本题把 ， ，代入抛物线 ，求出 、 ，根据抛物线与 轴
交于点 ，求出点 的坐标，设直线 的解析式为 ，利用点 、点 求出直线 的解析
式，即可解题．
（2）本题设 ，根据题意表示出 、 ，运用 ，列出方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：把 ， ，代入抛物线 得：
，解得 ，
，
抛物线与 轴交于点 ，
，
设直线 的解析式为 ，
将 代入 ，有 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
综上所述，抛物线得解析式为 ，直线 的解析式为 ．
（2）解：根据题意，设 ， ，
，
当 时，四边形 为矩形，
即 ，
解得： 或 （不合题意舍去），
把 代入 得： ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求直线和抛物线的解析式、矩形的判定与性质、二次函数与几何综合，解题的关键在于根据几何特点建立函数关系再进行求解．
2．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，已知直线 与抛物线 交于A、D两点且A
点在x轴上，抛物线与x轴另一个交点为B，与y轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线 上方的抛物线上有一点F，过点F作 于点G，求线段 的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形
是以 为边的矩形，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A的坐标，再把A、C坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解
析式即可；
（2）记 于y轴的交点为 ，证明 为等腰直角三角形， 过 作 轴交 于 ， 为
等腰直角三角形， 则 ，设 ，则 ， 再建立二次函数，利用二次函
数的性质解题即可；
（3）如图，当 在 的右边，记直线 交y轴于R， ，则 ，求解
直线 的解析式为 ， 可得 ， 设 ，而四边形 为矩形，可得 ，
再利用勾股定理建立方程求解 ，结合平移的性质可得： ；如图，当 在 的左边，同
理可得： ，结合平移的性质可得： ．
【详解】（1）解：在 中，当 时， ，解得 ，则 ，把 ， 代入 中得：
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）记 于y轴的交点为 ，
当 时， ，则 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
过 作 轴交 于 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
当 时， 有最大值 ，
∴ 的最大值为： ；
（3）如图，当 在 的右边，
记直线 交y轴于R， ，则 ，设直线 的解析式为 ，
把 、 分别代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，则 ，
设 ，而四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
解得： ，即 ，
由平移的性质可得： ；
如图，当 在 的左边，
同理可得： ，解得： ，即 ，
由平移的性质可得： ；
综上： 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的
判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题
是解本题的关键．
3．（22-23九年级上·重庆开州·期末）如图1，抛物线 与x轴交于 ， ，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P、Q为直线 下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作
轴，交 于点M，过点Q作 轴交 于点N，求 的最大值及此时点Q的坐标；
(3)如图3，将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛
物线 ，在 的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，
且 为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标．
【答案】(1)
(2) ，
(3) 或
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）设 ，则 ，进而得到 ；再表示出
，最后根据二次函数的性质即可解答；
（3）分两种情况：当 为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作 ，当 为矩形一边时，且点D在x轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．
【详解】（1）解：把 和 代入 ，得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：抛物线 （ ）与y轴交于点C，令 ，则 ，
∴C点的坐标为 ，设直线 的解析式为 ，把B、C点的坐标代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
点P、Q为直线 下方抛物线上的两点，设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ；
（3）解：由题意可得： ，
∴ 的对称轴为 ，
∴抛物线 与y轴交于点C．
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
当 为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作 ，如图所示：∵D在 的对称轴为 ，
∴ ，
∴ ， ，即点 ，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位
可得到 ；
当 为矩形一边时，且点D在x轴的上方，如图所示：
设 的对称轴为 与x轴交于F，
∵D在 的对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，即点 ，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位
可得到点 ；
