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第 1 节 数列的概念与简单表示法
考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a ＞a
n＋1 n
项与项
递减数列 a ＜a 其中n∈N*
n＋1 n
间的大
常数列 a ＝a
n＋1 n
小关系
从第二项起，有些项大于它的前一项，
摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
如果数列{a }的第n项与 序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公
n
式叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a 与它
n
的前一项a (n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式
n－1
就叫做这个数列的递推公式.
1.若数列{a }的前n项和为S ，通项公式为a ，则a ＝
n n n n
2.在数列{a }中，若a 最大，则若a 最小，则
n n n
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( )
(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )
(4)如果数列{a }的前n项和为S ，则对任意n∈N*，都有a ＝S －S .( )
n n n＋1 n＋1 n
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.
(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.
(3)数列可以是常数列或摆动数列.2.(2022·湘豫名校联考)已知数列{a }满足：对任意m，n∈N*，都有a a ＝a ，
n n m n＋m
且a ＝2，那么a ＝( )
2 20
A.240 B.230 C.220 D.210
答案 D
解析 由a a ＝a ，a ＝2，得a ＝a a ＝a a a ＝a＝210.故选D.
n m n＋m 2 20 2 18 2 2 16
3.数列，，，，，…的通项公式是a ＝________.
n
答案 ，n∈N*
4.(易错题)已知数列{a }的前n项和为S ＝n2＋3，则{a }的通项公式为________.
n n n
答案 a ＝
n
解析 当n＝1时，a ＝S ＝4，
1 1
当n≥2时，a ＝S －S ＝2n－1，
n n n－1
又a ＝4不适合上式，
1
所以a ＝
n
5.若a ＝－n2＋9n＋10，则当数列{a }的前n项和S 最大时，n的值为________.
n n n
答案 9或10
解析 要使S 最大，只需要数列中正数的项相加即可，
n
即需a ＞0，－n2＋9n＋10＞0，得－1＜n＜10，
n
又n∈N*，所以1≤n＜10.
又a ＝0，所以n＝9或10.
10
6.已知a ＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{a }是递增数列，则实数λ的取值
n n
范围是________.
答案 (－3，＋∞)
解析 因为{a }是递增数列，所以对任意的 n∈N*，都有a ＞a ，即(n＋1)2＋
n n＋1 n
λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，
得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.
考点一 由a 与S 的关系求通项
n n
例1 (1)设数列{a }的前n项和为S ，已知S ＝a ，且a ＝1，则数列{a }的通项公
n n n n 1 n
式为________.答案 a ＝n
n
解析 由S ＝a ，得2S ＝(n＋1)a .
n n n n
所以2S ＝na (n≥2)，
n－1 n－1
所以2S －2S ＝(n＋1)a －na (n≥2)，
n n－1 n n－1
所以2a ＝(n＋1)a －na (n≥2)，
n n n－1
即(n－1)a ＝na (n≥2)，
n n－1
所以＝(n≥2)，
则＝(n≥2)，
∴数列是以＝1为首项的常数列.
因此a ＝n.
n
(2)设数列{a }的前n项和为 S ，数列{S }的前n项和为 T ，满足 T ＝2S －n2，
n n n n n n
n∈
N .
＋
①求a 的值；
1
②求数列{a }的通项公式.
n
解 ①令n＝1时，T ＝2S －1，
1 1
∵T ＝S ＝a ，∴a ＝2a －1，∴a ＝1.
1 1 1 1 1 1
②n≥2时，T ＝2S －(n－1)2，
n－1 n－1
则S ＝T －T
n n n－1
＝2S －n2－[2S －(n－1)2]
n n－1
＝2(S －S )－2n＋1
n n－1
＝2a －2n＋1.
n
因为当n＝1时，a ＝S ＝1也满足上式，
1 1
所以S ＝2a －2n＋1(n≥1)，
n n
当n≥2时，S ＝2a －2(n－1)＋1，
n－1 n－1
两式相减得a ＝2a －2a －2，
n n n－1
所以a ＝2a ＋2(n≥2)，
n n－1
所以a ＋2＝2(a ＋2)，
n n－1
因为a ＋2＝3≠0，
1
所以数列{a ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列.
n所以a ＋2＝3×2n－1，∴a ＝3×2n－1－2，
n n
当n＝1时也成立，
所以a ＝3×2n－1－2.
n
感悟提升 (1)已知S 求a 的常用方法是利用a ＝转化为关于a 的关系式，再求
n n n n
通项公式.
