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第 17 课 用树状图或表格求概率
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用列举法，列得所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求得答案．
解：随机掷一枚均匀的硬币两次，
可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴两次正面都朝上的概率是 ．
故选：A．
【点睛】
此题考查了列举法求概率的知识．解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果，用到的知识点
为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．为做好疫情防控工作，某学校门口设置了 ， 两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从 通
道入校的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先列表得到所有的等可能的结果数，以及符合条件的结果数，再利用概率公式计算即即可．
解：列表如下：
A B
A A，A A，BB B，A B，B
所以所有的等可能的结果数有4种，符合条件的结果数有1种，
所以该校同学王明和李强均从 通道入校的概率是
故选A
【点睛】
本题考查的是利用列表的方法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率，掌握“列表的方法求概率”是
解本题的关键．
3．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份，则
转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
用列表法解题，先分析第一个转盘等可能出现的结果1，2，5，再分析在1出现的情况下，转盘二出现的
等可能结果4，3，6，依次类推，分析出现2的情况下，转盘二出现4，3，6的等可能结果，再分析出现5
的情况下，转盘二出现4，3，6的等可能结果，最后将符合题意的几种情况相加即可.
用表列举出所有可能出现的结果，如下：
共有9种等可能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种， 所求概率为 ，
故选C．4．甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从
每个口袋中随机摸出1个球.下列事件中，概率最大的是（ ）
A．摸出的2个球颜色相同 B．摸出的2个球颜色不相同
C．摸出的2个球中至少有1个红球 D．摸出的2个球中至少有1个白球
【答案】D
【解析】
【分析】
先画出树状图表示所有等可能的结果，再根据概率公式分别计算每种情况的概率，据此解答．
解：画树状图如下，
所有等可能的结果共6种，
摸出2个球颜色相同的概率为： ；
摸出2个球颜色不相同的概率为： ；
摸出2个球中至少有1个红球的概率为： ；
摸出2个球中至少有1个白球的概率为： ；
所以概率最大的是摸出2个球中至少有1个白球，
故选：D．
【点睛】
本题考查列表法或树状图表示概率，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5．从 ，0， ， ，3.5这五个数中，随机抽取1个，则抽到无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：这里的无理数有 ， ，共2个，∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了列举法求概率，解决问题的关键是熟练掌握用列举法求概率的方法．
6．张华想给他的王老师发短信拜年，可一时记不清王老师手机号码后三位数的顺序，只记得是1、6、9三
个数字，则张华一次发短信成功的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是
其发生的可能性的大小．
解：根据题意知：后三位可能为169、196、619、691、961、916这6种情况，
而符合条件的只有1种情况，
所以张华一次发短信成功的可能性是 ．
故选： ．
7．为准备期末考试，同学们积极投入复习，卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷2张，数学试卷3张，英语
试卷1张，从中任意抽出一张试卷，恰好是语文试卷的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得总共有6张试卷，语文试卷的有2张，故抽中语文试卷的概率可求．
解：由题意得：
恰好是语文试卷的概率为 ；
故选B．
【点睛】
本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．8．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放
回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，
然后利用概率公式求解即可求得答案．
解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
9．活动课上，小林、小军、小强3位同学和其他6位同学一起进行3人制篮球赛，他们将9人随机抽签分
成三组，则小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意列出树状图得出所有等情况数，符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．
解：记三组分别为A，B，C，画树状图如下：所以所有的等可能的情况数有27种，符合条件的情况数有6种，
所以小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是
故选B
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步
完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一
镇去4名，另两镇各去1名的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有 种情况，而有4个人的镇可
能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是 ，根据概率公式求解．
解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有 种情况，有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，另两镇各去1名的结果数为 ，
所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率 ，
故选：B．
【点评】
选出符合事件 或 的结果数目 ，然后根据概率公式求出事件A或 的概率．
二、填空题
11．在四张相同的卡片上标有1、2、3、4四个数字，从中任意抽出两张：①两张都是偶数的概率是
__________；②第一张为奇数第二张为偶数的概率是__________；③总是出现一奇一偶的概率是
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
解：列表得：
一共有12种情况．
①两张都是偶数的概率是 ；
②第一张为奇数第二张为偶数的概率是 ；
③总是出现一奇一偶的概率是 ．
故答案为： ； ； ．
【点睛】
列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
12．掷--枚硬币两次，可能出现的结果有四种.我们可以利用如图所示的树状图来分析所有可能出现的结果.
