文档内容
28.1 锐角三角函数（第5课时）
教学目标
1．会应用锐角三角函数解决生活中的问题，能构造直角三角形解决实际问题．
2．经历用锐角三角函数解决实际问题的过程，发展分析问题、解决问题的能力．
教学重点
复习锐角三角函数，并能熟练地运用它们解决生活中的问题．
教学难点
应用锐角三角函数解决实际问题．
教学过程
知识回顾
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
sin A＝ ＝ ；cos A＝ ＝ ；tan A＝ ＝ ．
2．将30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：
锐角A
30° 45° 60°
锐角三角函数
sin Acos A
tan A
1
【设计意图】复习锐角三角函数和特殊角的三角函数值，为本节课的学习作铺垫．
新知探究
类型一、非特殊角的三角函数值在生活中的应用
【问题】1．下图是一个半圆形桥洞截面的示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦
CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE＝ ．
（1）求AB的长；
（2）根据需要，水面要以0.5 m/h的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
【师生活动】学生小组讨论，完成作答，教师总结．
【答案】解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD＝24 m，∴ED＝ CD＝12（m）．
在Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝ ＝ ，
∴OD＝ ＝13（m）．∴AB＝26（m）．
（2）在Rt△DOE中，OE＝ ＝ ＝5，
∴将水排干需5÷0.5＝10（h）．
答：经过10 h才能将水排干．
【问题】2．如图，CD是挂在墙上的一幅画，高为1.5 m．画的下端与地面之间的距
离DE为2.5 m，一个高1.6 m的人在距离墙1.2 m处看画，求此人的视角α的正切值．【师生活动】教师提示：首先求出AD的长，再利用等腰三角形得出视角α＝∠C，求
出tan C即可．学生根据提示，思考作答．
【答案】解：由题意，得AF＝1.2 m，DF＝2.5－1.6＝0.9（m），
∴AD＝ ＝1.5（m）．
∴CD＝AD．
∴α＝∠C．
在Rt△AFC中，tan C＝ ＝ ＝ ，
∴视角α的正切值为 ．
【设计意图】通过解答问题1、问题2，让学生学会应用非特殊角的三角函数值解决生
活中的问题．
类型二、特殊角的三角函数值在生活中的应用
【问题】3．如图，在离地面5 m的点C处引拉线固定电线杆，拉线与地面成 60°角，
求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD（结果保留根号）．
【师生活动】学生独立思考作答，请一名学生代表板演，教师指导、讲评．
【答案】解：在Rt△ADC中，∵sin∠CAD＝ ，tan∠CAD＝ ，∴AC＝ ＝ ＝ （m），
AD＝ ＝ ＝ （m）．
答：拉线AC的长是 m，拉线下端点A与杆底D的距离AD是 m．
【问题】4．在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含
45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：
如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求
AF（结果保留根号）．
【师生活动】学生独立思考作答，教师指导、讲评．
【答案】解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，tan A＝ ，
∴AC＝ ＝2 ．
∴EF＝AC＝2 ．
在Rt△CEF中，∠E＝45°，sin E＝ ，
∴FC＝EF·sin 45°＝ ．
∴AF＝AC－FC＝2 － ．
【设计意图】通过解答问题3、问题4，让学生学会应用特殊角的三角函数值解决生活
中的问题．
类型三、构造直角三角形解决实际问题【问题】5．如图，△ABC表示某中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在
空地内种植草皮，已知某种草皮的售价为a元/m2，则购买这种草皮至少花费多少元？
【师生活动】学生小组讨论、尝试作答，教师指导、总结．
【答案】解：如图，作BA边的高CD，与BA的延长线交于点D．
∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°．
∵在Rt△ADC中，AC＝30 m，sin∠DAC＝ ，
∴CD＝AC·sin∠DAC＝15（m）．
∵AB＝20 m，
∴S ＝ AB·CD＝ ×20×15＝150（m2）．
△ABC
∵这种草皮的售价为a元/m2，
∴购买这种草皮至少需要150a元．
【问题】6．如图，在相距100 m的A，B两处观测工厂C，测得∠BAC＝60°，
∠ABC＝45°，求A，B两处到工厂C的距离．
【师生活动】学生独立思考作答，请一名学生代表板演，教师指导、讲评．
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．在Rt△ACD中，∠A＝60°，tan A＝ ，
∴CD＝AD·tan 60°＝ AD．
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD＝CD＝ AD．
又AB＝100 m，
∴AD＋BD＝AD＋ AD＝100，解得AD＝50( －1)m．
∴BD＝CD＝50(3－ )m．
在Rt△ACD中，∠A＝60°，cos A＝ ，∴AC＝100( －1)m．
在Rt△BCD中，∠B＝45°，cos B＝ ，∴BC＝50(3 － )m．
故A，B两处到工厂C的距离分别为100( －1)m，50(3 － )m．
【归纳】（1）在作垂线构造直角三角形时，不要破坏特殊角（30°，45°，60°）的
完整性，即尽量不要过这些特殊角的顶点作垂线．
（2）当题目中出现150°，120°，105°，75°等角度时，要通过“割补”法，把这
些角度转化为30°，45°，60°，再利用这些角的三角函数值解决问题．
【设计意图】通过解答问题5、问题6，让学生学会构造直角三角形，结合特殊角的三
角函数值解决生活中的问题．
【问题】7．如图，一块三角形的草地，其中BC＝10 m，tan B＝2，tan C＝ ，试求
这块草地的面积．【师生活动】学生小组讨论，完成作答，教师总结．
【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵tan B＝2，∴ ＝2．
∵tan C＝ ，∴ ＝ ．
则设AD＝x，则BD＝ x，DC＝2x，故 x＋2x＝10，解得x＝4．
故这块草地的面积为 ·AD·BC＝ ×4×10＝20（m2）．
答：这块草地的面积为20 m2．
【设计意图】通过解答问题7，让学生学会构造直角三角形，结合非特殊角的三角函
数值解决生活中的问题．
课堂小结板书设计
一、非特殊角的三角函数值在生活中的应用
二、特殊角的三角函数值在生活中的应用
三、构造直角三角形解决实际问题
教学反思
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