(2)S 与a 关系问题的求解思路
n n
方向1：利用a ＝S －S (n≥2)转化为只含S ，S 的关系式，再求解.
n n n－1 n n－1
方向2：利用S －S ＝a (n≥2)转化为只含a ，a 的关系式，再求解.
n n－1 n n n－1
训练1 (1)已知数列{a }中，S 是其前n项和，且S ＝2a ＋1，则数列的通项公式
n n n n
a ＝________.
n
(2)设数列{a }满足a ＋3a ＋…＋(2n－1)a ＝2n，则a ＝________.
n 1 2 n n
答案 (1)－2n－1 (2)
解析 (1)当n＝1时，a ＝S ＝2a ＋1，
1 1 1
∴a ＝－1.
1
当n≥2时，S ＝2a ＋1，①
n n
S ＝2a ＋1.②
n－1 n－1
①－②，S －S ＝2a －2a ，
n n－1 n n－1
即a ＝2a －2a ，
n n n－1
即a ＝2a (n≥2)，
n n－1
∴{a }是首项a ＝－1，q＝2的等比数列.
n 1
∴a ＝a ·qn－1＝－2n－1.
n 1
(2)因为a ＋3a ＋…＋(2n－1)a ＝2n，
1 2 n
故当n≥2时，a ＋3a ＋…＋(2n－3)a ＝2(n－1)，
1 2 n－1
两式相减得(2n－1)a ＝2，
n
所以a ＝(n≥2)，
n
又由题设可得a ＝2，满足上式，
1
故a ＝.
n
考点二 由数列的递推关系式求通项公式
角度1 累加法——形如a －a ＝f(n)，求a
n＋1 n n
例2 在数列{a }中，a ＝2，a ＝a ＋ln，则a 等于( )
n 1 n＋1 n nA.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n
C.2＋nln n D.1＋n＋ln n
答案 A
解析 因为a －a ＝ln
n＋1 n
＝ln(n＋1)－ln n，
所以a －a ＝ln 2－ln 1，
2 1
a －a ＝ln 3－ln 2，
3 2
a －a ＝ln 4－ln 3，
4 3
……
a －a ＝ln n－ln(n－1)(n≥2).
n n－1
把以上各式分别相加得a －a ＝ln n－ln 1，
n 1
则a ＝2＋ln n(n≥2)，且a ＝2也适合，
n 1
因此a ＝2＋ln n(n∈N*).
n
角度2 累乘法——形如＝f(n)，求a
n
例 3 在数列{a }中，a ＝a (n∈N*)，且 a ＝4，则数列{a }的通项公式 a ＝
n n＋1 n 1 n n
________.
答案
解析 由a ＝a ，得＝，
n＋1 n
故＝，＝，…，＝(n≥2)，
以上式子累乘得，＝··…···＝.
因为a ＝4，所以a ＝(n≥2).
1 n
因为a ＝4满足上式，所以a ＝.
1 n
角度3 构造法——形如a ＝Aa ＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求a
n＋1 n n
例4 (1)若a ＝1，a ＝2a ＋3，则通项公式a ＝________.
1 n＋1 n n
(2)(2022·衡水检测)设数列{a }的前 n 项和为 S ，已知 a ＝1，S －2S ＝1，
n n 1 n＋1 n
n∈N*，则数列{a }的通项公式为________.
n
答案 (1)2n＋1－3 (2)a ＝2n－1，n∈N*
n
解析 (1)设递推公式a ＝2a ＋3可以转化为a ＋t＝2(a ＋t)，即a ＝2a ＋
n＋1 n n＋1 n n＋1 n
t，解得t＝3.
故a ＋3＝2(a ＋3).
n＋1 n令b ＝a ＋3，则b ＝a ＋3＝4，
n n 1 1
且＝＝2.
