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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
【提升训练】
一、单选题
1．在平面直角坐标系中， 经过点 、 ， 与 轴相切于点 ，则点 的坐标是
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
2．设O为坐标原点，点A、B为抛物线 上的两个动点，且 ．连接点A、B，过O作
于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
3．如图，在 中， ， ， ，以边 的中点 为圆心，作半圆与 相切，
点 ， 分别是边 和半圆上的动点，连接 ，则 长的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形 的顶点A、D在⊙O上，边 与⊙O相切，若正方形 的周长记为 ，⊙O的周长记为 ，则 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
5．如图， 是 的直径，点C为 外一点， ， 分别与 相切于点A，点D，连结 ，
．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 中， 切 于点 ，连接 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
连接 ．若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝120°，则∠BAC的度数是（
）A．75° B．70° C．65° D．60°
8．如图， 是 的直径， 是 的切线， ， 交 于点 ， 是 上一点，
延长 交 于点 ，则 的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
9．如图，在 中， 平分 ，使用尺规作射线 ，与 交于点 ，下列判断正确的是（
）
A． 平分 B．
C．点 是 的内心 D．点 到点 ， ， 的距离相等
10．下列五个说法：①近似数3.60万精确到百分位；②三角形的外心一定在三角形的外部；③内错角相等；④90°的角所对的弦是直径；⑤函数 的自变量x的取值范围是 且 ．其中正确的个
数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．如图， 是⊙O的直径， 交⊙O于点 ， 于点 ，下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 是⊙O的切线 B．若 ，则 是⊙O的切线
C．若 ，则 是⊙O的切线 D．若 是⊙O的切线，则
12．如图，AB是 的直径，PA与 相切于点A， 交 于点C．若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，已知 上三点 、 、 ，连接 、 、 、 ，切线 交 的延长线于点
， ，则 的度数为（ ）A．20° B．30° C．40° D．50°
14．如图， 为 的直径，直线 与 相切于点 ，直线 交 于点 、交 于点 ，
连接 、 ，则下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则 平分 ； B．若 平分 ，则 ；
C．若 ，则 平分 ； D．若 ，则 ．
15．如图， 中， ，它的周长为16，若圆O与BC，AC，AB三边分别切于E，
F，D点，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．616．如图， 为 的直径，C为圆上一点，过点C的切线与直径 的延长线交于点D，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有
两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
18．如图，点 为 的内心， ， ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
19．如图， 是 的切线，切点为 ， 的延长线交 于点 ，点 为 上的动点，若，则 等于（ ）
A．115° B．110° C．105° D．100°
20．如图， ， 是⊙O的切线，切点为 、 ，点 为优弧 上一点，且 ，若
．则 等于（ ）
A．100° B．15° C．20° D．25°
21．如图， 和 是 的两条切线， ， 为切点，点 在 上，点 ， 分别在线段 和
上，且 ， ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
22．已知 ， ， 是等圆， 内接于 ，点C，E分别在 ， 上．如图，①以C为圆心， 长为半径作弧交 于点D，连接 ；②以E为圆心， 长为半径作弧交 于点
F，连接 ；下面有四个结论：① ；② ；③
；④ ，所有正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．如图， 中， 截 的三条边所截得弦长相等，则 （ ）．
A． B． C． D．
24．如图，⊙O的半径为2，弦AB平移得到CD（AB与CD位于点O两侧），且CD与⊙O相切于点E．
若 的度数为120°，则AD的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．325．如图，在 中， 是 外一点， 与 相切于 两点， 是 上两点，若
，则 （ ）
A．210° B．215° C．220° D．225°
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，
M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
27．如图， 为 的直径，直线 与 相切于点 ，点 为半圆弧 的中点，连接 交
于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
28．如图，已知点 为勾股形 （我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中 为
直角，点 、 、 分别在边 、 、 上， ，若 ，
，则正方形 的面积是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．16
29．如图， 是 的直径， ， ， 交 于点 ，交 于点 ， 与
相切于点 ，交 于点 ， 与 相交于点 ．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
30．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两
弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是
（ ）A．直线MN是线段BC的垂直平分线
B．点D为△ABC的外心
C．∠ACB＝90°
D．点D为△ABC的内心
二、填空题
31．如图，在 中， ，以AD为直径的 与BC相切于点E，连接OC．若 ，
则 的周长为____________．
32．如图， 是 外一点， 、 是 的两条切线，切点分别为 、 ，若 为 ，点 在
上（不与 、 重合），则 ______ ．
33．如图， 与 的边 相切，切点为 ．将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，使点 落在 上，边 交线段 于点 ．若 ，则 ______度．
