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第二十五章《概率初步》同步单元基础与培优高分必刷卷
全解全析
1．B
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【详解】解：A、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球是不可能事件，故不合题意；
B、a是实数， ，这是必然事件，故符合题意；
C、在一张纸上任意画两条线段，这两条线段有可能平行，是随机事件，故不合题意；
D、两数相加，和有可能为0，或负数等，是随机事件，故不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，熟练掌握随机事件，必然事件，
不可能事件的特点是解题的关键．
2．A
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次向上的一
面的点数之和为4的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
1
6 7 8 9 11 12
0
∵共有36种等可能的结果，两次向上的一面的点数之和为4的有3种情况，
∴两次向上的一面的点数之和为4的概率为： ；
故选：A．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．掌握列表格或画树状图用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．A
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出这两位学生抽到同一项的结果数，
然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下
由树状图知，共有9种等可能结果，其中这两位学生抽到同一项的有3种结果，
所以这两位学生抽到同一项的概率为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，
再利用概率公式计算概率．
4．C
【分析】首先根据题意得出可能的结果有：①②③④，①②④③，①③②④，①③④②，
①④②③，①④③②，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】如果把①作为这四句诗歌的第一句，则有①②③④，①②④③，①③②④，
①③④②，①④②③，①④③②，共 种排列情况，
所以四句诗歌总的排列情况共有 种，只有 种是正确的，
所以兰兰第一次就调整正确的可能性大小为
故选：C
【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
5．B
【分析】根据平行线的判定定理得出能判断 的结论，然后求出概率即可．
【详解】解：根据平行线的判定定理可知，①∠1=∠2；③∠A=∠DCE；两个条件可以判断
，
∴能判断 的概率是 ，
故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的判定及概率公式，熟练掌握平行线的判定定理及概率公式
是解题的关键．
6．B
【分析】根据统计图可知，试验结果在 附近波动，即其概率 ，计算四个选项的
概率，约为 者即为正确答案．
【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为 ，
故本选项不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为 ，故本选项符合
题意；
C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为
，故本选项不符合题意；
D、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 ；
故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识
点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
7．D
【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以
估计黑色部分的面积为 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定
位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中
趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8．D
【分析】根据杂交的基本规律，列式计算即可．
【详解】解：纯种高茎豌豆（ ）和纯种矮茎豌豆（ ）杂交，子一代都是高茎豌豆（），子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由 、 、 三种遗传因子
控制，比例为1：2：1．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子D的个体有 、 ，概率
是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了杂交中的概率计算，熟练掌握杂交的规律是解题的关键．
9．B
【分析】根据题意可得 ＝0.4，解方程即可求解．
【详解】根据题意得：
＝0.4，
解得：n＝6，
经检验：n＝6是分式方程的解且符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率的计算方法列式是解题的关键．
10．C
【分析】先求出阴影区域在整个方格地砖中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：∵由图可知，阴影区域共6块，共有16块方砖，
∴阴影区域在整个区域中所占的比值= ，
∴它停在阴影区域的概率是 ；
故选：C．
【点睛】本题考查的是几何概率，解题的关键是掌握：几何概率=相应的面积与总面积之比．
11．
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：卡片上分别写有1，1，2，3，3，4，共六张；其中有2个“1”，4个奇数；
故从中任意摸到一张卡片，则摸到1号卡片的概率是 ，摸到奇数号卡片的概率是 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了求概率，解决本题的关键是读懂题意并灵活运用所学知识求解．12． 8 14 18
【分析】让球的总数乘以相应的频率即为所求的不同颜色球的数目．
【详解】解：红球的概率为0.2，故红球有 （个）；
白球的概率为0.35，故白球有 （个）；
黄球的概率为0.45，故黄球有 （个）．
故红球、白球、黄球分别约有8个，14个，18个．
故答案为：8；14，18
【点睛】用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
13．0.9
【分析】根据大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率求解即可．
【详解】解：观察表格发现，随着投篮次数的增多投中的频率逐渐稳定在0.9附近，
故投中的概率估计值为0.9；
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事
件发生的频率能估计概率．
14． ##
【分析】画树状图，两名同学过通道的可能共有四种，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
由图可知，共有4种等可能的结果，其中王明与李强均从A通道入校的结果只有1种．
∴王明和李强均从A通道入校的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率 所求情况数与总
情况数之比．
15．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和指针所指颜色相同的结果数，再利用概率公
式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中指针所指颜色相同的结果有3种，
∴指针所指颜色相同的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
16． ．
【详解】如图，满足 均为整数的点A（x，y）共有25个，
由勾股定理和逆定理，可知有8点能使△OAB为直角三角形（图中黑点）．
∴所作△OAB为直角三角形的概率是 ．
17．
【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出
符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案．【详解】
解不等式①得 ．
a、b取值：
1 2
1
2
共6种情况：
， 时，解不等式②得 ，非负整数解只有0个．
， 时，解不等式②得 ，非负整数解只有0个．
， 时，解不等式②得 ， 非负整数解只有5个．
， 时，解不等式②得 ， 非负整数解只有2个．
， 时，解不等式②得 ， 非负整数解只有5个．
， 时，解不等式②得 ， 负整数解只有4个．
综上所述，关于x的不等式组 的解集中有且只2个非负整数的概率为 ．
故答案为：
【点睛】此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法，注意概率=所求情况数与总情况数
之比，求出符合要求的点是解题关键.
