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2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷
数学•全解全析
第一部分（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.)
1．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A． 的被开方数是负数，故不是二次根式；
B． 是二次根式；
C． 的根指数是3，故不是二次根式；
D．当a，b异号时， 不是二次根式；
故选：B．
2．下列各数能构成直角三角形三边的是（ ）
A．1、2、 B．2、3、4 C． 、 D．4、5、6
【答案】A
【详解】解：A、∵ ，
∴1、2、 可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意；
B、∵ ，
∴2、3、4不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意；
C、∵ ，
∴ 、 不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意；
D、∵ ，
∴4、5、6不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．如图，平行四边形 中， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ∵
∴ ，
故选：C
∴
4．用配方法解一元二次方程 时，此方程可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项符合题意；
故选：D．
6．如图是 方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意可得该阴影正方形的边长为： ，
故选：A．
7．在 中，面积为12，底边长为 ，则该底边上的高为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 的面积为 ，底边为 ，
底边上的高为 ．
故选：B．
8．某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩（各项成绩均按百分计）如下表所示：
书面测 实际操 宣传展
项目
试 作 示
成绩/分 95 97 95
若按书面测试占 、实际操作占 、宣传展示占 计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小明的
综合成绩是（ ）
A．94分 B．95分 C．96分 D．97分
【答案】C
【详解】小明的综合成绩为： 分，
故选：C．
9．若关于 的一元二次方程 有一个根为0，则 的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．1或
【答案】A
【详解】解：将 代入方程 ，
得： ，即 ，
解得 ，
方程为一元二次方程，
二次项系数 ，即 ，
，
故选A．
10．已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【详解】解： ，
当 ， 时，， ，
原式 ．
故选：D．
11．为促进消费，重庆市政府发放政府补贴“消费券”．某超市的月销售额逐步增加，据统计，4月份的
销售额为300万元，接下来5月、6月的月增长率相同，6月份的销售额为600万元，若设5月、6月每月
的增长率为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题知， ，
故选：C．
12．一次函数 与 的图象如图所示，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，即： ，
根据图像知：当 时， ，
∴ 的解集为 ．
故选：A．
第二部分（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.)
13．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由题意得： ，解得 ，
故答案为： ．
14．一次函数 过第四象限，且 随 的增大而增大，请写出一个符合条件的整数 的值：
．
【答案】2（或3）
【详解】解：∵一次函数 过第四象限，且 随 的增大而增大，
∴ ，
解得： ，
∴符合条件的整数 的值有2或3．
故答案为：2（或3）
15．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ， ．现将直角边 沿直线 折叠，
使它落在斜边 上，且与 重合，则 的长等于 ．
【答案】3
【详解】解∶∵ ， ， ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为：3．
16．定义新运算 ，则方程 的解是 ．
【答案】 或
【详解】解：根据题意 ，即 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本题8分）计算下列各题．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（本题7分）如图，铁路上A，B两点相距 ，C，D两点为两村庄， 于点A，
于点B，已知 ， ，现在要在铁路 上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站
的距离相等，则E站应建在距A点多少千米处？
【答案】 站应建在离 站 处．
【详解】解： ， 两村到 站的距离相等．
，
于 ， 于 ，
，
， ，
，
设 ，则 ，
， ，
，
解得： ，．
答： 站应建在离 站 处．
19．（本题8分）老李是广西灵山的一名荔枝果农，想要通过快递将荔枝销往全国各地．经过初步了解，
老李打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此老李收集了10户果农对两家快递公司的配送速度以
及服务质量评分情况，信息如下：
信息一：配送速度得分（满分10分）：
甲
乙
信息二：服务质量得分统计图：
信息三：配送速度和服务质量得分统计表：
服务质量得
项目 配送速度得分
分
快递公 平均 中位 众 平均 方
司 数 数 数 数 差
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的 ________， ________， ________．
(2)综合表中的统计量，你认为老李应选择哪家公司？请任选两个统计量说明理由．
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即可）
【答案】(1) ， ，
(2)老李应选择甲公司，理由见解析
(3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一）
【详解】（1）解：乙公司配送速度得分从小到大排列为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
一共 个数据，其中第 个与第 个数据分别为 ， ，所以中位数 ，
甲公司配送速度得分 出现的次数最多，所以众数 ；
乙公司服务质量的平均分为：
故答案为： ， ， ；
（2）老李应选择甲公司
理由如下：服务质量得分甲和乙的平均数相同，从折线统计图中可以看出，甲的数据波动更小，数据更稳
定，即 ．老李应选择甲公司；（答案不唯一）
（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一，言之有理即可）．
20．（本题8分）在四边形 中， ，点 在 边上， ，过点 作 ，交
的延长线于点 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)连接 交于点 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明： ，
，
，
四边形 是平行四边形．
，
平行四边形 是菱形；
（2）解： 四边形 是菱形，
，
．
在 中， ，
根据勾股定理，得 ，
．21．（本题9分）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 和点 ，
与 轴交于点 ．
(1)求该函数的解析式及点 的坐标；
(2)求 的面积．
【答案】(1) ，
(2)6
【详解】（1）解：把点 和点 代入 ，得
，解得 ，
∴该函数的解析式为 ，
当 时， ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：
．22．（本题9分）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如
图，点 是自来水管的位置，点 和点 分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置， 两处相距
12米， 、 两处相距16米， 、 两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）
班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段 、 铺设2段水管；
八（2）班方案：过点 作 于点 ，沿线段 ， ， 铺设3段水管；
(1)求证： ；
(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
【答案】(1)见解析
(2)选择八（1）班的方案，理由见解析
【详解】（1）证明：由题意可得： ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）解：选择八（1）班的方案，理由如下：
∵ ，
∴ ，
则按照八（1）班方案：沿线段 、 铺设2段水管，需要铺设水管的总长度为
；按照八（2）班方案：沿线段 ， ， 铺设3段水管，需要铺设水管的总长度为
，
∵ ，
∴从节约水管的角度考虑，应该选择八（1）班的铺设方案．
23．（本题11分）在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次
根式的运算规律，请将探究过程补充完整：
先观察下列等式，再回答下列问题：
① ；
② ；
③ ．
…………
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第 个等式（ 为正整数）；
(3)【应用规律】计算： ．
【答案】(1) ，验证见解析
(2)
(3)
【详解】（1）解：① ；
② ；
③ ，
故 ．
验证： .（2）解：∵① ；
② ；
③ ．
…………
∴按照上面各等式反映的规律，第 个等式（ 为正整数）为
．
（3）解：
．
24．（本题12分）阅读与思考
问题情境：
如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离．
可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪．
方法分析：
“圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出 的长和 的度数；
作 ；在射线 上找一点D，使 ；测出 的长度，就可得到A，B两点间的距离．
“智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接 ， ；分别取 ，
的中点D，E，测出 的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离．
说明：以上各点都在同一水平面内．（1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组
通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ．
迁移应用：
（2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求：
①在图1中画出可操作的方案图；
②简要说明你的操作步骤；
③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ．
【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见
解析；③全等三角形对应边相等
【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等；
“智慧”小组：∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴“智慧”小组通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第
三边的一半；
（2）①如图，
②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接 ，并分别延长 至点D， 至点E，使， ，最后量出 的距离就是 的距离；
③在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等．
