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26.1.2 反比例函数的图象和性质 分层练习
基础篇
一、单选题：
1．下列4个函数中：① ；② ；③ ；④ ，函数值 随自变量
的增大而增大的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据各函数的性质，逐一判断选择即可．
【详解】因为 函数值 随自变量 的增大而增大，符合题意；
函数值 随自变量 的增大而减小，不符合题意；
函数值 随自变量 的增大而增大，符合题意；
函数值 随自变量 的增大而增大，符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了了函数的增减性，熟练掌握各函数的增减性是解题的关键．
2．已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是（ ）
A．其图象经过点 B．其图象分别位于第一、第三象限
C．当 时，y随x的增大而减小 D．当 时，
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、 当 时， ，
此函数图象过点 ，故本选项正确，不符合题意；
B、 ，
此函数图象分别位于第一、三象限，故本选项正确，不符合题意；C、 ，
当 时，y随着x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；
D、 当 时， ，
当 时， ，故本选项错误，符合题意，
故选:D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数图象上
点的坐标特征是解题的关键.
3．若双曲线 位于第一、三象限，则a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数的图象位于第一、三象限，则可知系数 ，解得a的
取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图象位于第一、三象限，
∴ ，
解得： ．
结合选项可知，只有 符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，当 时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上y
随x的增大而减小；当 时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上y随x的增大而增大．
4．已知反比例函数 ，当 时，y随x增大而减小，则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】反比例函数y随x增大而减小，说明 ，即 ，解不等式即可判断．
【详解】解：∵反比例函数 ，当 时，y随x增大而减小，
∴ ，
解得： ，
由各选项判断，a的值只能是1．
故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，由性质得到 的取值是解题的关键．
5．在反比例函数 （ 为常数）的图象上有三个点 ， ， ，则函数值 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据反比例函数的解析式中 ，判断出函数图像所在的象限及增减性，再根据各点横
坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数 的图像位于第二、四象限，
∵ ， 位于第二象限，且 ，
∴ ，
∵ 位于第四象象，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键在于通过判断 以确定函数图
像所在的象限及增减性．
二、填空题：
6．已知函数 是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，则m的值是_____．
【答案】3
【分析】根据函数 是反比例函数，可得出 ，再结合当x＜0时，y随着x的增大而
减小，可得出 ，即可得出结论．【详解】解：∵函数 是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为：3
【点睛】此题主要考查反比例函数定义及性质，能把函数的增减性与比例系数的符号相结合解题是最基本
的要求．
7．反比例函数 的图象，当 时， 随 的增大而减小，则 的取值范围是______）
【答案】
【分析】根据反比例函数的图象与性质，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵当 时， 随 的增大而减小，
∴ ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数 ，图象位于第一、三
象限内，当 时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 时，在每一象限内，y随x的增大而减
小是解题的关键．
8．对反比例函数 ，下列说法正确的有_________（填序号）①其图象位于第二、四象限；②其图象
必过 ，③其图象关于y轴对称；④若 ，则 ．
【答案】②
【分析】根据反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征即可判断．
【详解】解：①∵k＝6＞0，
∴它的图象在第一、三象限，故错误；
②当x 时，y 4，
∴图象必过（ ，4），故正确；
③反比例函数图象关于原点对称，故错误；④∵k＝6＞0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y＞0，
∵当x＝﹣3时，y 2，
∴x＞﹣3，则y＜﹣2或y＞0，故错误．
故答案为：②．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题
的关键．
9．点A（2，1）在反比例函数 的图象上，当1＜y＜4时，x的取值范围是 _____．
【答案】
【分析】首先将点A的坐标代入求得函数的解析式，然后根据其增减性确定函数值的取值范围即可．
【详解】首先将点A的坐标代入求得函数的解析式，然后根据k确定函数值的取值范围即可．
解：∵点A（2，1）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝2×1＝2>0，其图象在一、三象限，
∴y＝ ，
∵1＜y＜4，
当 ； ，
∴x的取值范围是 ＜x＜2．
故答案为： ＜x＜2．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是确定其解析式，从而确定x的取值范围．
10．已知：点 ， ， 都在反比例函数 图象上（ ），则 、 、 的关
系是______．
【答案】
【分析】利用 ，得到反比例函数 图象在第二、四象限，在每一象限内 随 的增大而增大；于是 ， ， ．利用在第四象限内 随 的增大而增大，根据 ，可得 ．最终结
论可得．
【详解】在反比例函数 中， ，
反比例函数 图象在第二、四象限，在每一象限内 随 的增大而增大．
， ， ，
在第二象限， ， 在第四象限．
， ， ．
又 ，
．