那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率是________.
【答案】
【解析】
【分析】
画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的结果数，然后根
据概率公式求解．
解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的结果数为3，
所以掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率= ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A
或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
13．在不透明的袋中装有仅颜色不同的一个红球和一个蓝球，从此袋中随机摸出一个小球，然后放回，再
随机摸出一个小球，则第一次摸出红球，第二次摸出蓝球的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，列表分析所有可能，根据表格求得第一次摸出红球，第二次摸出蓝球的概率．
列表如下， 表示红球， 表示蓝球
第一次\第二次
总共4种情况，第一次是红球，第二次是蓝球有1种，则第一次摸出红球，第二次摸出蓝球的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．
14．经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经
过该十字路口时都直行的概率是___．
【答案】
【解析】
试题分析：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两辆汽车都直行的结果数为1，所以则两辆汽车都直行的概率为 ，故答
案为 ．
考点：列表法与树状图法．
15．一个盒中装着大小、外形一模一样的x颗白色弹珠和y颗黑色弹珠，从盒中随机取出一颗弹珠，取得
白色弹珠的概率是 ．如果再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取得白色弹珠的概率是 ，则原来盒中有
白色弹珠___颗．【答案】4
【解析】
∵取得白色棋子的概率是 ，可得方程 ，即 ①．
又∵再往盒中放进12颗白色棋子，取得白色棋子的概率是 ，可得方程 ②．
联立①②，解得：x=4，y=8．
∴原来盒中有白色弹珠4颗．
16．如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；
每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连
续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”
或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方
案是________．（只填一种方案即可）
【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由游戏规则分析判断即可作出结论．
解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则
剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜，
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键．
三、解答题
17．两人做“锤子、剪刀、布”的游戏．游戏规则是：若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪
刀”者胜；若一人出“锤子”，另一人出“剪刀”，则出“锤子”者胜；若一人出“布”，另一人出“锤子”，则出“布”者胜．若两人出相同的手势，则认为此次游戏无效，重新开始游戏．
(1)请用画树状图或列表法写出游戏中所有可能出现的有效结果．
(2)在这个游戏的有效结果中，无论你出“锤子、剪刀、布”中的哪一个，你获胜的概率是多少？
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意画出树状图，从而得出所有有效结果；
（2）由树状图求得所有等可能的结果与获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案．
（1）解：画树状图得： ∵所有可能的有效结果为：（布、剪）、
（剪、锤）、（锤、布）、（剪、布）、（锤、剪）、（布、锤）；
（2）由树状图知获胜的结果数为3，∴获胜的概率为 ．
【点睛】
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．某校开展以“奋斗百年路•启航新征程”为主题的活动来庆祝建党百年．活动分为两个阶段：第一阶
段是宣讲红色故事，有以党建党史、文化传承、人物传记为素材的3个宣讲项目（分别用A、B、C表示）；
第二阶段是主题文艺创作，有文学创作、美术创作、舞蹈创作、音乐创作4个项目（分别用D、E、F、G
表示）．要求参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．若小明参加该活动，请用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有可能的结果，并求小明恰好抽中项目C和E的概率．
【答案】所有结果见解析，概率为
【解析】
【分析】
用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
解：列表如下：
D E F G
A AD AE AF AG
B BD BE BF BG
C CD CE CF CG
由表可以看出，共有12种等可能结果，其中小明恰好抽中项目C和E的结果只有1种，
∴小明恰好抽中项目C和E的概率为 ．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率以及概率公式，正确列出表格是解题的关键．
19．建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为 ， ， ， ，女生分别记为 ， ，
．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
(1)若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
(2)若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是 或 的概
率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据概率计算公式计算即可；（2）格局题意，列出表格，再根据概率计算公式计算即可．
(1)
解：任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ，
故答案为： ．
(2)
解：列出表格如下：
一共有12种情况，其中至少有1位是 或 的有6种，
∴抽得的2位学生中至少有1位是 或 的概率为 ．
【点睛】
本题考查概率计算公式，画树状图或列表得出所有的情况，找出符合条件的情况数是解答本题的关键．
20．“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达
