文档内容
23.4 实际问题与一次函数
一、教学目标
【知识与技能】
1.利用一次函数知识,根据实际问题背景建立一次函数模型.
2.灵活运用变量关系建立一次函数模型并且选择最佳方案解决相
关实际问题.
3. 能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法.
【过程与方法】
1.让学生在探索过程中,体会“问题情境——建立模型——解释
应用——回顾拓展”这一数学建模的基本思想,感受函数知识的应用
价值.
2.让学生结合自身的生活经历,模仿尝试解决一些身边的函数应
用问题,体会数学与现实的密切联系,提高解决问题的能力,体会一次
函数在分析和解决实际问题中的作用.
【情感态度与价值观】
1 / 151.通过对实际问题的数据关系的探索,使学生领会分类讨论的思
想和善于总结的学习态度.
2.通过小组讨论交流合作,培养学生的合作意识和探索精神;认识
到函数与现实有密切关系,感受到数学的实际价值.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
建立一次函数模型解决实际问题.
【教学难点】
分类讨论的分析方法.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、铅笔.
六、教学过程
2 / 15（一）导入新课（出示课件2-3）
教师引导学生参与课件中话题，引出新课
（二）探索新知
1.出示课件5-6，探究一次函数的建模
教师给出问题：
例某玉米种子的价格为40元/kg.若一次购买不超过2kg的种子，
其价格不变；若一次购买超过2 kg的种子，超过部分的种子价格打
6折.
（1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；
学生思考回答问题，教师给予讲解：
学生答：解：设购买量为x kg，付款金额为y元.
当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x；
当x＞2时，购买的种子中有2 kg按40元/kg计价，其余的
（x-2）kg按24元/kg（即6折）计价，函数解析式为y=80+24
（x-2）=24x+32.
函数图象如图所示.
3 / 15（2）一次购买4 kg玉米种子，需付款多少元？
学生答：解：因为4＞2，所以y=24×4+32=128.
因此，一次购买4 kg种子，需付款128元.
2.出示课件7-12，探究选择方案
教师问：怎样选取年卡套餐？
学生答：选择实惠的.
教师问：下表给出某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准.
选取哪种年卡套餐能节省游泳费用?
学生答：要对三种年卡套餐进行比较，找出最方便实惠的.
教师问：哪种游泳费用是会变化的？哪种不变？
4 / 15学生答：A、B会变化，C不变.
教师问：在A、B两种套餐中，游泳费用哪些部分组成？
学生答：游泳费=年卡费用+套餐外费用.
教师问：影响套餐外游泳费用的变量是什么？
学生答：套餐外游泳次数.
教师问：这三种方式中有一定最优惠的方式吗？
学生答：没有一定最优惠的方式，与年游泳次数有关.
教师问：设年游泳x次，则套餐A，B的游泳费用y1，y2都是x
的函数，要比较它们，需在 x ≥ 0 时，考虑何时？
学生答：要比较它们，需在x>0 时，考虑何时
（1）y =y ； （2）y y .
1 2 1 2 1 2
教师问：在套餐A中，套餐外收费一定会产生吗？什么情况下才
会有套餐外费用？
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
5 / 15学生答：不一定，只有在年有用次数超过20次时才会产生．
当0≤x≤20时，y =600；
1
当x＞20时，y =600+40（x-20）=40x-200.
1
合起来可写为：y ={ 600,(0≤x≤20) .
1
40x-200,(x>20)
教师问：你能自己写出套餐B的游泳y2关于年游泳次数x的函
数解析式吗?
{1200，0≤x≤50，
学生答：y =
2 40x-800，x＞50.
教师问：套餐C的游泳费用y3关于年游泳次数x的函数解析式
呢?
学生答：当x≥0时，y =1 800.
3
教师问：你能利用函数图象进行比较吗？
师生一起解答：
在同一坐标系画出它们的图象：
6 / 15当年游泳次数0＜x≤35时，选择套餐A能节省游泳费用.
当y =y 时，x=35.
1 2
当年游泳次数35≤x≤65时，选择套餐B能节省游泳费用.
当y =y 时，x=65.
2 3
当年游泳次数x＞65时，选择套餐C能节省游泳费用.
出示课件13，学生自主练习后口答，教师订正.
2.出示课件15-21，探究怎样租车
教师问：某学校计划在总费用不超过23 00元的情况下，租用客
车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1
名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示：
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
7 / 15（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案．
学生问：租车的方案有哪几种？
师生一起解答：共三种：（1）单独租甲种车；（2）单独租乙种
车；（3）甲种车和乙种车都租．
教师问：如果单独租甲种车需要多少辆？
1
学生答：240÷45=5 . 单独租甲种车要6辆
3
教师问：单独租乙种车呢？
学生答：240÷30=8，单独租乙种车要8辆.
教师问：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？
学生答：汽车总数不能小于6辆，不能超过8辆.