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数图象的性质．正确利用反比例函
数图象的性质判定函数值的大小是解题的关键．
11．反比例函数 的图像经过 、 两点，当 时， ，写出符合条
件的 的值_________（答案不唯一，写出一个即可）．
【答案】－1（答案不唯一，取 的一切实数均可）
【分析】先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图像经过 、 两点，当 时， ，
∴此反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k可为小于0的任意实数．
例如，k＝﹣1等．
故答案为：﹣1（答案不唯一，取 的一切实数均可）【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
三、解答题：
12．如图是反比例函数 的图象的一个分支．
(1)比例系数k的值是 ；
(2)写出该图象的另一个分支上的2个点的坐标： 、 ；
(3)当x在什么范围取值时，y是小于3的正数？
(4)如果自变量x取值范围为 ，求y的取值范围．
【答案】(1)12
(2) ， （答案不唯一）
(3)
(4)
【分析】（1）根据图象过点 ，即可得出k的值；
（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象上点的坐标；
（3）根据 求出x的取值范围即可；
（4）根据当 时， ，当 时， ，得出y的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵图象过点 ，
∴ ；
（2）解：当 时， ，
当 时， ，
∴该图象的另一个分支上的2个点的坐标为 ， （答案不唯一）；（3）解：由图象可得：当 时，则
∴当 时，y是小于3的正数；
（4）解：当 时， ，当 时， ，
∵ ，
∴在图象每一个分支上，y随x增大而减小，
∵ 时，则 ．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及不等式解法等知识，根据不等式的性质得出
x与y的取值范围是解题关键．
13．已知点 、 、 、 、 在同一函数图像上．
(1)求 与 函数关系式；
(2)若 ，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）通过分析几个点可以得出横纵坐标的积都一样，即点在反比例函数上即可．
（2）通过反比例函数的增减性质即可求出不等式．
（1）
解：∵ ，
∴ ，即 ．
（2）
解：由于 可知，该反比例函数在一，三象限内，第三象限内的 ，所以当 时， 成立，
当x＞0时，解不等式 ，解得 ．
综上： 或
【点睛】本题主要考查求反比例函数解析式的方法及利用反比例函数性质解不等式，能够快速发现是反比
例函数并通过性质解不等式是解题关键．14．如图所示，过y轴上的点 的一次函数与反比例函数相交于 两点，B点的坐标为 ．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3)当x在什么范围内取值时，一次函数的值大于反比例函数的值？（直接写出结果）．
【答案】(1) ， ，
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】（1）先设出反比例函数和一次函数的解析式： 和 ，把点B的坐标代入反比例函数的
解析式求出k，再将 两点坐标代入一次函数解析式中列出方程组并求解即可得出一次函数解析式；
（2）两个解析式联立，求得点C的坐标即可；
（3）利用函数图象求出分别得出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
（1）
设反比例函数的解析式 和一次函数的解析式 ，
反比例函数 图象经过点 ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
将 两点代入 有解得
∴一次函数的解析式为 ，
（2）
将一次函数及反比例函数联立组成方程组得
，
解得 或
∴点 ；
（3）
由图象可得：一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是 或 ．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象判
定函数的大小关系是中学的难点同学们应重点掌握．
15．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，求 的面积．
【答案】4
【分析】解析式联立成方程组，解方程组即可得到 两点的坐标，由一次函数解析式求得直线与y轴的
交点C，然后根据 求得即可．
【详解】解：解方程组 得 或 ，所以A点坐标为 ，B点坐标为 ，
设一次函数 的图象交y轴与点C，则 ，
，
．
故 的面积为4．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函
数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，若方程组无解则两者无交点．
提升篇
1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），函数y＝ （x＞0）的图象经过菱形OABC的顶
点C，若OB•AC＝40，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．24 D．﹣24
【答案】B
【分析】如图所示，过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标为（a，b），先根据菱形面积公式求出CD的
长，再利用勾股定理求出OD的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标为（a，b），
∵点A的坐标为（5，0），
∴OA=5，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=OC=5， ，
∴CD=4，∴ ，
在Rt△OCD中， ，
∴a=3，
∴k=ab=-12，
故选B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数的几何应用，正确作出辅助线是解题的关键．
2．正比例函数 和反比例函数 在同一坐标系内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正比例函数和反比例函数的性质，用排除法解答即可．
【详解】解：A．∵ 的图象应经过原点，故A不正确；
B．由 的图象得 ，由 的图象得 ，矛盾，故B不正确；
C．由 的图象得 ，由 的图象得 ，故C正确；D．由 的图象得 ，由 的图象得 ，矛盾，故D不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数综合，熟练掌握正比例函数和反比例函数的性质是解答本题
的关键．
3．已知函数 ，当 时， 随 增大而减小，则关于 的方程 的根的情况是( )
A．有两个正根 B．有一个正根一个负根
C．有两个负根 D．没有实根
【答案】B