到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接
种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中
心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
A 新冠病毒灭活疫苗
医院
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
C 新冠病毒灭活疫苗
社区卫生服务中心
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
(1)居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为 ；
(2)请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
【答案】(1)
(2)居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为
【解析】
【分析】
（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）先画出树状图求解所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，从而利用概率公式进行计算
即可．
（1）解：由概率的定义可得：居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率是 ．故答案为： ．
（2）画树状图如图：
由上表可知：一共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种， ∴居民甲、
乙接种的是相同种类疫苗的概率为 ＝ ．
【点睛】
本题考查的是随机事件的概率，利用列表法或画树状图求解概率，掌握列表的方法与画树状图的方法是解
题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，现有四张正面印有冬奥会吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两
张正面印有冰墩墩图案，两张正面印有雪容融图案，将四张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取两张卡片，
则抽出的两张卡片图案都是冰墩墩的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
把两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A、B，两张正面印有雪容融图案的卡片分别记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片图案都是冰墩墩的有2种，
则两张卡片上的图案都是会徽的概率是 ．
故选：C
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法；正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
2．关于x的一元二次方程 中的常数a和b是-2，0，4中的任意两个数，则该一元二次方程有解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将a和b的值分类讨论，分别代入一元二次方程，满足一元二次方程的定义和有解的值是符合情况的结果
数，再利用概率的公式，即可求解．
解：关于x的一元二次方程 有解，
∴ ，且 ，
∴ ，且 ，
∵常数a和b是-2，0，4中的任意两个数，
∴a和b的值有以下几种情况：
①当 时， ，符合题意；
②当 时， ，符合题意；
③当 时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；
④当 时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；
⑤当 时， ，不符合题意；
⑥当 时， ，不符合题意；
综上所述，共有6种等可能的结果，其中，该一元二次方程有解的结果有2种，
∴该一元二次方程有解的概率为 ．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的判别式、概率的计算公式．
3．下列说法正确的是（ ）
A．一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有 5张中奖
C．射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次出一只手，且至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶
数时小李获胜，则小李获胜的可能性较大
【答案】D
【解析】
【分析】
根据概率的意义及计算，逐项分析即可．
A、一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 ，而不是 ，故错误；
B、某彩票的中奖概率是5%，只能说明中奖的可能性大小为5%，买100张彩票并不是一定有5张中奖，
故错误；
C、射击运动员射击一次，中靶与不中靶的可能性不相等，所以中靶的概率不是 ，故错误；
D、小李与小陈出拳的手指数都有5种可能：分别为1，2，3，4，5，两人总共有25种出拳情况，两人出
奇数时，手指数和为偶数共有9种情况；两人出偶数时，手指数和为偶数共有4种情况，总共有9+4=13种
情况，所以小李获胜的概率为： ，则小陈获取的概率为 ，显然小李获胜的可能性大，故正确；
故选：D.
【点睛】
本题考查了概率的意义及概率的计算，理解概率的意义并正确计算概率是关键．
4．布袋中有红、白、绿三种只有颜色不同的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回
布袋并搅匀，再摸出一个球，记录下颜色．则摸出的两个球颜色为“一白一绿”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
列表，根据表中等可能结果总数和符合要求的结果总数计算概率．
列表
红 白 绿红 红红 红白 红绿
白 白红 白白 白绿
绿 绿红 绿白 绿绿
共有9中等可能结果，其中一白一绿的结果共有2种，
∴摸出的两个球颜色为“一白一绿”的概率是 ，
故选D
【点睛】
本题考查了列表计算概率，解决此类问题的关键是熟练掌握概率的定义与列表计算概率．
5．小勇、小华用4张扑克牌（分别是黑桃6、黑桃7，黑桃8、梅花9）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背
面朝上放在桌面上．小勇先抽一张扑克牌，将抽到的牌的牌面数字记为m，再由小华猜小静抽到的牌的牌
面数字记为n．如果m，n满足 ，则称小勇、小华两人“心领神会”．小勇、小华两人“心领神
会”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意列出表格，根据表格中的数据，代入概率公式即可得到答案．
解：m，n的取值可以如下表：
的取值共有16种等可能的结果，
包含10种等可能的结果，
的概率 ．
故选：A．
6 7 8 9
67
8
9
【点睛】
本题考查概率，要求掌握列表法和画树状图求概率的方法．
6．信阳是河南传统餐饮历史文化名城，信阳菜历经千年的积淀和发展，以鲜、香、爽、醇、中的独特味