所以{b }是以4为首项，2为公比的等比数列.
n
∴b ＝4×2n－1＝2n＋1，∴a ＝2n＋1－3.
n n
(2)因为S －2S ＝1，
n＋1 n
所以S ＝2S ＋1.
n＋1 n
因此S ＋1＝2(S ＋1)，因为a ＝S ＝1，S ＋1＝2，所以{S ＋1}是首项为2，公
n＋1 n 1 1 1 n
比为2的等比数列.
所以S ＋1＝2n，S ＝2n－1.
n n
当n≥2时，a ＝S －S ＝2n－1，a ＝1也满足此式，
n n n－1 1
所以a ＝2n－1，n∈N*.
n
感悟提升 (1)形如a ＝a ＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消
n＋1 n
去多少项，保留多少项.
(2)形如a ＝a ·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用a ＝
n＋1 n n
··…··a 代入求出通项.
1
(3)形如a ＝pa ＋q的递推关系式可以化为(a ＋x)＝p(a ＋x)的形式，构成新
n＋1 n n＋1 n
的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
(4)形如a ＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数
n＋1
列求解.
训练2 (1)已知数列{a }满足a ＝2，a －a ＝n(n≥2，n∈N*)，则a ＝________.
n 1 n n－1 n
(2)若数列{a }满足a ＝1，a ＝，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n 1 n＋1 n n
(3)已知数列{a }中，a ＝3，且点P (a ，a )(n∈N )在直线4x－y＋1＝0上，则
n 1 n n n＋1 ＋
数列{a }的通项公式a ＝________.
n n
答案 (1) (2) (3)×4n－1－
解析 (1)由题意可知，a －a ＝2，a －a ＝3，…，a －a ＝n(n≥2)，
2 1 3 2 n n－1
以上式子累加，得a －a ＝2＋3＋…＋n.
n 1
因为a ＝2，所以a ＝2＋(2＋3＋…＋n)
1 n
＝2＋＝(n≥2).
因为a ＝2满足上式，所以a ＝.
1 n
(2)因为a ＝，a ＝1，
n＋1 1所以a ≠0，所以＝＋，
n
即－＝.
又a ＝1，则＝1，
1
所以是以1为首项，为公差的等差数列.
所以＝＋(n－1)×＝＋，
所以a ＝.
n
(3)因为点P (a ，a )(n∈N )在直线4x－y＋1＝0上，
n n n＋1 ＋
所以4a －a ＋1＝0.
n n＋1
所以a ＋＝4.
n＋1
因为a ＝3，所以a ＋＝.
1 1
故数列是首项为，公比为4的等比数列.
所以a ＋＝×4n－1，
n
故数列{a }的通项公式为a ＝×4n－1－.
n n
考点三 数列的性质
角度1 数列的周期性
例5 (2022·衡水联考)若P(n)表示正整数n的个位数字，a ＝P(n2)－P(2n)，数列
n
{a }的前n项和为S ，则S ＝( )
n n 2 022
A.－1 B.0
C.1 009 D.1 011
答案 C
解析 由题意得a ＝－1，a ＝0，a ＝3，a ＝－2，a ＝5，a ＝4，a ＝5，a ＝
1 2 3 4 5 6 7 8
－2，a ＝－7，a ＝0，a ＝－1，a ＝0，…，所以数列{a }为周期数列，且周
9 10 11 12 n
期为10.因为S ＝5，所以S ＝5×202＋(－1)＋0＝1 009.
10 2 022
角度2 数列的单调性
例6 已知数列{a }的通项公式为a ＝，若数列{a }为递减数列，则实数k的取值
n n n
范围为( )
A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)
答案 D
解析 因为a －a ＝－＝，由数列{a }为递减数列知，对任意n∈N*，a －a
n＋1 n n n＋1 n＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).故选D.
角度3 数列的最值
例7 已知数列{a }的通项公式为a ＝，则数列中的最大项为________.
n n
答案
解析 法一 a －a ＝－＝·，
n＋1 n
当n＜8时，a －a ＞0，即a ＞a ；
n＋1 n n＋1 n
当n＝8时，a －a ＝0，即a ＝a ；
n＋1 n n＋1 n
当n＞8时，a －a ＜0，即a ＜a .
n＋1 n n＋1 n
则a ＜a ＜a ＜…＜a ，a ＝a ，a ＞a ＞a ＞…，故数列{a }中的最大项为第8
1 2 3 8 8 9 9 10 11 n
项和第9项，且a ＝a ＝＝.
