文档内容
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
教学目标：
1、理解圆心角的概念．
2、掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．
教学重难点：圆的性质的综合应用．
知识点一：圆的旋转不变性
圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
例题：如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合？
变式．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到
△A′B′C′，若 ，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
知识点二：圆心角定义：角的顶点在圆心的角
例题．如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于（ ）
A．50° B．55° C．65° D．80°
变式1．如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是 上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
变式2．已知弦AB把圆周分成2：3的两部分，则弧 所对圆心角的度数是（ ）
A．72° B．72°或144° C．144° D．144°或216°
知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推
二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
例题1．如图，在⊙O中 = ，∠AOB=40°，则∠COD的度数（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
例题2．如图，在⊙O中，已知 = ，则AC与BD的关系是（ ）
A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定
例题3．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是 的中点，则∠DAC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
变式1．如图所示，在⊙O中， ，∠A=30°，则∠B=（ ）A．150° B．75° C．60° D．15°
变式2．如图， = = ，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
变式3．如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且 ，则四边形
ABCD的周长等于（ ）
A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．16 cm
拓展点一：利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算或证明
例题1．如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是 上的点，E是 上的点，若∠BAC=50°．则
∠D+∠E=（ ）A．220° B．230° C．240° D．250°°
例题 2．如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C、D、E、F 在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则∠COF=
（ ）
A．90° B．100° C．108° D．120°
例题3．如图，AB是⊙O的直径，若∠COA=∠DOB=60°，等于线段AO长的线段有（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
变式1．如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是 ．变式2．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是 的中点，点P是直径AB上
一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是 ．
变式3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ．
变式4．如图，已知AB是⊙O的直径，PA=PB，∠P=60°，则弧CD所对的圆心角等于 度．
例题4．如图，在⊙O中， = ，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．
例题5．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB
的中点．求证：MC=NC．变式1．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点 A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：
BD=DE．
变式2．如图，AB是⊙O的直径，C，E是⊙O上的两点，CD⊥AB于D，交BE于F， = ．求证：
BF=CF．
拓展点二：垂径定理与圆心角、弧、弦之间关系的综合应用
例题1.如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）A．40° B．45° C．50° D．60°
例题2．如图，AB、AC是⊙O的弦，直径AD平分∠BAC，给出下列结论：① AB=AC；② = ；
③AD⊥BC；④AB⊥AC．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（ ）
A．AD=AB B．∠D+∠BOC=90° C．∠BOC=2∠D D．∠D=∠B
变式2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB=25°，则∠ADC的度数为（ ）A．65° B．55° C．60° D．75°
变式3．如图是小明完成的．作法是：取⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C引弦CD⊥AB．当C点在半
圆上移动时（C点不与A、B重合），∠OCD的平分线与⊙O的交点必（ ）
A．平分弧AB B．三等分弧AB
C．到点D和直径AB的距离相等 D．到点B和点C的距离相等
易错点：误认为同圆中弧及弧所对的弦有相同的倍数关系
例题．如图，⊙O中，如果∠AOB=2∠COD，那么（ ）
A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DCD．AB＞2DC
变式1．在同圆中，若AB=2CD，则 与 的大小关系是（ ）
A．AB＞2CDB．AB＜2CDC．AB=2CD D．不能确定变式2．如图，已知点A，B，C均在⊙O上，并且四边形OABC是菱形，那么∠AOC与2∠OAB之间的关
系是（ ）
A．∠AOC＞2∠OAB B．∠AOC=2∠OAB C．∠AOC＜2∠OAB D．不能确定
