文档内容
培优点 3 洛必达法则
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立
或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必
达法则．
洛必达法则：
法则1 型
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim f(x)＝0及lim g(x)＝0；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lim ＝l，
那么lim ＝lim ＝l.
法则2 型
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim f(x)＝∞及lim g(x)＝∞；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lim ＝l，那么lim ＝lim ＝l.
注意：
1．将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立．
2．洛必达法则可处理，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型求极限问题．
3．在着手求极限前，首先要检查是否满足，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型定式，否则滥用
洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不
适用，应从另外途径求极限．
4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
lim ＝lim ＝lim ，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
题型一 用洛必达法则处理型函数
例1 设函数f(x)＝.如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．
解 f(x)＝≤ax，
若x＝0，则a∈R；
若x>0，
则≤ax等价于a≥，
即g(x)＝，
则g′(x)＝.令h(x)＝2xcos x－2sin x－sin xcos x＋x，
h′(x)＝2cos x－2xsin x－2cos x－cos 2x＋1
＝－2xsin x－cos 2x＋1
＝2sin2x－2xsin x＝2sin x(sin x－x)，
因此，当x∈(0，π)时，h′(x)<0，h(x)在(0，π)上单调递减，且h(0)＝0，故g′(x)<0，
所以g(x)在(0，π)上单调递减，
而lim g(x)＝lim
＝lim ＝.
另一方面，当x∈[π，＋∞)时，
g(x)＝≤≤<，
因此a≥.
思维升华 用洛必达法则处理型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现型式子；(3)运用洛必达法
则求值．
跟踪训练1 若∀x∈[1，＋∞)，不等式ln x≤m恒成立，求实数m的取值范围．
解 当x＝1时，不等式恒成立，m∈R；
当x>1时，m≥恒成立，
令h(x)＝，x>1，
则h′(x)＝＝；
令m(x)＝x2－x2ln x－ln x－1，x>1，
则m′(x)＝2x－2xln x－x－＝；
令n(x)＝x2－2x2ln x－1，x>1，
则n′(x)＝2x－4xln x－2x＝－4xln x<0，
得n(x)＝x2－2x2ln x－1在(1，＋∞)上单调递减，故n(x)1，
则φ′(x)＝－2ln x－1＋<0，
得φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，
进而m′(x)＝φ(x)<φ(1)＝0)．
所以m(x)在(1，＋∞)上单调递减，
可得m(x)g(1)＝0，
∴φ′(x)>0，即φ(x)在(0,1)上单调递增．
由洛必达法则知lim ＝lim ＝lim ＝lim ＝lim x＝0，
∴φ(x)>0，故a≤0，
综上，实数a的取值范围是(－∞，0]．
思维升华 用洛必达法则处理型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现型式子；(3)运用洛必达法
则求值．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求a的取值范围．
解 当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，
即2ax3＋x>x3－a恒成立，
即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，
即a>恒成立，
令φ(x)＝(x>1)，
∴φ′(x)＝>0，
∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，
由洛必达法则知lim φ(x)＝lim
＝lim ＝lim ＝，
∴φ(x)<，故a≥.
故a的取值范围为.
1．已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解 当x≥0时，f(x)≥0，即x(ex－1)≥ax2.
当x＝0时，a∈R；
当x>0时，x(ex－1)≥ax2等价于a≤.令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝.
记h(x)＝(x－1)ex＋1，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝xex>0，
因此h(x)＝(x－1)ex＋1在(0，＋∞)上单调递增，
且h(x)>h(0)＝0，所以g′(x)＝>0，
从而g(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以a≤lim .
由洛必达法则得lim g(x)＝lim ＝lim ＝1，
即当x→0时，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.
综上所述，当a≤1，x≥0时，f(x)≥0成立．
2．若∀x∈[0，＋∞)，x－ln(x＋1)≤ax2恒成立，求a的取值范围．
解 当x＝0时，a∈R；
当x>0时，x－ln(x＋1)≤ax2 a≥－，
记g(x)＝－，x∈(0，＋∞)，⇔
则g′(x)＝，
记h(x)＝－＋2ln(x＋1)，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以h(x)