道传遍大江南北.某游客慕名而来，决定从“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”
这5个特色美食中随机选取2 个进行品尝，则他抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
通过列表法列出所有情况，再根据抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的情况数利用概率公式进行计算即可．
记“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”分别为A、B、C、D、E．抽到“筒鲜
鱼”和“固始鹅块”即为AB或BA，则5个特色美食中随机选取2个进行品尝的所有可能情况列表为：
A B C D E
A AB AC AD AE
B AB BC BD BE
C AC BC CD CE
D AD BD CD DE
E AE BE CE DE
共有20种等可能事件，其中抽到AB或BA的有2种，
到AB或BA的概率为
即抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为 ．故选：C．
【点睛】
本题考查了列表法或画树状图法求概率，即一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发
生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率 ．
7．在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、
“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的
顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国”四
个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同
就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
得出总的情况数和失败的情况数，根据概率公式计算出失败率，从而得出中奖率．
解：设“我”、“爱”、“祖”、“国“四个字对应的字母为a、b、c、d，则所有的可能性为：
（abcd）、（abdc）、（acbd）、（acdb）、（adbc）、（adcb）、（badc）、（bacd）、（bcad）、
（bcda）、（bdac）、（bdca）、（cabd）、（cadb）、（cbad）、（cbda）、（cdab）、（cdba）、
（dabc）、（dacb）、（dbac）、（dbca）、（dcab）、（dcba），则都不相同的可能有：（badc）、
（bcda）、（bdac）、（cadb）、（cdab）、（cdba）、（dabc）、（dcab）、（dcba），故小嘉宾中奖的
概率为： ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用概率公式求概率．正确得出失败情况的总数是解答本题的关键．用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．
8．某中学初三年级四个班，四个数学老师分别任教不同的班．期末考试时，学校安排统一监考，要求同
年级数学老师交换监考，那么安排初三年级数学考试时可选择的监考方案有（ ）种．
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B【解析】
【分析】
可分4个位置，对于每个位置做出可能的判断，列出树状图即可．
设4个班级分别为A、B、C、D，相对应的4个老师分别为a，b，c，d，画树状图为：
由图中可以看出，共有9种情况．
故选B．
【点睛】
本题考查了用列树状图的方法解决问题，注意应去掉本班教师监考本班学生的排法.
二、填空题
9．有4张除数字外无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4．随机抽取一张记作a，放回并混合在一起，
再随机抽一张记作b，组成有序实数对（a，b），则点（a，b）在直线y＝x+2上的概率为 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据树状图法（或列表法）先列出所有情况，再求符合题意的情况即可；
解：列表法如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
由表可知，一共有14种等可能的结果，其中点（a，b）在直线y＝x+2上的有：（1，3）、（2，4），∴P（点（a，b）在直线y＝x+2上）= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查用树状法（或列表法）求概率，掌握概率的求解方法是解题的关键．
10．如图，小凌同学在玩“走迷宫”游戏，从入口处进入迷宫，每遇到一个岔路口便会随机选择其中一条
路径行走．游戏规定一进入迷官只许前进不许后退，可 转弯，则小凌不回头便能走出迷宫的概率是
___________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意画出树状图，然后再根据概率公式进行计算．
解：在各个道路上标上相应的字母，
根据标出的字母画出树状图，如图所示：∵共有等可能的8条道路可走，其中能够走出迷宫的只有2条道路，
∴小凌不回头便能走出迷宫的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了画树状图法求概率，根据题意画出树状图，是解题的关键．
11．四张背面相同的扑克牌，分别为红桃1、2、3、4，背面朝上，先从中抽取一张把抽到的点数记为a，
不放回再另抽取一张点数记为b，则点（a， b）在直y＝x＋1上的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与点（a， b）在直线y＝x＋1上的情况，然后利用概率公式求
解即可求得答案．
解：画出树状图如图所示，
由树状图可知：一共有12种等可能的结果，其中点（a，b）在直线y＝x＋1上的有（1，2），（2，3），
（3，4），3种结果，∴点（a，b）在直线y＝x＋1上的概率为 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝
所求情况数与总情况数之比．
12．某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲”“朗诵短文”“电影片
段配音”三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试．甲、乙两位
同学报名参加测试，恰好都抽到“即兴演讲”项目的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
列表后，再根据概率公式计算概率即可.
解：列表如下：
即兴演讲 朗诵短文 电影片段配音
即兴演讲 （即兴演讲，即兴演讲） （即兴演讲，朗诵短文） （即兴演讲，电影片段配音）
朗诵短文 （朗诵短文，即兴演讲） （朗诵短文，朗诵短文） （朗诵短文，电影片段配音）
电影片段配 （电影片段配音，即兴演 （电影片段配音，朗诵短 （电影片段配音，电影片段配
音 讲） 文） 音）
共有9种等可能结果，其中甲、乙都抽到“即兴演讲”项目的结果有1种，
故P（甲、乙都抽到“即兴演讲”项目）= ，
故答案为：
【点睛】
此题考查了概率的计算，正确列出表格是解答此题的关键.