教师问：要使6名教师至少在每辆车上有一名，你能确定排除哪
种方案？你能确定租车的辆数吗？
学生答：说明了车辆总数不会超过6辆，可以排除方案(2)——
单独租乙种车；所以租车的辆数只能为6辆．
教师问：在讨论3中，合租甲、乙两种车的时候，又有很多种情
况，面对这样的问题，我们怎样处理呢？
8 / 15师生一起解答：
方法1：分类讨论——分3种情况；
方法2：设租甲种车x辆，确定x的范围.
教师问：看下面的问题：
客车种类 载客量/人 租金/元
甲x辆 45 400
乙（6-x）辆 30 280
为使240名师生有车坐，可以确定x的一个范围吗？
学生答：
45x+30(6-x) ≥240,
15x≥60,
x≥4.
教师问：为使租车费用不超过2 300元，又可以确定x的范围吗？
学生答：
400x+280(6-x) ≤2300,
120x≤620,
1
x≤5 .
6
教师问：由上边的两个问题结果，你能找出x的取值范围吗？
9 / 151
学生答：x的取值范围为：4≤x≤5 .
6
教师问：结合问题的实际意义，你能有几种不同的租车方案?为
节省费用应选择其中的哪种方案？
师生一起解答：
客车种类 载客量/人 租金/元
甲x辆 45 400
乙（6-x）辆 30 280
设租用 x 辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是 x 的函数，
即y=400x+280(6-x)，化简为：y=120x+1680.
1
所以：y=120x+1680.（4≤x≤5 .）
6
方案一：当x=4时，即租用4辆甲种汽车，2辆乙种汽车
y=120×4+1680=2160.
方案二：当x=5时，即租用5辆甲种汽车，1辆乙种汽车
y=120×5+1680=2280.
由函数可知 y 随 x 增大而增大，所以 x = 4时， y 最小.
教师问：除了分别计算两种方案的租金外，还有其他选择方案的
方法吗？
10 / 15学生答：根据人数等其他变量来选择方案.
总结点拨：（出示课件22）
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从
中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据
问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数
学模型.
考点1：利用一次函数解答方案选择问题
某土产公司组织20辆相同型号的汽车装运甲、乙、丙三种土特
产共120吨去外地销售.按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装
运同一种土特产，且必须装满，并且丙种型号汽车车辆是甲种型号
汽车车辆的2倍，根据下表提供的信息，解答以下问题.（出示课件
23-24）
土特产种类 甲 乙 丙
每辆汽车运载量/吨 8 6 5
每吨土特产获利/百元 12 16 10
11 / 15(1)设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数
为y，求y与x之间的函数关系式；
(2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排
方案有几种？并写出每种安排方案；
(3)若要使此次销售获利最大，应采用(2)中哪种安排方案？并求
出最大利润的值.
师生共同讨论解答如下：
教师依次展示学生解答过程：
学生1解：(1)y与x之间的函数关系式为y＝20－3x；
学生2解：(2)由x≥3，y≥3，(20－x－y)≥3，
把y＝20－3x代入，可得x≥3，y＝20－3x≥3，
17
20－x－(20－3x)≥3，可得3≤x≤ ，
3
又∵x为正整数，
∴x＝3,4,5.故车辆的安排有三种方案，即：
方案一：甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆；
方案二：甲种4辆，乙种8辆，丙种8辆；
方案三：甲种5辆，乙种5辆，丙种10辆.
12 / 15学生3解：
(3)设此次销售利润为W元，
W＝8x·12＋6(20－3x)·16＋ 5· 2x · 10
＝－92x＋1920，
∵W随x的增大而减小，又x＝3,4,5.
∴当x＝3时，W ＝1 644(百元)＝16.44万元.
最大
答：要使此次销售获利最大，应采用(2)中方案一，即甲种3辆，
乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元.
出示课件27，学生自主练习后口答，教师订正.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么
样吧.
（三）课堂练习（出示课件28-41）
练习课件第28-41页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件42）
1.把实际问题转化为数学函数问题，列出函数关系式（建
立数学模型）.
解决方案问题步骤
2.通过解不等式或画函数图象的方式确定自变量的范围.
3.利用一次函数的增减性知识从而选择出最佳方案.
13 / 15（五）课前预习
预习下节课（24.1.1第1课时）的相关内容.
知道平均数和加权平均数的定义
七、课后作业
1、教材第131-132，133，134页练习.
2、培优练习23.4.
八、板书设计
23.4 实际问题与一次函数
1.一次函数的建模
2.怎样选取年卡套餐
3.怎样租车
4.例题讲解
九、教学反思
成功之处：本节课通过以生活中的实例问题为载体,以一次函数
的知识作为解题工具,把复杂问题通过分解转化为简单问题,思路清
晰而简练,突出重点,训练到位,体现了学生自主、合作、探究、交流
的学习方式,激发学生学习数学的兴趣,培养了学生运用数学知识解
14 / 15决实际问题的能力.
不足之处：在教学过程中,高估了学生的数学建模能力,由于试题
难度较大,基础不好的同学把实际问题转化成数学问题感到困难.
补救措施：适当增加学生交流的时间,练习时可以根据学生的基
础进行分层要求.
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