34．如图， ， 分别是 的直径和弦， ，交 于点 ．过点 作 的切线与
的延长线交于点 ，若 ， ，则 的长__________．
35．已知在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 是抛物线 对称轴上的
一个动点．小明经探究发现：当 的值确定时，抛物线的对称轴上能使 为直角三角形的点 的个
数也随之确定．若抛物线 的对称轴上存在3个不同的点 ，使 为直角三
角形，则 的值是____．
三、解答题
36．已知：在 中， 为直径， 为射线 上一点，过点 作 的切线，切点为点 ， 为弧上一点，连接 、 、 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若四边形 为平行四边形， ，求 的半径．
37．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D， 于点F，连接OF，且
．
（1）求证：DF是 的切线；
（2）求线段OF的长度．
38．如图， 、 分别是 的直径和弦，弦 与 、 分别相交于点 、 ，过点 的切线
与 的延长线相交于点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径长．39．如图，⊙O的内接四边形ABCD的两条对角线相交于点E，两组对边的延长线分别相交于点F，G，且
∠F=67.5°，∠G=22.5°， ，边AB过圆心O．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）若AB=2，则CE•CA的值等于多少？
40．如图， 与等边 的边 ， 分别交于点 ， ， 是直径，过点 作 于
点 ．（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 ，当 是 的切线时，求 的半径 与等边 的边长 之间的数量关系．
41．如图1， 中， ，半径为r的 经过点A且与 相切，切点M
在线段 上（包含点M与点B、C重合的情况）．
（1）半径r的最小值等于________：
（2）设 ，求半径r关于x的函数表达式；
（3）当 时，请在图2中作出点M及满足条件的 ．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）
42．如图，在 中， ，以AB为直径的 交BC于点D．过点D作 的切线DE，交
AC于点E，AC的延长线交 于点F．（1）求证： ．
（2）若 ， ．求 的半径．
43．如图， 是 外接圆的直径，O是圆心， 的平分线交 于点D．
（1）若 的半径为5， ，求 ．
（2）若 ，求 ．
（3）探究，直接写出三条线段 之间的数量关系．
44．如图， 为 的直径， ， 为 上不同于 ， 的两点，过点 作 的切线 交直线
于点 ，直线 于点 ．（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，且 ，求 的半径．
45．如图， 是 的直径， 过 的中点D， 切 于点D，交 于点E．
（1）求证： ．
（2）若 的半径为5， ，求 的长度．
46．已知如图， ABC是边长为8的等边三角形，以A为圆心，2为半径作半圆A，交BA所在直线于点
M，N．点E是半△圆A上任意一点，连接BE，把BE绕点B顺时针旋转60°到BD的位置，连接ED．
（1）求证： EBA≌△DBC．
△
（2）当ED＝2 时，判断BE与半圆A的位置关系，并说明理由．
（3）直接写出 BCD面积的最大值．
△
47．如图，已知 的直径 ，点 是 上一个动点（不与点 、 重合），切线 交 的
延长线于点 ，连结 、 、 ．（1）请添加一个条件使 ，并说明理由．
（2）若点 关于直线 的对称点为 ．
①当 ______度时，四边形 为菱形；
②当 ______时，四边形 为正方形．
48．如图，在 中， ，点 是边 的中点，点 是边 上的点，以 为圆心，
为半径的 交 ， ， 于点 ， ， ，且点 是弧 的中点，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
49．如图，A，B是 上两点，且 ，连接OB并延长到点C，使 ，连接AC．（1）求证：AC是 的切线．
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交 于点F，G， ，求GF的长．
50．如图， 是 的直径， 是圆上一点，弦 于点 ，且 ．过点 作 的切
线，过点 作 的平行线，两直线交于点 ， 的延长线交 的延长线于点 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）连接 ，若 ，求 的长．
51．如图， 是 的内接三角形， 是 的直径，点 是 的中点， 交 的延
长线于点 ．（1）求证：直线 与 相切；
（2）若 的直径是10， ，求 的长．
52．如图， 是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是 的中点，E为 延长线上一点，且
与 交于点H，与 交于点F．
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）若直径 的长为 ，求 的长．
53．如图，已知 ， ， 为 的直径，斜边 交 于点 ， 平分
， 于点 ， 的延长线与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）连结 ，若半径为3， ，求 的长．
54．如图，在 中， ，AE 平分 交BC于点E，点D在AB上， ．是 的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是 的切线；
（2）若 的半径为5， ，求 ．
55．如图，平行四边形ABCD的边AD与经过A，B，C三点的⊙O相切
（1）求证：点A平分 ；
（2）延长DC交⊙O于点E，连接BE，若BE＝4 ，⊙O半径为13，求BC的长．
56．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线
于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝ ，求劣弧BC的长．
57．如图，在 中， 于点O， 于点E，以点O为圆心， 的长为半径作圆，交 于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）已知点H为 上一点， 的半径为 ，求弦 的长．
58．如图1， 是 的内接三角形，点A在弧 上运动．
（1）若 且 ．
① 的半径为_______；②设点A到 的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值
范围．
（2）如图2， 是 的一个外角， 、 的平分线分别交 于点E、F．若连接
E、F，则 与 有怎样的关系？请说明理由．
59．已知，在 中点， 在 上，点 在 上， 与 交于点 ，
．
（1）如图，若 ， ， ，则 ____________︒；（直接写出答案）
（2）如图，若 ，求证： ；
（3）如图，若 ， ，点 为 的中点，则 的最小值为_______________．（直
接写出答案）
60．平面直角坐标系 中，我们把两点 ， 的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和叫做点 与点 之间的勾股值，记为 ，即 ；
（1）已知，点 ， ， ，直接写出 ， 的值；
（2）若点 在一次函数 的图象上，且 ，求点 的坐标；
（3）已知，点 是满足条件 的所有 点所组成图形上的任意一点， 是半径为 的 上的
任意一点， 表示 的最小值．若 ，直接写出半径 的取值范围．