13．如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则______（填“甲”或“乙”）一
定获胜；
（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是______．
【答案】 乙 e，f．
【解析】
【分析】
（1）乙首次也取走3个球，但必须相邻，有两种取法，分类讨论即可判断；
（2）分乙取三个球和乙取二个球两种情况讨论，再在乙取二个球的情况下，再分乙取c，d，乙取d，e，
乙取e，f，三种情况讨论；当乙取e，f时，再分三种情况讨论即可求解．
解：（1）∵甲首次取走写有b，c，d的3个球，
∴还剩下a， ，e，f，g，h，
又∵乙首次也取走3个球，但必须相邻，
∴乙可以取e，f，g或f，g，h，
若乙取e，f，g，只剩下a， ，h，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
同理，若乙取f，g，h，只剩下a， ，e，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
枚答案为：乙；
（2）∵甲首次取走a，b二个球，还剩下c，d，e，f，g，h，
①若乙取三个球:
若乙取c，d，e或f，g，h，那么剩下的球是连着的，故若甲取走剩下的三个，则甲胜；
若乙取d，e，f，此时甲取g，则c，h，不相邻，则甲胜；
若乙取e，f，g，此时甲取d，则c，h，不相邻，则甲胜；②若乙取二个球:
若乙取c，d，此时甲取f，g，那么剩下e，h，不相邻，则甲胜；
若乙取d，e，此时甲取f，g，则c，h，不相邻，则甲胜；
若乙取e，f，
此时甲取c，d或g，h，则乙胜；
若甲取c或d，那么乙取g或h，则乙胜；
若甲取g或h，那么乙取c或d，那么剩下2个球不相邻，则乙胜；
因此，乙一定要获胜，那么它首次取e，f，
故答案为：e，f．
【点睛】
本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜．
14．有三张正面分别标有数字 ，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝
上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片
正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组 的解集中有且只有2个非负整数的概率为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再
利用概率公式即可求得答案．
解不等式①得 ．
a、b取值：
1 21
2
共6种情况：
， 时，解不等式②得 ，非负整数解只有0个．
， 时，解不等式②得 ，非负整数解只有0个．
， 时，解不等式②得 ， 非负整数解只有5个．
， 时，解不等式②得 ， 非负整数解只有2个．
， 时，解不等式②得 ， 非负整数解只有5个．
， 时，解不等式②得 ， 负整数解只有4个．
综上所述，关于x的不等式组 的解集中有且只2个非负整数的概率为 ．
故答案为：
【点睛】
此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法，注意概率=所求情况数与总情况数之比，求出符合要求的
点是解题关键.
三、解答题
15．某校举办学生综合素质大赛，分“单人项目”和“双人项目”两种形式，比赛题目包括下列四类：
A．人文艺术；B．历史社会；C．天文地理；D．体育健康．
(1)若小丽参加“单人项目”，她从中抽取一个题目，那么恰好抽中“天文地理”类题目的概率为______．
(2)小刚和小涵参加“双人项目”，比赛规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取
一次，求他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是多少？（用画树状图或列表的方法求解）
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】（1）小丽一共有四种不同的选择，所以恰好抽中“天文地理”类题目的概率为 ；
（2）由同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次可知第一名同学抽取之后，第二
名同学只能有三种选择，通过画树状图可知一共有12种情况，而他们抽到“天文地理”和“体育健康”类
题目有2种情况，根据概率公式即可求解．
（1）∵比赛题目共包括四类：A．人文艺术；B．历史社会；C．天文地理；D．体育健康∴小丽恰好抽中
“天文地理”类题目的概率为 ；故答案为： ；
（2）由题意画树状图为：
由图得，共有12种等可能情况，而他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目有2种情况，∴他们抽到
“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是 ．
【点睛】
本题考查了概率公式及利用列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动
周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识
竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生
（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
(1) ________， ________；并补全条形统计图：
(2)根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
(3)在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培训，
每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？
【答案】(1)100，35，见解析
(2)720名
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据A：航模制作的有10人，占10%可以求得m的值，从而可以求得n的值；根据题意和m的值可
以求得B：航天资料收集；C：航天知识竞赛人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据可以估算出全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
（3）利用列表或树状图求概率即可
（1）由题意可得，m＝10÷10%＝100，n%＝100%-15%-10%- ＝35%，故答案为：100，35；由
题意可得：B：航天资料收集有：100×35%＝35（人）C：航天知识竞赛有：100×15%＝15（人）补全条形统计图如图所示：
（2） （名），答：估计该校大约有720名学生选择参观科学馆．
（3）解法一 列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁）
如上表，共有12种等可能的结果．其中恰好选中甲、乙两名同学的结果为2种：（甲，乙），（乙，甲）．
甲、乙恰好被分在一组的概率为 ．解法二 画树状图为：共有12种等可能的结果：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），
（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）．甲、乙恰好被分在一组
的结果为2种：（甲，乙），（乙，甲）．甲、乙恰好被分在一组的概率为 ．
【点睛】
本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，利用列表或树状图求概率．一般来说，用样本去估
计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．解答本题的关键是明确题意，
找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
17．为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集
的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图
“平均每天观看冬奥会时长”频数分布表
观看时
频数
长 频率
（人）
（分）
0＜x≤15 2 0.05
15＜
6 0.15
x≤30
30＜
18 a
x≤45
45＜
0.25
x≤60
60＜
4 0.1
x≤75(1)频数分布表中，a＝ ，请将频数分布直方图补充完整；
(2)九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟
的有 人；
(3)校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用树状图或
列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【答案】(1)0.45，见解析
