文档内容
第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
第2课时 画树状图法求概率
学习目标：1.进一步理解等可能事件概率的意义.
2.学习运用树形图计算事件的概率.
3.会正确用画树状图法求出所有可能出现的结果，并计算事件的概率.
重点：会运用树形图计算事件的概率．
难点：会正确用画树状图法求出所有可能出现的结果，并计算事件的概率．
自 主 学
习
一、知识链接
1.什么是列举法？列举一次试验可能出现的所有结果时，学过哪些方法？
2. 用列表法求概率
(1)一口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有1，2，3，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机摸出
一个小球，求出两次摸取的小球的标号之和是奇数的概率.
(2) 若上题中摸出一球后不放回，再随机摸出一球，标号之和是奇数的概率是多少？
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：利用画树状图法求概率
问题1 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面向上的概率是_______.
问题2 同时抛掷两枚均匀的硬币，出现正面向上的概率是_______;一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上
的概率是 .
要点归纳：树状图的画法
如一个试验中涉及2个因素，第一个因素中有2种可能情况；第二个因素中有3种可能的情况.则其树形图
如下图：
树状图法：按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果.
第 1 页 共 8 页合作探究
活动：石头、剪刀、布
同学们：你们玩过“石头、剪刀、布”的游戏吗，小明和小华正在兴致勃勃的玩这个游戏，你想一想，这个游
戏中有概率的知识吗？
问题：尝试用树状图法列出小明和小华所玩游戏中所有可能出现的结果，并求出事件A，B，C的概率.
A：“小明胜” B：“小华胜” C：“平局”
归纳总结： 画树状图求概率的基本步骤
（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；
（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；
（3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；
（4）用概率公式进行计算.
典例精析
例1 甲口袋中装有2个相同的，它们分别写有字母A和B，乙口袋中装3个相同的小球，它们分别写有字
母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的，它们分别写有字母H和I，从三个口袋中各随机取出1个小球.
(1) 取出的3个小球上恰好有1个、2个、3个元音字母的概率分别是多少？
(2) 取出的3个小球上全部是辅音字母的概率是多少？
例2 某班有1名男生、2名女生在校文艺演出中获演唱奖，另有2名男生、2名女生获演奏奖.从获演唱奖和
演奏奖的学生中各任选一人去领奖，求两人都是女生的概率.
方法总结：计算等可能情形下概念的关键是确定所有可能性相等的结果总数n和求出事件A发生的结果总
数m，“树状图”能帮助我们有序的思考，不重复，不遗漏地得出n和m.
例3 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的
一人，如此传球三次.
(1)写出三次传球的所有可能结果(即传球的方式)；
(2)指定事件A：“传球三次后，球又回到甲的手中”，写出A发生的所有可能结果;
(3)求P(A).
思考 你能够用列表法写出3次传球的所有可能结果吗？
方法总结：当试验包含两步时，列表法比较方便；当然，此时也可以用树形图法；当事件要经过多个(三个或
第 2 页 共 8 页三个以上)步骤完成时，应选用树状图法求事件的概率.
练一练
1.现在学校决定由甲同学代表学校参加全县的诗歌朗诵比赛，甲同学有3件上衣，分别为红色(R)、黄色(Y)、
蓝色(B)，有2条裤子，分别为蓝色(B)和棕色(b)．甲同学想要穿蓝色上衣和蓝色裤子参加比赛，你知道甲同
学任意拿出1件上衣和1条裤子，恰好是蓝色上衣和蓝色裤子的概率是多少吗？
2.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过
这个十字路口时，下列事件的概率：
(1) 三辆车全部继续直行；
(2) 两车向右，一车向左；
(3) 至少两车向左.
三、课堂小结
①关键要弄清楚每一步有几种结果；
步骤 ②在树状图下面对应写着所有可能的结果；
③利用概率公式进行计算.
用法 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）的好方法.
树状图
①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步；
注意
②在摸球试验一定要弄清“放回”还是“不放回”.
当堂检
测
1.三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不同的概率为（ ）
第 3 页 共 8 页A. B.
C. D.
2.a、b、c、d四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放2本，共有 种不同的放法.