综上分析可知，点E的坐标为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合
等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．
4．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图1，抛物线 与x轴交于 和 两
点，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)P是抛物线上，位于直线 上方的一个动点，过点P作 于点D，求P坐标为何值时 最大，
并求出最大值；
(3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线 ， 与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线
对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存
在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当P点运动到 时， 最大值为
(3)存在，H点的坐标为 或 或 或
【分析】（1）设顶点式 ，展开得 ，解方程求出a即可得到抛物线解析式；
（2）过点P作 轴交 于点E，根据题意推出 ， 为等腰直角三角形，利用等腰直角三
角形的性质，推出 的表达式，最终利用函数法求最值；
（3）分 为边和对角线两种情况，进行讨论求解，先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线
的性质，直接计算H的坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ，
即 ，
，
解得 ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：由（1）知 ，
当 时， ，
，
，是等腰直角三角形， ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得 ，
解得 ，
，
P是抛物线上位于直线 上方的一个动点，过点P作 轴交 于点E，
设 ，则 ，
，其中 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴
当 时， 最大值为 ，此时 ；
（3）解：平移后的函数解析式为 ，
将 与 联立，得 ，
解得两条抛物线交点M的坐标为 ，
如图，以 为边，作 交对称轴于 ，可构造矩形 ，设 ，
， ，，
，
，
解得 ，
设 ，由A，M， ， 四点的相对位置关系可得：
，
解得 ，
；
同理，以 为边，作 交对称轴于 ，可构造矩形 ，设 ，
，
，
解得 ，即 ，
设 ，由A，M， ， 四点的相对位置关系可得：
，
解得
；
如图，以 为对角线，作 交对称轴于 ，可构造矩形 ，设 ，，
，
解得 ， ，即 ， ，
设 ，由A，M， ， 四点的相对位置关系可得：
，
解得 ，
；
设 ，由A，M， ， 四点的相对位置关系可得：
，
解得 ，
；
综上可知，H点的坐标为 或 或 或
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形
性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运
用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
题型四：正方形存在性问题
1．（23-24九年级上·广东珠海·期末）【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面 时，水面宽 ，并画出了拱桥截
面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
(2)应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为 ．一场大雨，让水
面上升了 ，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为 、高度为 的货船通过?请通过计算进行说
明（货船看作长方体）；
(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条
的直线 ，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线 上方抛物线上一动点，过B作 垂直于x轴，交x轴于A，交直线 于C，过点
B作 垂直于直线 ，交直线 于 ，求 的最大值．
②如图3，G为直线 上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存
在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形?若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)该货船不能通过，理由见解析
(3)① ；② 或
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，将 代入，即可求解；
（2）根据题意将 代入解析式，得出 ，而轮船安全通过需要 米，即可求解；
（3）①依题意，得出 ， 是等腰直角三角形，则 ，进而设点
，则 ，表示出 ，根据二次函数的性质，即可求解；
②由①可得 ，当以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形时， 是等腰直角三角形，将
代入 ，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，测得当拱顶高离水面 时，水面宽 ，则抛物线经过 ，
当 时， ，
即 ，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：依题意，当宽度为 、高度为 的货船通过，
∴ ，
将 代入解析式得： ，
，
∴该货船不能通过；
（3）解：①∵ ，
抛物线的对称轴为直线 ，
∵ 交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，
∴ ，
∴ ，
∵ ，则 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
设点 ，则 ，
∴ ∴当 时， 取得最大值为 ,
则 的最大值为 ．
②由①可得 ，当以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形时， 是等腰直角三角形，
∴ ，且 ，
∵ ，
∴ 的纵坐标为 ，