(2)52
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据0＜x≤15的频数与频率，求出调查的总人数，再用30＜x≤45的频数除以总人数，求出a，然后
求出45＜x≤60的频数，从而补全统计图；
（2）用总人数乘以平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的人数所占的百分比即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到甲、乙两名同学的情况，
再利用概率公式即可求得答案．
（1）解：调查的总人数有：2÷0.05＝40（人），a＝ ＝0.45，45＜x≤60的人数有：40×0.25＝10（人），补全统计图如下：
（2）解：估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的有：520×0.1＝52（人）；故答案为：
52．
（3）解：画树状图得： ∵共有12种情况，恰好抽到甲、乙两名
同学的是2种，∴P（恰好抽到甲、乙两名同学）＝ ＝ ．
【点睛】
本题主要考查了列表法或树状图法求概率以及频数分布直方图的知识．掌握“概率＝所求情况数与总情况
数之比” 是解答本题的关键．
18．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天
气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结
果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制
了如图所示的不完整的三种统计图表．对雾霾天气了解程度的统计表
对雾霾天气了解程度 百分比
A．非常了解 5％
B．比较了解 15％
C．基本了解 45％
D．不了解
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有______人， ______；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选
一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，
然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机
摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个
游戏规则是否公平．
【答案】（1）400,35%；（2）条形统计图见解析；（3）不公平．
【解析】
【分析】
（1）用A等级的人数除以它所占的百分比可得调查的总人数，然后用1减去其它等级的百分比即可求得n
的值；
（3）先计算出D等级的人数，然后补全条形统计图即可；
（4）通过树状图可确定12种等可能的结果，再找出和为奇数的结果有8种，再确定出为奇数的概率，再
确定小明去和小刚去的概率，最后比较即可解答．
解：（1）由统计图可知：A等级的人数为20，所占的百分比为5%
则本次参与调查的学生共有20÷5%=400人；
１-5%-15%-45%=35%；
（2）由统计图可知：A等级的人数所占的百分比为45%
D等级的人数为400×35%=140（人）
补全条形统计图如下：（3）根据题意画出树状图如下：
可发现共有12种等可能的结果且和为奇数的结果有8种
所以小明去的概率为：
小刚去的概率为： ．
由 ＞ ．
所以这个游戏规则不公平．
【点睛】
本题考查了游戏的公平性，先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公
平，这是解答游戏公平性题目的关键．
19．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马
，田忌也有上、中、下三匹马 ，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：
（注： 表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：
每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局
比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、
中马、下马比赛，即借助对阵（ ）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并
求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，
请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜， ；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是
， ， ， ， ，
，
【解析】
【分析】
（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；
（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．
（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：
， ，
， ，共四种．
其中田忌获胜的对阵有
， ，共两种，
故此时田忌获胜的概率为 ．
（2）不是．
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是
， ， ，
， ， ．
齐王的出马顺序为 时，比赛的所有可能对阵是
， ， ，
， ， ，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率 ．
【点睛】
本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举
所有对阵情况，求得概率是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·广东广州·中考真题）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名
负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：画树状图得：∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．（2022·山东烟台·中考真题）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式
求解即可．
解：把S、S、S 分别记为A、B、C，
1 2 3
画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．
3．（2022·山东临沂·中考真题）为做好疫情防控工作，某学校门口设置了 ， 两条体温快速检测通道，
该校同学王明和李强均从 通道入校的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先列表得到所有的等可能的结果数，以及符合条件的结果数，再利用概率公式计算即即可．
解：列表如下：
A B
A A，A A，B
B B，A B，B
所以所有的等可能的结果数有4种，符合条件的结果数有1种，
所以该校同学王明和李强均从 通道入校的概率是
故选A【点睛】
本题考查的是利用列表的方法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率，掌握“列表的方法求概率”是
解本题的关键．
4．（2022·内蒙古包头·中考真题）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，
共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活
动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选
到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，列出树状图，即可得出答案．
记小明为 ，其他2名一等奖为 ，
列树状图如下：
故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到的概率为 ．
故选：D．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件
A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
5．（2022·湖北宜昌·中考真题）某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都
可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小
明和小慧选择参加同一项目的概率是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】
