文档内容
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
学习目标：1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.
重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.
难点：理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.
自 主 学
习
一、知识链接
1.已知△AOB，作出绕O点旋转45°，60°的图形.
2.想一想 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：圆心角的定义
问题1 观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
第 1 页 共 6 页概念学习.顶点在圆心的角，叫做圆心角，如∠AOB.
判一判 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
如图,圆心角∠AOB 所对的弧为 .圆心角∠AOB所对的弦为AB.
想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？
探究点2：圆心角、弧、弦之间的关系
观察
1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到 什么结论呢？
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
问题1 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么， 与 ，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
问题2 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？
要点归纳：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等；
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同
圆或等圆中”去掉？为什么？
辨一辨
1.等弦所对的弧相等. ( )
2.等弧所对的弦相等. ( )
3.圆心角相等，所对的弦相等. ( )
第 2 页 共 6 页探究点3：圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用
典例精析
例1 如图，AB 是⊙O 的直径， ，∠COD=35°，求∠AOE 的度数.
例 2 (教材 P84 例 3)如图，在⊙O 中， ，∠ACB=60°，求证：
∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例3 如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， .求证：AB＝CD.
变式1 如图，在⊙O中，AD=BC，求证：DC=AB．
变式2 如图，在⊙O中，DC=AB，求证：AD=BC．
三、课堂小结
顶点在圆心的角
圆心角定义
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
的弧相等，所对的弦也相等；
弧、弦、圆心角的 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对
关系定理及推论 的圆心角相等，所对的弦也相等；
弧、弦、圆心角 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对
的圆心角相等，所对的弧也相等．
①要注意前提条件；
应用提醒 ②一条弦对应两条弧；
③要灵活转化.
当堂检
测
1.如果两个圆心角相等，那么 ( )
第 3 页 共 6 页A.这两个圆心角所对的弦相等
B.这两个圆心角所对的弧相等
C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D.以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 .
3.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
(1) 如果AB=CD，那么 ， ．
(2) 如果 ，那么_________， ．
(3) 如果∠AOB=∠COD，那么 ， ．
(4) 如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
4.已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．
5.如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且BD∥OC，求证： ．
能力提升：
如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么 成立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不成立，
那它们之间的关系又是什么？
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.解：图略；
2.解：是，对称中心为圆心.
第 4 页 共 6 页课堂探究
二、要点探究
探究点1：圆心角的定义
问题1： 顶点在圆心上
判一判
①②③不是圆心角，因为三个角的顶点均不在圆心上；④是圆心角，
探究点2:圆心角、弧、弦之间的关系
观察：1. 重合，圆是中心对称图形.
2. 重合，圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
问题1 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么 = ，弦AB=弦CD.
问题2 成立.
想一想 不能去掉；如图，显然， ＞ ，弦AB＞弦CD.
辨一辨：1.× 2.√ 3.×
探究点3:圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用
典例精析
例1 解：∵
，∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35°，∴∠AOE=180°-3×35°=75°.
例 2:
证明：
,∴ AB=AC．△ABC 是等腰三角形．
又∠ACB=60°，∴△ABC 是等边三角形，
AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例3：证明：∵ ，∴ ∴ ∴AB=CD.
变式1：证明：∵AD=BC，∴ .∴ ∴ ∴DC=AB.
变式2：证明：∵DC=AB，∴ ∴ ∴ ∴AD=BC.
当堂检测
1.D 2.60°
3.（1）
∠AOB=∠COD （2）AB =CD ∠AOB=∠COD
(3) AB=CD
（4）解：OE=OF.理由如下：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AE= AB，CF= CD.∵AB=CD，∴AE=CF.∵OA=OC，
∴Rt△AOE=Rt△COF.∴OE=OF.
4.证明：∵AB=CD（已知），∴
.
∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，
即∠AOC=∠BOD．
5.证明：∵OB=OD，∴∠D=∠B，∵BD∥OC，∴∠D=∠COD，∠AOC=∠B，
第 5 页 共 6 页∴∠AOC=∠COD，∴
能力提升
答： 成立，CD=2AB不成立.如图：取 的中点E，连接OE.
那么∠AOB=∠COE=∠DOE，所以 ∴ ，弦AB=CE=DE，
在△CDE中，CE+DE>CD，即CD＜2AB.
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