3.在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.先从
盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字.请你用列表或
画树状图的方法求下列事件的概率.
(1) 两次取出的小球上的数字相同；
(2) 两次取出的小球上的数字之和大于10.
4.现有A、B、C三盘包子，已知A盘中有两个酸菜包和一个糖包，B盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭
菜包，C盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头.老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包
子(馒头除外)，那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少？
参考答案
自主学习
知识链接
1.在一次试验中，如果出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那我可以通过列举试验
结果的方法，求出随机事件发生概率，这种方法，叫做列举法.学过的列举法有直接列举法和列表法.
第 4 页 共 8 页2.解：（1）列表如下：
1 2 3
1 （1,1） （2,1） （3,1）
2 （1,2） （2,2） （3,2）
3 （1,3） （2,3） （3,3）
由表格可知，一共有9种等可能的结果，两次摸取的小球的标号之和是奇数的有概率是4种，则P（两次摸
取的小球的标号之和是奇数）= .
（2）列表如下：
1 2 3
1 （2,1） （3,1）
2 （1,2） （3,2）
3 （1,3） （2,3）
由表格可知，一共有6种等可能的结果，两次摸取的小球的标号之和是奇数的有概率是4种，则P（两次摸
取的小球的标号之和是奇数）= .
课堂探究
二、要点探究
探究点1：利用画树状图法求概率
问题1 问题2
合作探究
问题：
一次游戏共有9个可能结果，而且它们出现的可能性相等.
事件A发生的所有可能结果：（石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头）；因此P(A)= .
事件B发生的所有可能结果：（剪刀，石头）（布，剪刀）（石头，布）；因此P(B )= .
事件C发生的所有可能结果：（石头，石头）（剪刀，剪刀）（布，布）.因此P(C )= .
典例精析
例1 解：根据题意，画树状图如下：
第 5 页 共 8 页从树状图中可以看出，有12种等可能的结果.
(1)取出的3个小球上恰好有1个元音字母的结果有5种，即ACH、ADH、BCI、BDI、BEH，所以P（1个元音）
=
有2个元音字母的结果有4种，即ACI、ADI、AEH、BEI，所以P（2个元音）=
部为元音字母的结果有1种，即AEI，所以P（3个元音）=
(2)取出的3个小球上全部是元音字母的结果有2种，即BCH、BDH，所以P（3个辅音）=
例2 解：设两名领奖学生都是女生的事件为A，两种奖项各任选1人的结果用“树状图”来表示.
共有12中结果，且每种结果出现的可能性相等，其中2名都是女生的结果有4种，所以事件A发生的概率
为P(A)=
例3 解：(1)画树状图如图所示：
由树状图可知共有八种可能的结果，每种结果出现的可能性相同；
(2) 传球三次后，球又回到甲手中，事件A发生有两种可能出现结果（乙，丙，甲）（丙，乙，甲）
(3) P(A)=
练一练 1.解：用“树状图”列出所有可能出现的结果：
第 6 页 共 8 页由树状图可知，一共有6种等可能的结果，“取出1件蓝色上衣和1条蓝色裤子”记为事件A，那么事件A
发生的概率是
2.解：用“树状图”列出所有可能出现的结果：
由树状图可知，共有27种等可能的结果.
(1)全部直行的结果只有1种，则 P(全部继续直行)=
(2)两车向右，一车向左的结果有3种，则 P(两车向右，一车向左)=
(3)至少两车向左的结果有5种，则 P(至少两车向左)=
当堂检测
1. C 2.10
3.解：根据题意，画出树状图如下
由树状图可知，一共有9种等可能的结果.
(1) 两次取出的小球上的数字相同的可能性只有3种，所以P(数字相同)= .
(2) 两次取出的小球上的数字之和大于10的可能性只有4种，所以P(数字之和大于10)=
4.解：根据题意，画出树状图如下
第 7 页 共 8 页由树状图得，所有可能出现的结果有18个，它们出现的可能性相等.选的包子全部是酸菜包有2个，所以选
的包子全部是酸菜包的概率是：P(全是酸菜包)= .
第 8 页 共 8 页