【分析】
先根据题意画出树状图，然后再根据概率的计算公式进行计算即可．
解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有9种等可能的情况，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种情况，
∴小明和小慧选择参加同一项目的概率为 ，故A正确．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了概率公式、画树状图或列表格求概率，根据题意画出树状图或列出表格，是解题的关键．
6．（2021·山东济南·中考真题）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出
行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一
个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，用列表法求出概率即可．
根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：
小华\小丽总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是 ．
故选C
【点睛】
本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的
列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
7．（2022·上海·中考真题）甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与分到甲和乙的情况，再利用概率公式求
解即可求得答案．
解：画树形图如下：
由树形图可知所有可能情况共6种，其中分到甲和乙的情况有2中，
所以分到甲和乙的概率为 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情
况数之比．8．（2022·黑龙江大庆·中考真题）不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1，2，3．三张卡片质地均匀，
大小、形状完全相同，摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机取出
一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意列表，然后找出两次卡片编号之积为奇数的可能的结果数，然后计算求解即可．
解：由题意知，列表如下：
1 2 3
1 （1,1） （1,2） （1,3）
2 （2,1） （2,2） （2,3）
3 （3,1） （3,2） （3,3）
由表可知，两次卡片编号之积有1、2、3、4、6、9，卡片组合共有9种等可能的结果，其中两次卡片编号
之积为奇数有1、3、9，卡片组合共有（1,1），（1,3），（3,1），（3,3）4种等可能的结果，
∴两次卡片编号之积为奇数的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了列举法求概率．解题的关键在于找出两次卡片编号之积为奇数的可能的结果数．
9．（2021·黑龙江·中考真题）一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完
全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球
上的数字之和是偶数的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5种，再由概率公式求解
即可．
解：画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5种，
∴两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
10．（2021·湖北荆州·中考真题）有不同的两把锁和三把钥匙，其中两把钥匙能分别打开这两把锁，第三
把钥匙不能打开这两把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，—次打开锁的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
画树状图（两把钥匙能分别打开这两把锁表示为A、a和B、b，第三把钥匙表示为c）展示所有6种等可能
的结果数，找出任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：（两把钥匙能分别打开这两把锁表示为A、a和B、b，第三把钥匙表示为c）
共有6种等可能的结果数，其中任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结果数为2，
所以任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查树状图法求概率．概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能
出现的结果数．11．（2021·浙江嘉兴·中考真题）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下
三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为
10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________．
马匹
下等马 中等马 上等马
姓名
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
【答案】
【解析】
【分析】
利用列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
解：齐王的三匹马出场顺序为10，8，6；
而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌能
赢得比赛的有5，9，7；一种
∴田忌能赢得比赛的概率为
故答案为：
【点睛】
本题考查概率的求法，解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
12．（2021·四川成都·中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点
出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形
的顺序旋转和或逆序旋转和如图1， 是该三角形的顺序旋转和， 是该三角形的逆序
旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数
作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________．【答案】
【解析】
【分析】
先画树状图确定 的所有的等可能的结果数，再分别计算符合要求的结果数，再利用概率公式计算即可
得到答案．
解：画树状图如下：
所以一共有 种等可能的结果，
又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：
＜ 恒成立， 为正整数，
满足条件的 有： 共 种情况，
所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是自定义情境下的概率计算，不等式的性质，掌握利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率是解题的关键．
三、解答题
13．（2022·辽宁沈阳·中考真题）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲
题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗
匀．
(1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；
(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，再由概率公式
求解即可．
（1）解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为 ，故答案为： ；
（2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两张卡片上
的数字是2和3的结果有2种，∴两张卡片上的数字是2和3的概率为 ．
【点睛】
此题考查的是用树状图或列表法求概率．树状图或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到
的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟练掌握树状图或列表法是解决这类题的关键．