将 代入
解得： 或∴ 的横坐标为 ，或 ，
又∵G为直线 上一动点，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，线段周长问题，正方形的性质，熟练掌握二次函
数的性质是解题的关键．
2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，连接 ，将线
段 绕着点 逆时针旋转 ，点 的对应点为点 ．
(1)求经过 三点的抛物线 的表达式；
(2)将抛物线 沿着 轴平移到抛物线 ，在抛物线 上是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形
为正方形，若存在，求平移的方式．若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，将抛物线 沿着 轴向右平移 或者向左平移 得到抛物线
【分析】本题考查二次函数综合，涉及到全等三角形的判定与性质，二次函数的平移，正方形的判定与性
质等知识点；
（1）先求出点 坐标，再根据待定系数法求经过 三点的抛物线 的表达式；
（2）由于 是等腰直角三角形，所以以 为顶点的四边形为正方形只有一个，求出点 的坐
标，再代入平移后的解析式计算即可．
【详解】（1）过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，则 ，∵将线段 绕着点 逆时针旋转 ，点 的对应点为点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 的坐标为 ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ，
设经过 三点的抛物线 的表达式为 ，
代入 、 可得
，
解得 ，
∴经过 三点的抛物线 的表达式为 ；
（2）∵ 是等腰直角三角形，
∴以 为顶点的四边形为正方形只有一个，设 与 交于点 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴当 与 互相平分时，四边形 是正方形，
∵ 中点为 ，即 ，
中点为 ，即 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∵将抛物线 沿着 轴平移到抛物线 ，
∴设抛物线 解析式为 ，
把 代入 可得
，
解得 ，
∴存在，将抛物线 沿着 轴向右平移 或者向左平移 得到抛物线 ．
3．（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴交于点 ，点D是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点D为直线 上方抛物线上一动点，当 最大时，求点D的坐标并求此时 面积
的最大值；
(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形 为正方形时，求点Q的坐
标．
【答案】(1) ；
(2) ，此时 面积的最大值为 ；
(3)点Q的坐标 、 、 、 ．
【分析】（1）将 ， 两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可求出直线 的解析式，由 可证明 ，作 于 ，则 ，
设点 的横坐标为 ，分别表示出 和 ，然后用含 的解析式表示出 ，求这个一元二次解析式
的最值，即可求解；
（3）若四边形 为正方形，则 是等腰直角三角形，且 ，根据题意画出对应图形，利
用全等三角形建立方程，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ 经过点 ，点
∴ ，解得
∴抛物线的函数解析式为： ．
（2）解：设直线BC的解析式为 ，将 ，点 代入得其解析式得，
解得∴直线BC的解析式为 ．
作 交 于E，如图，
设点D的横坐标为t，则 ，
∴
所以当 时， 的面积最大值．此时 ， 面积的最大值为 ；
（3）解：∵
∴抛物线的对称轴为 ，
若四边形 为正方形，则 是等腰直角三角形，且 ，
设点D的横坐标为n，则
①如图，过点 作 于点M，设直线l与x轴交于点N，
则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 或 ，
当 时，点D与点A重合，如图，此时由正方形性质可得：
，则 或 ，则 ；
当 时 ，则 ．
②如图，过点 作 于点M，设直线l与x轴交于点N，同理可证， ≌ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
当 时，点D与点A重合，同上；
当 时， ， 则 ；
综上，点Q的坐标 、 、 、 ．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定的与性质、
矩形的性质、二次函数的图像和性质等知识，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
4．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知抛物线 的图像与坐标轴分别交于三点，连接 ，点M是 的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线 ．
(1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______；
(2)若点P为直线 下方抛物线上动点，过点P作 轴，交直线 于点Q，当 为直角三角
形时，求点P的坐标；
(3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点 为顶点的四边形是正方形？
若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)点P的坐标为： （ ），
(3)存在， 或
【分析】（1）由二次函数表达式和坐标轴上点的特点即可得出答案；
（2）由点的坐标求出直线解析式，并分类讨论直角顶点即可得出答案；
（3）分类讨论对角线的情况，结合正方形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解： 的对称轴为： ，
，
当 时，
或 ，
，
当 时， ，
，
点M是 的中点，
；（2）由（1）可得直线 的表达式为： ，
轴，
，
故点 不可能是直角顶点，
若 ，如图，
则 轴，
把 代入 得
，
解得： （舍去）， ，
，
若 ，如图过点 作 ，， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
与点 关于直线 对称，
设直线 的表达式为 ，
把 代入得