8 9
法二 设数列{a }中的第n项最大，
n
则
即解得8≤n≤9.
又n∈N*，则n＝8或n＝9.
故数列{a }中的最大项为第8项和第9项，且a ＝a ＝.
n 8 9
感悟提升 1.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过
观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
2.求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确
定最大(小)项，否则，利用作差法.
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项.
训练3 (1)已知数列{a }的通项公式是a ＝，那么这个数列是( )
n n
A.递增数列 B.递减数列
C.摆动数列 D.常数列
(2)(2021·崇左二模)数列{a }满足：a ＝a ＝1，a ＝a ＋a (n≥3，n∈N*).将数
n 1 2 n n－1 n－2
列{a }的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列{b }，则b ＝( )
n n 21
A.1 B.2 C.3 D.0
(3)在数列{a }中，a ＝(n＋1)，则数列{a }的最大项是第________项.
n n n
答案 (1)A (2)B (3)6或7
解析 (1)a －a ＝－＝＞0，∴a ＞a ，∴选A.
n＋1 n n＋1 n(2)∵数列{a }满足a ＝a ＝1，a ＝a ＋a (n≥3，n∈N*).
n 1 2 n n－1 n－2
∴a ＝2，a ＝3，a ＝5，a ＝8，a ＝13，a ＝21，a ＝34，a ＝55，a ＝89，
3 4 5 6 7 8 9 10 11
数列{a }的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列{b }为1，1，2，3，1，
n n
0，1，1，2，3，1，…，
可得数列{b }构成一个周期为6的数列.
n
∴b ＝b ＝2.
21 3
(3)＝＝×≥1.
得n≤6，即当n≤6时，a ≥a ，
n＋1 n
当n＞6时，a ＜a ，∴a 或a 最大.
n＋1 n 6 7
用不动点法求数列的通项
若数列{a }的递推公式为a ＝f(a )，把此式中的a 、a 均换成x得方程x＝
n n＋1 n n＋1 n
f(x).我们把方程x＝f(x)的实数根x称为数列{a }的不动点.利用数列的非零不动点，
n
即可简便快捷地求出数列{a }的通项公式.
n
(1)若f(x)＝ax＋b(a≠0，1)，p是f(x)的不动点.数列{a }满足a ＝f(a )，则a
n n＋1 n n＋1
－p＝a(a －p)，即{a －p}是公比为a的等比数列.
n n
(2)设f(x)＝(c≠0，ad－bc≠0)，数列{a }满足a ＝f(a )，a ≠f(a ).若f(x)有两个
n n＋1 n 1 1
相异的不动点p，q，则＝k·.
例 (1)在数列{a }中，a ＝1，a ＝a ＋1，求数列{a }的通项公式.
n 1 n＋1 n n
(2)若a ＝－1，a ＝(n∈N*，且n≥2)，求数列{a }的通项公式.
1 n n
(3)设数列{a }满足8a a －16a ＋2a ＋5＝0(n∈N*)，且a ＝1，记b ＝.求数列
n n＋1 n n＋1 n 1 n
{b }的通项公式.
n
解 (1)设f(x)＝x＋1，
令f(x)＝x，即x＋1＝x，得x＝2，
∴x＝2是函数f(x)＝x＋1的不动点，
∴a －2＝(a －2)，
n＋1 n
∴数列{a －2}是以－1为首项，以为公比的等比数列，
n
∴a －2＝－1×，
n
∴a ＝2－，n∈N*.
n
(2)由x＝得{a }有两个相同的非零不动点1，
n
则a －1＝－1＝.
n两边取倒数得＝＝－1.
∴是以＝－为首项，－1为公差的等差数列，
故当n≥2时，＝－＋(n－1)·(－1)＝－n.
∴a ＝.
n
又a ＝－1也满足上式.
1
∴{a }的通项公式为a ＝.
n n
(3)由已知得a ＝，
n＋1
由方程x＝，
得不动点x ＝，x ＝.
