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培优点 3 洛必达法则
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立
或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必
达法则．
洛必达法则：
法则1 型
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim f(x)＝0及lim g(x)＝0；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lim ＝l，
那么lim ＝lim ＝l.
法则2 型
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim f(x)＝∞及lim g(x)＝∞；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lim ＝l，那么lim ＝lim ＝l.
注意：
1．将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立．
2．洛必达法则可处理，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型求极限问题．
3．在着手求极限前，首先要检查是否满足，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型定式，否则滥用
洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不
适用，应从另外途径求极限．
4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
lim ＝lim ＝lim ，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
题型一 用洛必达法则处理型函数
例1 设函数f(x)＝.如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．
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思维升华 用洛必达法则处理型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现型式子；(3)运用洛必达法
则求值．跟踪训练1 若∀x∈[1，＋∞)，不等式ln x≤m恒成立，求实数m的取值范围．
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题型二 用洛必达法则处理型函数
例2 已知函数f(x)＝ax－a－xln x．若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
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跟踪训练2 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求a的取值范围．
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1．已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
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2．若∀x∈[0，＋∞)，x－ln(x＋1)≤ax2恒成立，求a的取值范围．
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