，
直线 的表达式为 ，
，
解得： （舍去）， ，
把 代入 得
，
，
综上所述，点 的坐标为 ， ；
（3） ， ，
，
设 ， ，
当 时，
直线 的表达式为： ，
则设直线 的表达式为： ，把 代入 得 ，
则直线 的表达式为： ，
把 代入 得 ，
则 ，
，
，
当 为顶点的四边形是正方形时，
则 解得 ，
，
当 时，
直线 的表达式为： ，
则设直线 的表达式为： ，
把 代入 得 ，
则直线 的表达式为： ，
把 代入 得 ，
则 与 重合，舍去不符合题意；
当 时，则 ，
则可设 ，同理可得
则 解得 ，
，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与多边形的存在性问题，涉及二次函数的图象与性质、正方形的判定与性质、
直角三角形的判定、中点坐标公式等知识，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键．1．（2023•济宁）如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，对称轴为 的抛物线经过 ，
两点，交 轴负半轴于点 ， 为抛物线上一动点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴的平行线交抛物
线于另一点 ，作 轴的垂线 ，垂足为 ，直线 交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 ，当 为何值时，四边形 是平行四边形？
（3）若 ，设直线 交直线 于点 ，是否存在这样的 值，使 ？若存在，求出此时
的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合平行四边形的性质，通过求直线 的函数解析式，列方程求解；
（3）根据 ，分 在 内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求
解．
【解答】解：（1）在直线 中，当 时， ，当 时， ，
点 ，点 ，
设抛物线的解析式为 ，
把点 ，点 代入可得：
，解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）由题意， ，
，
当四边形 是平行四边形时， ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
把 代入可得 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
又 过点 作 轴的平行线交抛物线于另一点 ，且抛物线对称轴为 ，
，
，
解得 （不合题意，舍去）， ；
当 为 时，四边形 是平行四边形；
（3）存在，理由如下：
对称轴为 ，
设 点坐标为 ，
点横坐标为： ，
， ，
①如图1，，即 是 的中点，点 在对称轴 上，
， ，
又点 在直线 ，代入得：
，
解得： 或 （舍去），
故此时 的值为 ．
②如图2，设 点坐标为 ， ， ，
，
①，
②，
联立①②并解得： （舍去）或 ，综上所述， 的值为 或 ．
【点评】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和
方程思想解题是关键．
2．（2024•泸州）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 ，与 轴交
于点 ，且关于直线 对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当 时， 的取值范围是 ，求 的值；
（3）点 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，在 轴上是否存
在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明
理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当 时， 时， 取得最小值，则 时， 取得最大值，即可求解；
（3）由抛物线的表达式知，点 ，如图， ， ， ， 为顶点的四边形是菱形时，存在点 在点
上方和下方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1） ，抛物线的对称轴为直线 ，则抛物线和 轴的另外一个交点为： ，
则抛物线的表达式为： ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）当 时，
时， ，取得最小值，
则 小于 时， 取得最大值，
而抛物线的顶点处取得最大值，
抛物线的顶点坐标为： ，
即 ，
解得： ；
（3）存在，理由：由抛物线的表达式知，点 ，
①当 为菱形对角线时，对应菱形为 ，
则 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，点 ，
则 ， ， ，
，
解得： 或 （舍去），
则 ，
即菱形的边长为： ．
②当 为菱形的对角线时对应菱形为菱形 ，
则 ，
，
解得： 或 （舍去），
则 ，
即菱形的边长为：2．
综上，菱形的边长为： 或2．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决
相关问题．
3．（2024•绥化）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线相交于 ， 两点，其中点 ，
．
（1）求该抛物线的函数解析式；（2）过点 作 轴交抛物线于点 ．连接 ，在抛物线上是否存在点 使 ．
若存在，请求出满足条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解
答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到 ，平移后的抛物线与原抛物线相交于
点 ，点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点，当以点 ， ， ， 为顶点
的四边形是菱形时，请直接写出点 的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（ 2 ） 过 点 作 于 ， 设 直 线 交 轴 于 点 ， 由 题 意 得
，由 ，可得 ，即
，得出 ， ，利用待定系数法可得：直线 的解析式为 ，直线
的解析式为 ，分别与抛物线联立求解即可；
（3）先求得平移后的抛物线解析式为 ，联立求得 ，由题意设 ， ，又
，根据菱形的性质分三种情况：当 、 为对角线时，当 、 为对角线时，当 、 为