14．（2022·山东日照·中考真题）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会
实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理
（成绩得分用a表示），其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，
90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
(1)x=________，y=________，并将直方图补充完整；
(2)已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是
________，众数是________；
(3)若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
(4)本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团
史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
【答案】(1)30%，16%，图见解析
(2)95、94
(3)192人
(4)
【解析】
【分析】
（1）先求出被调查的总人数，继而可求得y、x的值；
（2）将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可；
（4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）解：被调查的总人数为4÷8%=50（人），∴优秀对应的百分比 ，则一般对应的
人数为50-（4+23+8）=15（人），∴其对应的百分比 ，补全图形如下：故答案为：30%，16%．
（2）解：将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100，所以其中位数为 ，出
现次数最多的是94，故众数为94，故答案为：95，94；
（3）解：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为1200×16%=192（人）；答：估计该校学生对团
史掌握程度达到优秀的人数为192人 ．
（4）解：画树状图为： 共有12种等可能情况，其中被抽
取的2人恰好是女生的有6种结果，所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为 ．
【点睛】
此题考查了用列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体
等知识，数形结合与用列表法或树状图法求概率是解题的关键．
15．（2022·青海·中考真题）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传
教育，其中七、八年级的学生各有500人.为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年
级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8
分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10.
八年级抽取学生的测试成绩条形统计图七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
(1)填空： ______， ______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一
条即可）；
(3)请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
(4)现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求
出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率.
【答案】(1) ；
(2)见解析
(3)700人
(4)
【解析】
【分析】
（1）由众数和中位数的定义求解即可；
（2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解；
（3）由七、八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，再由概率公式求解即可．
(1)
解：（1）由众数的定义得∶a=8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为∶8，8；
(2)
解：答案一：七年级较好．理由：七年级被抽取的学生的成绩的众数是8分，八年级被抽取的学生的成绩
的众数是7分，从这一统计量看，七年级学生党史知识掌握得较好．
答案二：七年级较好．理由：七年级被抽取的学生的成绩的优秀率是80%，八年级被抽取的学生的成绩的
优秀率是60%，从这一统计量看，七年级学生党史知识掌握得较好．
(3)
解：解： （人）．
答：七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数约为700人．
(4)
解：列表如下：
第一人
八1 八2 八3 七
第二人
八1 （八1，八2） （八1，八3） （八1，七）
八2 （八2，八1） （八2，八3） （八2，七）
八3 （八3，八1） （八3，八2） （八3，七）
七 （七，八1） （七，八2） （七，八3）
或树状图如下：
由表格或树状图可知，共有12种等可能的情况，其中被选中的2人恰好是七、八年级各1人的情况有6种．被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率 ．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数等知识；利用列表法或树状图法展示
所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B
的概率是解题的关键．
16．（2007·江苏泰州·中考真题）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的
数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将
结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中
心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．
(1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明．
(2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如
果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积
是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理
由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．
(3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28
分，请问小军至少几次进入迷宫中心？
【答案】(1) ，树状图见详解；
(2)不公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数；
(3)2次．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，绘制树状图，分析可知小军行动路线共有12种可能情况，可进入中心的有4种可能情况，
进而计算进入迷宫中心的概率．（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转
化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
（3）可设小军 次进入迷宫中心，根据题意设不等式，解不等式即可．
(1)
树状图如下：
由树状图可知，进入者可能有12种结果，可进入迷宫中心的结果有4种，故小军能进入迷宫中心的概率为
．
(2)
不公平，理由如下：
方法一：由树状图可知， ，
， ．
所以不公平．
方法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，
显然小李胜面大，所以不公平．
方法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率．
， ，
所以不公平．
要想游戏公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数．
(3)
设小军 次进入迷宫中心，则 ，解之得 ．
所以小军至少2次进入迷宫中心．
【点睛】
本题主要考查了列举法求概率的运用，准确绘制树状图并加以分析是解题关键．
