27.2[练习·素能拓展]相似三角形（第5课时）_初中数学人教版_9下-初中数学人教版_01课件+教案（配套）_课件+教案+分层作业（2024）_分层作业_27.2相似三角形（第5课时）（分层作业）

27.2 相似三角形（第5课时） 1．已知抛物线y＝－x2＋1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点 A 作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B，A作x轴的垂线，垂足分别为C， D，连接PA，PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）． A．始终相似 B．始终不相似 C．只有AB＝AD时相似 D．无法确定 2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BM∥AC．动点D从点 A出发沿射线AC方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位长度的速度运动．过点E作EF⊥AC交射线BM于F，G是EF中点， 连接 DG．设点 D 运动的时间为 t，当△DEG 与△ACB 相似时，t 的值为 ________________． 3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，其中一个命题的内容是： 给定一个三角形，可作圆内接相似三角形． 小冉想尝试对这个命题进行证明，于是根据书中命题的内容及图形的画法写出了已知和 求证． 已知：如图1，△ABC为已知三角形，如图2，HG是⊙O的切线，D为切点，∠EDH＝ ∠B，∠FDG＝∠C．求证：△DEF∽△ACB．小冉在图2的基础上，添加了辅助线：如图3，连接并延长DO，交⊙O于点P，连接 PE，PF． （1）请在小冉所添辅助线的基础上，求证△DEF∽△ACB； （2）若AB＝AC＝5，BC＝8，EF＝16，求⊙O的半径．参考答案 1．【答案】A 【解析】抛物线y＝－x2＋1的顶点P的坐标为(0，1)， 设A(t，－t2＋1)，则D(t，0)， 设直线PD的解析式为y＝kx＋b， 把P(0，1)，D(t，0)代入得 解得 ∴直线PD的解析式为y＝－ x＋1． 当y＝－t2＋1时，－ x＋1＝－t2＋1， 解得x＝t3，则E(t3，－t2＋1)． ∵PA2＝t2＋(－t2＋1－1)2＝t2＋t4， PE·PD＝ · ＝ ＝t2(t2＋1)＝t4＋t2， ∴PA2＝PE·PD． 即PA∶PE＝PD∶PA． 而∠APE＝∠DPA， ∴△PAE∽△PDA． 即△PAD与△PEA始终相似． 2．【答案】 或 或 或 【解析】∵BM∥AC，∠ACB＝90°，EF⊥AC，BC＝4， ∴EF＝BC＝4． ∵G是EF的中点， ∴GE＝2． 当AD＜AE，即t＜3时，DE＝AE－AD＝3＋3t－4t＝3－t， 若△DEG与△ACB相似，则 ＝ 或 ＝ ，∴ ＝ 或 ＝ ． ∴t＝ 或t＝ ． 当AD＞AE，即t＞3时，DE＝AD－AE＝4t－(3＋3t)＝t－3， 若△DEG与△ACB相似，则 ＝ 或 ＝ ， ∴ ＝ 或 ＝ ． 解得t＝ 或t＝ ． 综上所述，当t＝ 或 或 或 时，△DEG与△ACB相似． 3．【答案】（1）证明：∵HG是⊙O的切线， ∴PD⊥HG． ∴∠EDH＋∠EDP＝90°． ∵DP是直径， ∴∠DEP＝90°． ∴∠EDP＋∠EPD＝90°． ∴∠EDH＝∠EPD． ∵∠EPD＝∠EFD， ∴∠EDH＝∠EFD． ∵∠B＝∠EDH， ∴∠B＝∠EFD． 同理∠C＝∠DEF． ∴△DEF∽△ACB． （2）解：连接OE，∵△DEF∽△ACB， ∴ ＝ ＝ ． ∵AB＝AC＝5，BC＝8，EF＝16， ∴ ＝ ＝ ． ∴DF＝DE＝10． ∴OD⊥EF且EM＝FM． ∴EM＝FM＝8． 在Rt△DEM中，DM＝ ＝ ＝6， 设OE＝OD＝r，则OM＝r－6， 在Rt△OEM中，根据勾股定理得，82＋(r－6)2＝r2， 解得r＝ ． ∴⊙O的半径为 ．