对角线时，分别根据对角线互相平分，邻边相等建立方程组求解即可．
【解答】解：（1） 抛物线 过点 ， ，
，
解得： ，
该抛物线的函数解析式为 ；
（2）存在．理由如下：
轴，且 ，点 的纵坐标为1，
，
解得： （舍去）， ，
，
过点 作 于 ，设直线 交 轴于点 ，如图，
在 中， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
或 ，
， ，
直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
由 ，解得 ， （舍去），
由 ，解得 ， （舍去），， ， ， ，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 ， ， ， ；
（3） ，
原抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线 ，
，
联立得 ，
解得： ，
，
又 ，
设 ， ，
当 、 为对角线时，
则 ，
解得： ，
；
当 、 为对角线时，
则 ，
解得： 或 ，
与点 重合，不符合题意，舍去，或 ；
当 、 为对角线时，
则 ，解得： 或 ，
或 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛物线的平
移，解直角三角形的应用，菱形性质，第（3）问要分类讨论，避免漏解．
4．（2024•阳山县模拟）如图1抛物线 经过点 ，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1连接 ，过点 作 轴，垂足为点 ，点 ， 分别是线段 ， 上的动点，且不
与线段 ， 的端点重合；
①在直线 变化的过程中，若直线 平分四边形 的面积，且 到直线 的距离最大，求此时直
线 的解析式；
②如图2，连接 ，点 是 轴上一点，点 是二次函数上一点，当四边形 为矩形时，求出点
的坐标．
【分析】（1）直接将 和 点坐标代入到解析式中，解方程组即可；
（2）因为 和 纵坐标相同，所以 轴，可证四边形 为矩形，别切四个顶点坐标都可求，因
为 平分四边形 ，所以 经过矩形对角线交点 ，过 作 于 ， ，所以当
与 重合时， 最大，此时 与 重合，由于此时 是线段 中点，所以 ，过 作
轴于 ，可以证得 ，在 中，求得 ，所以 ，
，设 ，则 ，再利用 ，利用待定系数法，求出直线 的解析式；
（3）过 作 于 ，设 ， ，进而得到 ，推导出 ，得到 ，进而得到 ， ，解得 或 ，因为 在 左
侧，进而得到点 为 ．
【解答】解：（1）将 ， 代入到抛物线解析式中得，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）①如图1，连接 ， 相交于 点，过 作 于 点，
和 的纵坐标相同，
轴，
又 轴，
，
四边形 为矩形，
直线 平分矩形 的面积，
直线 必经过 点，
，
，
当 时， 与 重合，
即 于 ，此时 最大，如图2，为 中点，且 ，
，
过 作 于 ，则四边形 为矩形，
，
，
，
又 ， ，
，
设 ，则 ，
设直线 为 ，
代入点 ， ， 得：
，
解得
直线 的解析式为 ；②如图3，过 作 于 ，设 ， ，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
又 在抛物线上，
，
解得 或 ，
在 左侧，
，
点 为 ．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数、特殊平行四边形的性质、点到线的距离、构造
横平竖直线，利用三角函数和相似来解决问题是解答本题的关键．5．（2024•无锡）已知二次函数 的图象经过点 和点 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点 ， 都在该二次函数的图象上，试比较 和 的大小，并说明理由；
（3）点 ， 在直线 上，点 在该二次函数图象上．问：在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ，
， 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
【分析】（1）将点 和点 的坐标代入 ，求出 和 的值，即可得出这个二次函数的表达
式；
（ 2 ） 根 据 题 意 得 出 ， ， 再 用 作 差 法 得 出
，进行分类讨论即可；
（3）求出直线 的函数解析式为 ，然后进行分类讨论：当 为正方形的边时；当 为正方对
角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．
【解答】解：（1）把 ， 代入 得：
，
解得： ，
这个二次函数的表达式为 ；
（2） ， 都在该二次函数的图象上，
， ，
，
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ；（3）设直线 的函数解析式为 ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
直线 的函数解析式为 ，
当 为正方形的边时，
① ，
，
过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，过点 作 的垂线，垂足为点 ，如图1，
， 轴，
，
，则 ，
设 ，则 ，
，
点 的纵坐标为 ，
即 ，
以 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形，
， ，
，
，
，， ， ，
，
， ，
，
把 代入 得： ，
解得： ， （舍去），
；
②如图2：构造 ， ，
和①同理可得： ， ，
设 ，则 ，
， ， ，
把 代入 得： ，
解得： （舍去），
；
③如图3：构造 ， ，和①同理可得： ， ，
设 ，则 ，
， ， ，
把 代入 得： ，
解得： （舍去），
；
④如图4：构造 ， ，
和①同理可得： ， ，
设 ，则 ，
， ， ，
把 代入 得： ，
解得： ， （舍去），；
当 为正方形对角线时，
⑤如图5：构造矩形 ，过点 作 于点 ，
轴，
，
，
设 ，则 ，
和①同理可得： ，
， ，
四边形 为正方形，
，
，则 ，
，
设 ，则 ，
， ， ，
把 代入 得： ，
解得： （舍去），
；
⑥如图6：构造 ， ，同理可得： ，
设 ，则 ，
， ， ，
把 代入 得： ，
解得： （舍去），
；
综上： 或 或 或 或 或 ．
【点评】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关
键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．