【分析】先根据反比例函数的性质求出ab>0，再根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断即可．
【详解】解：∵当 时， 随 增大而减小，
∴ab>0．
∵ ，
∴方程有两个不相等的根．
∵ ，
∴方程有一个正根一个负根．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是求出
ab>0．
4．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P在BC上运动，AE⊥DP于E，设DP＝x，AE＝y，则y关于x
的函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】连接AP，根据 求得xy＝12，结合实际求出自变量的取值范围即可．
【详解】解：如图，连接AP，
∵ ＝ PD×AE＝ AD×AB，
∴xy＝3×4
∴xy＝12，
即 为反比例函数，
当P点与C点重合时，x为最小值：x＝3，
当P点与B点重合时，x为最大值：x＝BD＝ ＝5，
∴3≤x≤5．
∴y关于x的函数的大致图象是C．
故选：C．
【点睛】此题考查了求反比例函数解析式，判断反比例函数的图象，利用面积法求出函数解析式是解题的
关键．
5．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的
大致图象是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b＞0，根据与y轴的交点确定出c＜
0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，即－a＜0，
又∵对称轴为直线x＝－ ＜0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y＝－ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数 图象在第二、四象限，
只有A选项图象符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性
质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
6．如图，矩形 的面积为8，反比例函数 的图象经过矩形的对角线的交点P，则反比例函数的
解析式是______．
【答案】【分析】作 轴， 轴，根据矩形的性质得矩形 的面积= 矩形 的面积= ，
然后根据反比例函数 系数k的几何意义即可得到 ．
【详解】解：如图，作 轴， 轴．
∵点P为矩形 对角线的交点，
∴矩形 的面积= 矩形 的面积= ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴过P点的反比例函数的解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐
标轴围成的矩形面积就等于|k|．
7．如图，双曲线 与正方形ABCD的边BC交于点E，与边CD交于点F，且 ， ，
，则 ___________．【答案】2
【分析】根据 可设 ， ，进而得出C、E的坐标，根据E点坐标得出表示出k的值，
再根据C点坐标求得F点纵坐标，代入反比例表达式求出横坐标，进而求得CF的长．
【详解】∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点E在 上，
∴ ，
∴双曲线表达式为： ，
由点C坐标得出F点的纵坐标为 ，
∵点F也在 上，将纵坐标代入求得，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查反比例函数 的图象上点的坐标特征，它们的横纵坐标的积等于k，熟练掌握反比例
函数的性质是解题的关键．
8．如图，点A（－4，n）和B（2，－4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数 的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)观察图象，当x＞0时，直接写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围．
(3)求 AOB的面积．
【答案】(1) ，
(2)x＞2
(3)6
【分析】（1）先把B点坐标代入 求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A点
的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）观察函数图象得到当x＞2时，反比例函数图象都在一次函数图象上方，依此可求反比例函数值大于
一次函数值x取值范围；
（3）根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据 AOB的面积= 进行计算．
（1）
将B（2，－4）代入y= 得m=2×（－4）=－8，
∴y=－
将A（－4，n）代入y=－ 得－4n=－8，
解得n=2，
则A点坐标为（－4，2），
将A（－4，2）和B（2，－4）代入y=kx+b得：
，解得 ，
即y=－x－2．
（2）
由图象可知，当x＞0，反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围x＞2．
（3）
当y=0时，－x－2=0，解得x=－2，则C点坐标为（－2，0），
所以 AOB的面积=
= ×2×2+ ×2×4
=6．
【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的表达式，利用函数图象求不等式的解集，一次函数与坐标
轴的交点问题，熟练运用数形结合是解题的关键．
9．如图，已知直线y=- x上一点B，由点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，若A点的坐标为(0，
5)．
(1)若点B也在一反比例函数的图象上，求出此反比例函数的表达式．
(2)若将 ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，求点E的坐标．
△
【答案】(1)y=-
(2)(-4，3)
【分析】（1）先求出点B的坐标，进而求出反比例函数关系式；
（2）设点E的坐标，再根据点E在直线BO上，可表示横，纵坐标的关系，然后根据EO=AO，利用勾股
定理表示横，纵坐标的关系，代入求出解，最后结合象限得出答案．
（1）由题意得点B纵坐标为5．
又∵点B在直线y=- x上，
∴ B点坐标为(- ，5)．
设过点 B的反比例函数的表达式为y= ，
k=- ×5=- ，
∴此反比例函数的表达式为 ；
（2）
设点E坐标为(a，b)．
∵点E在直线y=- x上，
∴ b=- a.
∵ OE=OA=5，
∴ ，
解得 或 ．
∵点E在第二象限，
∴ E点坐标为(-4，3)．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数关系式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质等，根据翻折的性质
得出线段相等是解题的关键．
