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27.2.3 相似三角形应用举例 教学设计
课题 27.2.3 相似三角形应用 单元 第 27 单 学科 数学 年级 九年级
举例 元 （下）
进一步巩固相似三角形的知识。掌握和综合运用两个三角形相似解决实际问题。综合运用判
定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识，加深对判定三角形
教 材
相似的条件和三角形相似的性质的理解．
分析
核 心 培养学生把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学
素 养 生分析问题、解决问题的能力．
分析
1.进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体
的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题、
学习
2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养
目标
学生分析问题、解决问题的能力．
重点 运用相似三角形解决实际问题．
难点 在实际问题中建立数学模型．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 思考
自议
给我一个支点我可以撬起整个地球!——阿基米德 从问题导入知 师生一起回顾相
你知道其中的原理吗？试一试解决：
识，引起学生 似 三 角 形 的 内
如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂
端点下降0.5m时,长臂端点升高____________m。 的关注，提高 容，起到以旧引
学习的热情。 新，建立新旧知
识 间 的 联 的 作
用。
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我们知道数学源于生活又应用于生活，那么今天我
们就一起来探索相似三角形在生活中的奥秘吧！
了解平行投影
自无穷远处发的光相互平行地向前行进，称平
行光。自然界中最标准的平行光是太阳光。
在平行光线的照射下,物体所产生的影子叫平
行投影.
在阳光下，物体的高度与影长有有什么关系?
（教师展示PPT在同时刻和不同时刻的高度与影
长）
同一时刻物体的高度与影长成正比，同一物体
在不同的时刻影长不相等。
总结：利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪
些问题？
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。
在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与
其影长之比相等．
讲授新课 二、提炼概念 让学生在解决实
教师出示问 际问题的过程中
利用太阳光测量物体的高度需要注意：（1）由
题，师生共同 学会建立数学模
于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随
着太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻 探究利用相似 型，学会把生活
测量影长．（2）被测物体的底部必须在可以到达的
三角形来测高 中的实际问题转
地方，否则，测不到被测物体的影长，从而计算不出
物体的高． 的方法。 化为数学问题。
在探究中让学生
明白画数学示意
三、典例精讲
图可以逐渐明确
问题中的数量关
例1 (测量金字塔高度的问题)根据史料记
系与位置关系，
载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角
形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助 进而形成解题思
太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高
路。
度．
如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测
得OA为201 m，求金字塔的高度．
分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，
可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子
互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角
形的判定定理和性质，根据已知条件求出金字塔的
高度．
解法一：∵BA∥DE，
∴∠BAO＝∠EDF.
又∵∠AOB＝∠DFE＝90°，
∴△ABO∽△DEF，
∴＝，∴BO＝＝＝134.
答：此金字塔的高度为134 m.
问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高
度？(如用身高等)
解法二：用镜面反射．(如图，点A是个小镜子，
根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似
三角形，解法略)
●总结：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用
“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。
物高 ：杆高 = 物影 ：杆影或 物高：物影=
杆高：杆影
例2 (测量河宽的问题)如图，为了估算河的
宽度，我们可在河对岸选定一个目标点P，在近岸处取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与岸垂直，
接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的
点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b交于点
R，测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m．求河的宽
度PQ.
分析：设河宽PQ长为x m，由于此种测量方法
构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角
形，因此有＝，即＝.再解x的方程可求出河宽．
解法一：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
∴△PQR∽△PST，
∴＝，
即＝，即＝，
∴PQ×90＝(PQ＋45) ×60，
解得PQ＝90，
因此河的宽度PQ为90 m.
问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？
解法二：如图，构造相似三角形．(解法略)
●总结：利用平行线构造相似测宽度
例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝
8m和CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m．一个人估
计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一
条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树
的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端
C了？
设观察者眼晴的位置（视点）为F，观察者的水平视
线为FG，∠CFK是观察点C的仰角，∠AFH是观察点
A的仰角，区域Ⅰ和区域Ⅱ都在观察者看不到的区
域（盲区）之内.如果观察者继续再往前走，那么就
看不到C点了.
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的
眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一
条 直线上．由题意可知，AB⊥l，CD⊥l,
∴ AB∥CD，△AEH∽△CEK.
∴ ，
即
解得 EH＝8（m）.
由此可知，如果观察者继续前进，即她与左边树的
距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端
点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．
教师总结讲解：利用相似相似三角形测高
测量不能到达顶部且有遮挡物的物体的高度，可
以从人眼所在的部位向物体作垂线，根据人、物体
都与地面垂直构造相似三角形数学模型，利用相似
三角形对应边的比相等解决问题．
课堂练习 四、巩固训练
1. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子
长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子
长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 (
)
A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m
D . 2.2 m
A
2. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖
一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB
在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等式是( )C
3. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看
到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝
20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到
平面镜的距离 SA 为 .
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4.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形
硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通
过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并
使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE =
0.5 米，EF =
0.25 米，目
测点 D 到地
面的距离 DG
= 1.5 米，到
旗杆的水平距
离 DC = 20
米，求旗杆的
高度.
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
∴
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
∴ 解得：AC = 10，
AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 （m）.
答：旗杆的高度为 11.5 m.
5.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得
小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教
学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有
一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4
米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米?拓展: 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北
面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？
课堂小结 本节课学习了什么内容？
一、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1.测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度)；
2.测距(不能直接测量的两点间的距离)．
二、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,构造相似三角形
求解．
三、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求
解．