18．(1)0.64，0.58
(2)0.6
(3)12
【分析】（1 ）用摸到红球的次数除以所有摸球次数即可求得摸到红球的概率；（2 ）大量重复试验频率稳定到的常数即可得到概率的估计值；
（ 3）用求得的摸到红球的概率乘以球的总个数即可求得红球的个数．
【详解】（1） ， ，
填表如下：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到红球的次数m 59 96 118 290 480 601
0.59 0.64 0.58 0.58 0.60 0.601
摸到红球的频率
故答案为：0.64，0.58；
（2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数0.6附近，
故“摸到红球”的概率的估计值是0.6．
故答案为：0.6；
（3） （个）．
答：口袋中约有红球12个．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生
的频率逐渐稳定在概率附近．
19．(1)0.3，6
(2)6
(3)1
【分析】（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3可得，用球的
总数乘以红球的概率，即可；
（2）根据题意可得需要拿出所有的红球，即可；
（3）根据题意可得拿掉x人红球，加入x个黑球后，则红球（6-x），再由概率公式计算，
即可求解．
（1）
解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.3，
20×0.3=6；
故答案为：0.3，6
（2）解：因为“摸出黑球”为必然事件，
∴袋子只有黑球，
∴需要拿出所有的红球，即x=6；
故答案为：6
（3）
解：由（1）知红球6个，黑球14个，
拿掉x个红球，加入x个黑球后，则红球（6-x），依题意得：
，
解得x=1，
故红球取出1个．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的
知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应概率，还涉及了必然事件．
20．公平，理由见解析
【分析】把 盘等分成三部份，使得被转到的可能性相等，根据题意列出图表得出所有等
可能的情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式求出小明和小亮获胜的概率，然
后进行比较，即可得出答案．
【详解】解：把 盘等分成三部份，使得被转到的可能性相等，如下图：
根据题意列表如下：
盘和 盘 1 2 5 6
3 4 5 8 9
5 6 7 10 11
5 6 7 10 11
共有12种等可能的结果出现，其中两次数字之和为奇数的有6种，两次数字之和为偶数的
有6种，则 （小明获胜） ， （小亮获胜） ，
，
这个游戏对双方公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概
率相等就公平，否则就不公平．解题的关键是掌握知识点为：概率 所求情况数与总情况
数之比．
21．(1)相同；
(2)7
【分析】（1） ，袋子中有1个红球，2个绿球和1个白球，则从袋中随机摸出1个球，
摸到红球与摸到白球的概率都为 ；
（2）利用频率估计概率得到摸到绿球的频率稳定于0.2，则根据概率公式得到 ，
然后求解即可．
【详解】（1）解：当n＝1时，红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同，
故答案为：相同
（2）解：∵摸到绿球的频率稳定于0.2，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查由频率估计概率和概率公式．掌握在大量反复试验下，频率的稳定值即
为概率是解题关键．
22．
【分析】根据题意，通过列表法或画树状图的方法进行求解即可．
【详解】
黑 白 白
黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑）
白 （黑，白） （白，白） （白，白）白 （黑，白） （白，白） （白，白）
共有9种等可能的情况，其中两次摸出的球都是白球的情况共有4种，
∴两次摸出的球都是白球的概率 ．
【点睛】本题考查列表法或画树状图的方法求概率，熟练掌握这两种基本方法是解题关键．
23．(1) ；
(2)选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由见解析
【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概
率即可；
（2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出
各种情况下获得奖金的平均值即可．
（1）
解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2
次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元，
从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下：
共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种，
所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为 ；
（2）
解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为 ，获得30元（2次
都是红球）的概率为 ，两次都不获奖的概率为 ，
所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15× +30× =10（元），②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为 ，因此获得奖金的平均值为：10×
≈6.7（元），
③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15× +10× ≈11.7（元），
因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果
情况是正确解答的前提．