1 2
∴＝＝·，
∴数列是首项为－2，公比为的等比数列，
∴＝－2×＝－，
解得a ＝.
n
故b ＝＝，n∈N*.
n1.数列{a }的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项可能是( )
n
A.a ＝ B.a ＝
n n
C.a ＝ D.a ＝
n n
答案 A
解析 数列为，，，，，…，其分母为2，
分子可表示为1＋5(n－1)＝5n－4，
因此通项公式可能为a ＝.
n
2.下列四个命题中不正确的是( )
A.数列的第k项为1＋
B.已知数列{a }的通项公式为a ＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项
n n
C.数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a ＝2n－1
n
D.数列{a }的通项公式为a ＝，n∈N*，则数列{a }是递增数列
n n n
答案 C
解析 对于A，数列的第k项为1＋，A正确；
对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；
对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该
数列为{b }，则其通项公式为b ＝2n(n∈N*)，因此数列3，5，9，17，33，…的
n n
一个通项公式为a ＝b ＋1＝2n＋1(n∈N*)，C错误；
n n
对于D，a ＝＝1－，则a －a ＝－＝＞0，因此数列{a }是递增数列，D正确.
n n＋1 n n
3.记S 为数列{a }的前n项的和，若S ＝2a ＋1，则S ＝( )
n n n n 6
A.31 B.－31 C.63 D.－63
答案 D
解析 当n≥2时，a ＝S －S ＝2a ＋1－(2a ＋1) a ＝2a ，
n n n－1 n n－1 n n－1
当n＝1时，a ＝S ＝－1，∴数列{a }是首项为－1，公比为2的等比数列，
1 1 n ⇒
∴a ＝－1×2n－1＝－2n－1，
n
∴S ＝＝－63.
6
4.(2022·驻马店月考)已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝6，S ＝(n∈N*).则数列
n n 2 n{a }的通项公式为( )
n
A.a ＝3n B.a ＝3n
n n
C.a ＝n＋4 D.a ＝n2＋2
n n
答案 A
解析 当n＝1时，S ＝a ；
1 1
当n≥2时，由S ＝可得S ＝，
n n－1
上述两式作差得a ＝，
n
整理可得(n－1)a ＝na ，
n n－1
∴＝.
由累乘法可得a ＝a ···…·
n 2
＝6×××…×＝3n.
因此，a ＝3n(n∈N*).
n
5.已知数列{a }满足a ＝1，a ＝(n∈N*).若b ＝log ，则数列{b }的通项公式b
n 1 n＋1 n 2 n n
＝( )
A.n B.n－1
C.n D.2n
答案 C
解析 由a ＝，得＝1＋，所以＋1＝2，又＋1＝2，所以数列是首项为2，公
n＋1
比为2的等比数列，
所以＋1＝2·2n－1＝2n.
所以b ＝log ＝log 2n＝n.
n 2 2
6.(2021·潍坊质检)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔
子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)
＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等
领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a }，则数列
n
{a }的前2 022项的和为( )
n
A.674 B.673 C.1 348 D.2 020
答案 C
解析 由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，
可得{a }为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，
n所以{a }是周期为3的数列，
n
一个周期中三项和为1＋1＋0＝2，
又2 022＝674×3，
所以数列{a }的前2 022项的和S ＝674×2＝1 348.
n 2 022
7.(2021·大连一模)已知数列{a }的首项a ＝1，前n项和为S ，且满足2a ＋S
n 1 n n＋1 n
＝2(n∈N*)，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n n
答案
解析 因为2a ＋S ＝2，①，
n＋1 n
当n≥2时，2a ＋S ＝2，②，
n n－1
①式减②式得a ＝a ，
n＋1 n
又当n＝1时，2a ＋S ＝2，a ＝，
2 1 2
所以数列{a }是以1为首项，公比为的等比数列，a ＝.
n n
8.已知数列{a }的通项公式a ＝，若a ·a ·…·a ≤a ·a ·…·a 对n∈N*恒成立，则
n n 1 2 n 1 2 k
正整数k的值为________.
答案 5
解析 a ＝，当n≤5时，a >1；当n≥6时，a <1，
n n n
由题意知，a ·a ·…·a 是{a }的前n项乘积的最大值，所以k＝5.
