26.2实际问题与反比例函数（第2课时）[教学设计]_初中数学人教版_9下-初中数学人教版_01课件+教案（配套）_课件+教案+分层作业（2024）_课件+教案

26.2 实际问题与反比例函数（第2课时） 教学目标 1．通过探究关于“杠杆原理”“欧姆定律”等物理问题与反比例函数关系，体会数学 建模思想和学以致用的数学理念，并能从函数的观点来解决一些实际问题． 2．掌握反比例函数在其他学科中的运用，体会学科的整合思想． 教学重点 通过对“杠杆定律”“欧姆定律”等实际问题与反比例函数关系的探究，体会数学建 模思想和学以致用的数学理念，并能从函数的观点来解决一些实际问题． 教学难点 掌握反比例函数在其他学科中的运用，体会学科的整合思想． 教学过程 知识回顾 1．用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是什么？ 【答案】（1）设：设反比例函数的解析式为 (k≠0)． （2）列：把已知x与y的一对对应值同时代入 (k≠0)中，得到关于k的方程． （3）解：解方程，求出k的值． （4）写：将求出的k的值代入所设解析式中，即得到所求反比例函数的解析式． 2．一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有哪些性质？ 【答案】（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内， y随x的增大而减小； （2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的 增大而增大．【设计意图】回顾反比例函数的相关知识，为下文应用反比例函数解决其他学科问题 作铺垫． 新知探究 一、新知导入 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重 量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为： 阻力×阻力臂＝动力×动力臂． 二、典例精讲 【例1】小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m． （1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要 多大的力？ （2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 【师生活动】小组讨论后，学生代表作答，教师补充． 【答案】解：（1）根据“杠杆原理”，得Fl＝1 200×0.5， ∴F关于l的函数解析式为 ． 当l＝1.5 m时， （N）． 对于函数 ，当l＝1.5 m时，F＝400 N，此时杠杆平衡．因此，撬动石头至少 需要400 N的力． （2）对于函数 ，F随l的增大而减小．因此，只要求出F＝200 N时对应的l 的值，就能确定动力臂l至少应加长的量． 当F＝400× ＝200时， 由200＝ ，得 （m），3－1.5＝1.5（m）．对于函数 ，当l＞0时，l越大，F越小．因此，若想用力不超过400 N的一半， 则动力臂至少要加长1.5 m． 【设计意图】让学生能够应用反比例函数的相关知识解决物理学科中的实际问题． 【思考】用反比例函数的知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 【师生活动】教师引导学生作答： 在我们使用撬棍时，当阻力、阻力臂一定时，阻力×阻力臂是一个定值，不妨设阻力 ×阻力臂＝k(k＞0)． ∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴k＝Fl． ∴ (k＞0)． ∵k＞0，l＞0， ∴F随l的增大而减小． ∴动力臂越长就越省力． 【设计意图】从数学角度让学生进一步理解“杠杆原理”． 【例2】一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220 Ω．已知电压为220 V， 这个用电器的电路图如图所示． （1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？ （2）这个用电器功率的范围是多少？ 【师生活动】教师引导学生回顾电学知识： 用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位： Ω）有如下关系：PR＝U2．这个关系式也可写为 ， ． 【答案】解：（1）根据电学知识，当U＝220时，得 ．①（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小． 把电阻的最小值R＝110代入①式，得到功率的最大值 （W）； 把电阻的最大值R＝220代入①式，得到功率的最小值 （W）． 因此用电器功率的范围为220～440 W． 【设计意图】让学生回顾电学相关的知识，能够利用反比例函数解决电学问题． 【思考】结合该例题，想一想，为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的 转速可以调节？ 【答案】∵ ，U2是定值，U2＞0，R＞0，∴P随R的增大而减小． ∴只要调节电器中电阻的大小，就可以调节功率的大小，从而改变收音机的音量、台 灯的亮度以及电风扇的转速等． 【归纳】常见的典型数量关系： 涉及的量 反比例函数的解析式 功W（定值）、力F、移动的距离s 或 压力F（定值）、压强p、受力面积S 或 电压U（定值）、电流I、电阻R 或 【设计意图】通过思考问题和例题讲解，引导学生用数学中反比例函数的性质理解其 他学科中相关变量之间的关系． 【例3】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压 p（单位： kPa）是气球体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出这个函数的解析式．（2）当气球的体积为0.8 m3时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不 小于多少立方米？ 【师生活动】学生代表板书作答，教师和其他学生补充纠正． 【答案】解：（1）设 (k≠0) ． ∵当V＝1.5时，p＝64， ∴k＝1.5×64＝96． ∴ (V＞0)． （2）当V＝0.8时， （kPa）． （3）∵p≤144， ∴ ． ∵V＞0， ∴V≥ ． ∴为了安全起见，气球的体积应不小于 m3． 【设计意图】让学生进一步熟悉应用反比例函数的性质解决其他学科中的问题的思路 和方法． 【例4】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验． 测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：μg/mL）与服药时间x（单位：h）之间的函数关 系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y关于x的函数解析式； （2）血液中药物浓度不低于4 μg/mL的持续时间为多少小时？ 【师生活动】小组讨论后学生代表作答，教师补充纠正．【答案】解：（1）由图象可知，当0≤x≤4时，y与x成正比例关系，设y＝kx． 由图象可知，当x＝4时，y＝8．∴4k＝8，解得k＝2． ∴y＝2x(0≤x≤4)． 又由题意可知，当4≤x≤10时，y与x成反比例关系，设 ． 由图象可知，当x＝4时，y＝8．∴m＝4×8＝32． ∴ (4≤x≤10)． ∴血液中药物浓度上升时y＝2x(0≤x≤4)；血液中药物浓度下降时 (4≤x≤10)． （2）血液中药物浓度不低于4 μg/mL，即y≥4， ∴2x≥4，且 ≥4． 解得x≥2，且x≤8． ∴2≤x≤8，即持续时间为6 h． 【归纳】解分段函数的方法： 解决分段函数问题时，要注意自变量的取值范围以及在每一段上函数的表达式，先要 判断所给的自变量或函数值应代入哪个函数解析式中，再运用相应函数的性质解题． 课堂小结 板书设计 一、反比例函数在其他学科中的应用 二、分段函数的应用 课后任务完成教材第16页习题26.2第3～4题． 教学反思 _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________