1 2 k n
9.(2022·北京昌平区模拟)设数列{a }的前 n 项和为 S ，且∀n∈N*，a ＞a ，
n n n＋1 n
S ≥S .请写出一个满足条件的数列{a }的通项公式a ＝________.
n 6 n n
答案 n－6(n∈N*)(答案不唯一)
解析 ∀n∈N*，a ＞a ，则数列{a }是递增的，
n＋1 n n
n∈N*，S ≥S ，即S 最小，
n 6 6
只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，
∀
所以，满足条件的数列{a }的一个通项公式a ＝n－6(n∈N*)(答案不唯一).
n n
10.已知数列{a }的前n项和为S ，求数列{a }的通项公式.
n n n
(1)S ＝2n－1，n∈N*；
n
(2)S ＝2n2＋n＋3，n∈N*.
n
解 (1)∵S ＝2n－1(n∈N*)，
n
∴当n＝1时，a ＝S ＝2－1＝1；
1 1
当n≥2时，a ＝S －S ＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.
n n n－1经检验，当n＝1时，符合上式，
∴a ＝2n－1(n∈N*).
n
(2)∵S ＝2n2＋n＋3(n∈N*)，
n
∴当n＝1时，a ＝S ＝2×12＋1＋3＝6；
1 1
当n≥2时，a ＝S －S ＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1.
n n n－1
经检验，当n＝1时，不符合上式，
∴a ＝
n
11.已知数列{a }中，a ＝1，其前n项和为S ，且满足2S ＝(n＋1)a (n∈N*).
n 1 n n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)记b ＝3n－λa，若数列{b }为递增数列，求λ的取值范围.
n n
解 (1)∵2S ＝(n＋1)a ，
n n
∴2S ＝(n＋2)a ，
n＋1 n＋1
∴2a ＝(n＋2)a －(n＋1)a ，
n＋1 n＋1 n
即na ＝(n＋1)a ，∴＝，
n＋1 n
∴＝＝…＝＝1，
∴a ＝n(n∈N*).
n
(2)b ＝3n－λn2.
n
b －b ＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
n＋1 n
＝2·3n－λ(2n＋1).
∵数列{b }为递增数列，
n
∴2·3n－λ(2n＋1)＞0，即λ＜.
令c ＝，
n
即＝·＝＞1.
∴{c }为递增数列，∴λ＜c ＝2，
n 1
即λ的取值范围为(－∞，2).
12.已知各项均为正数的数列{a }满足a －a ＝2n，a ＝13，则取最小值时，n＝
n n＋1 n 1
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B解析 由a －a ＝2n得，
n＋1 n
当n＝1时，a －a ＝2×1，
2 1
当n＝2时，a －a ＝2×2，
3 2
…，
第n－1项，a －a ＝2(n－1)，
n n－1
累加可得a －a ＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，
n 1
∴a ＝n2－n＋13，
n
∴＝n＋－1≥2－1，当且仅当n＝时取等号，又n∈N*，
∴当n＝3时，＝；
当n＝4时，＝，
所以n＝4时，取得最小值.
13. (2021·西安质检)已知数列{a }满足21·a ＋22·a ＋23·a ＋…＋2n·a ＝(n－1)·2n＋1
n 1 2 3 n
＋2(n∈N*)，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n n
答案 n
解析 ∵2a ＋22a ＋23a ＋…＋2n－1a ＋2na ＝(n－1)·2n＋1＋2，
1 2 3 n－1 n
∴2a ＋22a ＋23a ＋…＋2n－1a
1 2 3 n－1
＝(n－2)·2n＋2(n≥2)，
两式相减，得2na ＝n·2n，
n
即a ＝n(n≥2)，
n
又a ＝1适合a ＝n，
1 n
故a ＝n(n∈N*).
n
14.已知数列{a }中，a ＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0).
n n
(1)若a＝－7，求数列{a }中的最大项和最小项的值；
n
(2)若对任意的n∈N*，都有a ≤a 成立，求a的取值范围.
n 6
解 (1)∵a ＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
n
又a＝－7，∴a ＝1＋(n∈N*).
n
结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a >a >a >a ，a >a >a >…＞a >1(n∈N*).
1 2 3 4 5 6 7 n
∴数列{a }中的最大项为a ＝2，最小项为a ＝0.
n 5 4
(2)a ＝1＋＝1＋，
n
已知对任意的n∈N*，都有a ≤a 成立，
n 6结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知5<<6，即－10
